Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Testergebnisse sind normalverteilt mit $\mu = 60$ und $\sigma = 10$ . Welcher Term liefert den z-Wert eines Ergebnisses von 75?
1. a) $\frac{75 - 60}{10^2}$
2. b) $\frac{75 - 10}{60}$
3. c) $\frac{75 - 60}{10}$
4. d) $\frac{60 - 75}{10}$
Lösung: $\frac{75 - 60}{10}$
$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{75 - 60}{10} = 1{,}5$ . Die anderen Terme vertauschen die Reihenfolge, verwechseln die Zahlen oder teilen durch die Varianz.
2.
Die Körpergröße erwachsener Männer ist normalverteilt mit $\mu = 170$ cm und $\sigma = 8$ cm. Wie lautet der z-Wert eines Mannes, der 182 cm groß ist?
Lösung: 1.5
$z = \frac{182 - 170}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ : Er liegt 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert.
3.
Die z-Tabelle liefert $P(Z < 1) = 0{,}8413$ . Wie groß ist $P(Z > 1)$ ?
1. a)0,1587
2. b)0,8413
3. c)0,3413
4. d)0,6587
Lösung: 0,1587
$P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ . Der Wert 0,8413 ist die linke Fläche, und 0,3413 ist die Fläche zwischen 0 und 1.
4.
Äpfel aus einer Plantage wiegen $\mu = 150$ g mit $\sigma = 20$ g, normalverteilt. Verwende $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Welcher Anteil der Äpfel wiegt weniger als 160 g? Gib eine Dezimalzahl an.
Lösung: 0.6915
$z = \frac{160 - 150}{20} = 0{,}5$ . Eine linke Fläche liest man direkt ab: $P(X < 160) = P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ , also etwa 69,15 % der Äpfel.
5.
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit $\mu = 72$ und $\sigma = 6$ . Die Tabelle liefert $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ . Bestimme $P(X < 81)$ .
Lösung: 0.9332
1. Was ist $81 - 72$ ? 9
2. Teile durch $\sigma = 6$ . Wie lautet der z-Wert? 1.5
3. Wie groß ist $P(X < 81)$ als Dezimalzahl? 0.9332
4. Wie viel Prozent erreichen weniger als 81 Punkte? 93.32
6.
Lieferzeiten eines Pizzadienstes sind normalverteilt mit $\mu = 30$ min und $\sigma = 5$ min. Die Tabelle liefert $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung länger als 40 Minuten dauert.
Lösung: 0.0228
1. Wie lautet der z-Wert von 40 Minuten? 2
2. Wie groß ist die linke Fläche $P(Z < 2)$ ? 0.9772
3. Wie groß ist $P(X > 40)$ ? 0.0228
7.
Flaschen werden mit $\mu = 500$ mL und $\sigma = 5$ mL befüllt, normalverteilt. Mit $P(Z < 2) = 0{,}9772$ und $P(Z < -1) = 0{,}1587$ : Wie groß ist $P(495 < X < 510)$ ?
1. a)0,8185
2. b)1,1359
3. c)0,9772
4. d)0,1587
Lösung: 0,8185
$P(495 < X < 510) = P(Z < 2) - P(Z < -1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ . Addiert man die beiden Werte, erhält man mehr als 1, was für eine Wahrscheinlichkeit unmöglich ist.
8.
Ein Laptopakku hält $\mu = 8$ Stunden mit $\sigma = 0{,}8$ Stunden, normalverteilt. Verwende $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Akku länger als 9 Stunden hält? Gib eine Dezimalzahl an.
Lösung: 0.1056
$z = \frac{9 - 8}{0{,}8} = 1{,}25$ , also $P(X > 9) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ , etwa 10,56 % der Akkus.
9.
Die Körpergröße von Frauen ist normalverteilt mit $\mu = 165$ cm und $\sigma = 6$ cm. Die Tabelle liefert $P(Z < 1) = 0{,}8413$ und $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ . Bestimme $P(156 < X < 171)$ .
Lösung: 0.7745
1. Wie lautet der z-Wert von 156 cm? -1.5
2. Wie lautet der z-Wert von 171 cm? 1
3. Wie groß ist $P(156 < X < 171)$ ? 0.7745
10.
IQ-Werte sind normalverteilt mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$ . Bestimme das 90. Perzentil.
Lösung: 119.2
1. Welcher z-Wert hat die Fläche 0,90 links von sich? 1.28
2. Was ist $1{,}28 \cdot 15$ ? 19.2
3. Wie lautet das 90. Perzentil $x = 100 + 19{,}2$ ? 119.2
11.
Für die Körpergröße von Frauen ( $\mu = 165$ cm, $\sigma = 6$ cm) gilt $P(X < 174) = 0{,}9332$ . Was bedeutet das?
1. a)Etwa 93,32 % der Frauen sind genau 174 cm groß
2. b)Etwa 93,32 % der Frauen sind kleiner als 174 cm
3. c)174 cm sind 93,32 % der mittleren Größe
4. d)Etwa 93,32 % der Frauen sind größer als 174 cm
Lösung: Etwa 93,32 % der Frauen sind kleiner als 174 cm
Eine Wahrscheinlichkeit unter der Normalverteilungskurve ist ein Anteil der Grundgesamtheit: 93,32 % der Frauen sind kleiner als 174 cm, also sind nur 6,68 % größer.
12.
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit $\mu = 70$ und $\sigma = 8$ . Die Tabelle liefert $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . Welcher Anteil erreicht zwischen 66 und 74 Punkten? Gib eine Dezimalzahl an.
Lösung: 0.383
$z = \pm 0{,}5$ . $P(Z < -0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ , also $P(66 < X < 74) = 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}383$ , etwa 38,3 %.
13.
Eine Fabrik stellt 1000 Glühbirnen her. Ihre Lebensdauer ist normalverteilt mit $\mu = 1200$ Stunden und $\sigma = 100$ Stunden. Die Tabelle liefert $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Wie viele Glühbirnen halten ungefähr länger als 1400 Stunden?
Lösung: 23
1. Wie lautet der z-Wert von 1400 Stunden? 2
2. Wie groß ist $P(X > 1400)$ ? 0.0228
3. Was ist $0{,}0228 \cdot 1000$ ? 22.8
4. Runde auf eine ganze Zahl von Glühbirnen. 23
14.
Eine Maschine füllt Flaschen mit $\mu = 500$ mL und $\sigma = 4$ mL. Die 5 % am wenigsten gefüllten Flaschen werden aussortiert. Bestimme die Grenzmenge, unter der eine Flasche aussortiert wird.
Lösung: 493.42
1. Welcher z-Wert hat die Fläche 0,05 links von sich? -1.645
2. Was ist $-1{,}645 \cdot 4$ ? -6.58
3. Wie groß ist die Grenzmenge $x = 500 + (-6{,}58)$ in mL? 493.42
15.
Die Körpergröße von Männern ist normalverteilt mit $\mu = 175$ cm und $\sigma = 7$ cm. Mit $z \approx 1{,}28$ für das 90. Perzentil: Ab welcher Größe gehört man zu den größten 10 %?
1. a)166,04 cm
2. b)175,7 cm
3. c)182 cm
4. d)183,96 cm
Lösung: 183,96 cm
$x = 175 + 1{,}28 \cdot 7 = 175 + 8{,}96 = 183{,}96$ cm. 166,04 cm ist das 10. Perzentil (falscher Rand), 182 cm ist nur $\mu + \sigma$ , und 175,7 cm behandelt 10 % wie $0{,}1\sigma$ .
16.
Ein Handyakku hält $\mu = 20$ Stunden mit $\sigma = 2$ Stunden, normalverteilt. Die Tabelle liefert $P(Z < -0{,}67) = 0{,}2514$ . Wie viele Stunden halten 75 % der Akkus mindestens? Gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen an.
Lösung: 18.66
75 % über dem Wert heißt 0,25 darunter, also $z \approx -0{,}67$ (Tabellenwert 0,2514). $x = 20 + (-0{,}67) \cdot 2 = 20 - 1{,}34 = 18{,}66$ Stunden.
17.
Ein Lager verschickt 4000 Pakete am Tag. Ihr Gewicht ist normalverteilt mit $\mu = 250$ g und $\sigma = 10$ g. Die Tabelle liefert $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ und $P(Z < -1) = 0{,}1587$ . Wie viele Pakete wiegen ungefähr zwischen 240 g und 265 g?
Lösung: 3098
1. Wie lautet der z-Wert von 240 g? -1
2. Wie lautet der z-Wert von 265 g? 1.5
3. Wie groß ist $P(240 < X < 265)$ ? 0.7745
4. Wie viele der 4000 Pakete sind das? 3098
18.
Ein Müslihersteller füllt Packungen mit $\sigma = 6$ g. Auf dem Etikett stehen 500 g, und nur 2,5 % der Packungen dürfen weniger enthalten. Auf welchen Mittelwert $\mu$ muss die Maschine eingestellt werden?
Lösung: 511.76
1. Welcher z-Wert hat die Fläche 0,025 links von sich? -1.96
2. Wie viele Gramm sind $1{,}96\sigma$ , also $1{,}96 \cdot 6$ ? 11.76
3. 500 g liegen 11,76 g unter dem Mittelwert. Wie groß ist $\mu$ ? 511.76