Binomialwahrscheinlichkeiten

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche der folgenden Aussagen ist eine Voraussetzung für ein Binomialexperiment?
1. a)Wahrscheinlichkeit ändert sich zwischen Versuchen
2. b)Mindestens 100 Versuche erforderlich
3. c)Versuche müssen unabhängig sein
4. d)Ergebnisse können bei jedem Versuch variieren
Lösung: Versuche müssen unabhängig sein
Unabhängigkeit ist entscheidend: Das Ergebnis eines Versuchs darf ein anderes nicht beeinflussen. Die Wahrscheinlichkeit muss konstant bleiben, und es muss genau zwei Ergebnisse pro Versuch geben.
2.
Was ist $\binom{4}{2}$ ?
Lösung: 6
$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$
3.
Wofür steht $p$ in der Formel $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ ?
1. a)Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
2. b)Anzahl der Erfolge
3. c)Anzahl der Versuche
4. d)Misserfolgswahrscheinlichkeit
Lösung: Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
$p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Versuch. Sie muss während aller Versuche konstant bleiben.
4.
Es ist $p = 0{,}3$ . Wie groß ist $1-p$ ?
Lösung: 0.7
$1 - p = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ . Dies stellt die Misserfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch dar.
5.
Eine faire Münze wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal Kopf zu erhalten?
Lösung: 0.375
1. Was ist $n$ (Gesamtzahl der Versuche)? 4
2. Was ist $k$ (gewünschte Erfolge)? 2
3. Was ist $\binom{4}{2}$ ? 6
4. Was ist $(0{,}5)^2$ ? 0,25
5. Was ist $(0{,}5)^2$ für Misserfolge? 0,25
6. Multipliziere alle Teile: $6 \times 0{,}25 \times 0{,}25$ 0,375
6.
Berechne $\binom{6}{3}$ .
Lösung: 20
$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = \frac{720}{36} = 20$
7.
Welches Szenario ist KEIN Binomialexperiment?
1. a)Testen, ob 8 Glühbirnen funktionieren
2. b)5 Karten aus einem Stapel ziehen ohne Zurücklegen
3. c)Einen Würfel 6-mal werfen und Sechsen zählen
4. d)Eine Münze 10-mal werfen
Lösung: 5 Karten aus einem Stapel ziehen ohne Zurücklegen
Das Ziehen von Karten ohne Zurücklegen ändert die Wahrscheinlichkeit nach jedem Zug und verletzt die Anforderung konstanter Wahrscheinlichkeit.
8.
Ein Basketballspieler trifft 60% seiner Freiwürfe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 von 5 Freiwürfen zu treffen?
Lösung: 0.3456
1. Was ist $p$ (Erfolgswahrscheinlichkeit)? 0,6
2. Was ist $1-p$ (Misserfolgswahrscheinlichkeit)? 0,4
3. Was ist $\binom{5}{3}$ ? 10
4. Was ist $(0{,}6)^3$ ? 0,216
5. Was ist $(0{,}4)^2$ ? 0,16
6. Berechne $10 \times 0{,}216 \times 0{,}16$ 0,3456
9.
Was ist $(0{,}7)^4$ ? Runde auf 4 Dezimalstellen.
Lösung: 0.2401
$(0{,}7)^4 = 0{,}7 \times 0{,}7 \times 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}49 \times 0{,}49 = 0{,}2401$
10.
Welcher Wert von $k$ hat in einem Binomialexperiment mit $n=8$ und $p=0{,}5$ die höchste Wahrscheinlichkeit?
1. a) $k = 0$
2. b) $k = 8$
3. c) $k = 4$
4. d) $k = 2$
Lösung: $k = 4$
Für $p=0{,}5$ ist die Binomialverteilung symmetrisch und erreicht ihren Höhepunkt bei $k = n/2 = 4$ . Hier ist $\binom{n}{k}$ am größten.
11.
Ein Multiple-Choice-Test hat 8 Fragen mit jeweils 4 Antwortmöglichkeiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zufälligem Raten genau 2 richtig zu beantworten?
Lösung: 0.3115
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu erraten? 0,25
2. Was ist $\binom{8}{2}$ ? 28
3. Was ist $(0{,}25)^2$ ? 0,0625
4. Was ist $(0{,}75)^6$ ? Runde auf 4 Dezimalstellen. 0,1780
5. Berechne $28 \times 0{,}0625 \times 0{,}178$ 0,3115
12.
Berechne $\binom{10}{4}$ .
Lösung: 210
$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = \frac{5040}{24} = 210$
13.
Ein Medikament hat eine Erfolgsrate von 80%. Wenn 6 Patienten es nehmen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ALLE 6 positiv reagieren?
1. a) $\binom{6}{5}(0{,}8)^5(0{,}2) \approx 0{,}393$
2. b) $(0{,}8)^6 \approx 0{,}262$
3. c) $(0{,}2)^6 \approx 0{,}000064$
4. d) $6 \times 0{,}8 = 4{,}8$
Lösung: $(0{,}8)^6 \approx 0{,}262$
Für alle Erfolge ( $k=n$ ), $P(X=6) = \binom{6}{6}(0{,}8)^6(0{,}2)^0 = 1 \times (0{,}8)^6 \times 1 = 0{,}262$
14.
Ein Qualitätsprüfer findet Defekte bei 5% der Produkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobe von 10 Produkten genau 1 Defekt zu finden?
Lösung: 0.3151
1. Was ist $p$ (Defektwahrscheinlichkeit)? 0,05
2. Was ist $\binom{10}{1}$ ? 10
3. Was ist $(0{,}05)^1$ ? 0,05
4. Was ist $(0{,}95)^9$ ? Runde auf 4 Dezimalstellen. 0,6302
5. Berechne $10 \times 0{,}05 \times 0{,}6302$ 0,3151
15.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 4 Versuchen KEINEN Erfolg zu haben, wenn $p = 0{,}3$ ? Runde auf 4 Dezimalstellen.
Lösung: 0.2401
$P(X=0) = \binom{4}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^4 = 1 \times 1 \times 0{,}2401 = 0{,}2401$
16.
Was ist $\binom{5}{0}$ ?
1. a)0
2. b)5
3. c)Nicht definiert
4. d)1
Lösung: 1
$\binom{n}{0} = 1$ für jedes $n$ . Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts zu wählen: nichts wählen!
17.
Was ist $\binom{7}{7}$ ?
Lösung: 1
$\binom{n}{n} = 1$ für jedes $n$ . Es gibt genau eine Möglichkeit, alle Elemente zu wählen: alle nehmen!
18.
Ein Impfstoff ist zu 90% wirksam. Wie groß ist in einer Gruppe von 7 geimpften Personen die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 geschützt sind?
Lösung: 0.372
1. Was ist $\binom{7}{6}$ ? 7
2. Was ist $(0{,}9)^6$ ? Runde auf 4 Dezimalstellen. 0,5314
3. Was ist $(0{,}1)^1$ ? 0,1
4. Berechne $7 \times 0{,}5314 \times 0{,}1$ 0,372