Leitfaden für Lehrer: Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung

Berechne Wahrscheinlichkeiten und Perzentile für normalverteilte Größen in echten Einheiten: standardisieren, z-Tabelle ablesen und rückwärts zu Grenzwerten rechnen.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$P(X < a)$ , $P(X > a)$ und $P(a < X < b)$ für eine normalverteilte Größe in echten Einheiten berechnen
Werte standardisieren und linke Flächen aus der z-Tabelle ablesen
Umkehraufgaben lösen: den Wert zu einem Perzentil oder Grenzwert mit $x = \mu + z\sigma$ bestimmen
Wahrscheinlichkeiten als Anteile und Anzahlen einer Grundgesamtheit deuten

Voraussetzungen

• Einführung in die Normalverteilung: Mittelwert, Standardabweichung und Glockenkurve
• z-Werte (Standardisierung): $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
• Standardnormalverteilung: die z-Tabelle ablesen
• Prozente und Dezimalzahlen

Diskussionsstarter

1. Wie kann dir eine Skizze schon vor dem Rechnen sagen, ob das Ergebnis über oder unter 0,5 liegt?
2. Warum reicht eine einzige Tabelle für jede Normalverteilung, egal welcher Mittelwert und welche Standardabweichung?
3. Ein Akkuhersteller verspricht, dass 90 % der Akkus mindestens 18 Stunden halten. Wie könnte er diese Zahl ermittelt haben?
4. Wenn die besten 10 % eine Urkunde bekommen, warum liegt die Grenze nicht einfach 10 % über dem Mittelwert?
5. Was bedeutet es, wenn ein Messwert einen z-Wert von 4 hat?

Häufige Missverständnisse

Der Tabellenwert ist immer schon die Antwort

Abhilfe: Verlange bei jeder Aufgabe eine Skizze. Frage: Ist der schraffierte Bereich die linke Seite? Wenn nicht, was muss mit dem Tabellenwert passieren?

Die Fläche zwischen zwei Werten erhält man aus der Differenz der z-Werte

Abhilfe: Nutze die Visualisierung: Ziehe beide Grenzen und vergleiche die Fläche mit $P(Z < z_2 - z_1)$ . Zeige, dass der Bereich von -1 bis 2 nicht derselbe ist wie der Bereich links von 3.

Perzentil und z-Wert sind dieselbe Zahl

Abhilfe: Stelle das 90. Perzentil (eine Fläche von 0,90) seinem z-Wert (1,28) und seinem Rohwert (80,24 Punkte) gegenüber. Arbeite mit drei Spalten: Fläche, z, x.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Zuerst nur linke Flächen und ganzzahlige z-Werte verwenden
• Eine Vorlage geben: Skizze, z, Tabelle, Anpassen
• Die Tabellenwerte in der Aufgabe angeben, damit sich die Lernenden auf Standardisieren und Anpassen konzentrieren

Für Schüler auf Niveau:

• Linke, rechte und mittlere Flächen in verschiedenen echten Einheiten mischen
• Wahrscheinlichkeiten für eine gegebene Grundgesamtheit in Anzahlen umrechnen
• Umkehraufgaben für die besten und die schwächsten Prozent lösen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Den Mittelwert bestimmen, auf den eine Maschine eingestellt werden muss, damit nur 2,5 % der Produkte unter einer Grenze liegen
• Die Standardabweichung aus dem Mittelwert und einem bekannten Perzentil bestimmen
• Die 68-95-99,7-Regel mit genauen Tabellenwerten vergleichen

Standardausrichtung

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Mittelwert und Standardabweichung eines Datensatzes nutzen, um ihn an eine Normalverteilung anzupassen und Anteile der Grundgesamtheit zu schätzen; Flächen unter der Normalverteilungskurve mit Taschenrechner, Tabellenkalkulation und Tabellen bestimmen
MP4 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP4)
Mit Mathematik modellieren

Lektionsressourcen

visualVerschiebbare Normalverteilungskurve
Die Lernenden ziehen die Grenzen in echten Einheiten und sehen, wie sich z-Werte und schraffierte Fläche ändern
activityPerzentil-Suche
Im Umkehrmodus suchen die Lernenden den z-Wert zu einer Zielfläche und rechnen ihn in ein Grenzergebnis um
worksheetVier Bereiche, eine Tabelle
Gemischte Aufgaben mit linken, rechten, mittleren Flächen und Umkehrfragen in verschiedenen Einheiten

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung beantworten Fragen wie "Welcher Anteil der Flaschen enthält weniger als 494 mL?", wenn eine Größe

X

einer Normalverteilung mit Mittelwert

\mu

und Standardabweichung

\sigma

folgt, gemessen in echten Einheiten (cm, Punkte, Stunden, mL).

Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Glockenkurve über den gefragten Werten. Jede Normalverteilungskurve wird mit einem einzigen Schritt zur Kurve der Standardnormalverteilung, deshalb brauchst du immer nur eine z-Tabelle.

Das Vier-Schritte-Verfahren

1.Skizzieren und schraffieren: links von $a$ , rechts von $a$ oder zwischen $a$ und $b$ .
2.Standardisieren: Rechne jeden Wert in einen z-Wert um

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

3.z-Tabelle ablesen: Sie gibt die Fläche links von $z$ an, also $P(Z < z)$ (siehe die Lektion zur Standardnormalverteilung).
4.An den Bereich anpassen:

Links: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
Rechts: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
Dazwischen: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Rückwärts rechnen: Perzentile und Grenzwerte

Manchmal ist die Fläche gegeben und der Wert fehlt ("Ab welchem Ergebnis gehört man zu den besten 10 %?"). Suche in der Tabelle den z-Wert mit passender linker Fläche und rechne dann in echte Einheiten zurück:

x = \mu + z\sigma

Eine Wahrscheinlichkeit von

0{,}9332

bedeutet auch 93,32 % der Grundgesamtheit, so lässt sich jedes Ergebnis als Anteil von Menschen, Flaschen oder Akkus lesen.

Lösungsbeispiele

Die Körpergröße von Frauen in einem Land ist normalverteilt mit

\mu = 165

cm und

\sigma = 6

cm. Welcher Anteil der Frauen ist kleiner als 174 cm?

Skizzieren und schraffieren

Schraffiere die Fläche links von 174 cm, das liegt rechts vom Mittelwert 165 cm → Das Ergebnis muss größer als 0,5 sein

Standardisieren

z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}

→

z = 1{,}5

z-Tabelle ablesen

Zeile 1,5, Spalte 0,00 →

P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332

Deuten

Eine linke Fläche muss nicht angepasst werden →

P(X < 174) = 0{,}9332

Antwort: $P(X < 174) = 0{,}9332$ : Etwa 93,32 % der Frauen sind kleiner als 174 cm.

Häufige Fehler

Bei einer "größer als"-Frage den Tabellenwert direkt nehmen, zum Beispiel $P(X > 14) = 0{,}8944$

Warum es falsch ist: Die z-Tabelle gibt immer die Fläche LINKS von $z$ an. Der rechte Rand ist der ganze Rest.

Richtig: Ziehe von 1 ab: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ . Eine schnelle Skizze zeigt, dass der rechte Rand klein ist, also kann 0,8944 nicht stimmen.

Zuerst die z-Werte subtrahieren: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Warum es falsch ist: So funktionieren Flächen unter einer Kurve nicht. Du brauchst die Fläche bis zu jeder Grenze und dann die Differenz dieser Flächen.

Richtig: Lies beide linken Flächen ab und subtrahiere sie: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

In der falschen Reihenfolge standardisieren oder durch die falsche Zahl teilen: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ oder $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Warum es falsch ist: Vertauschst du die Subtraktion, kehrt sich das Vorzeichen um und du landest auf der falschen Seite des Mittelwerts. Teilst du durch die Varianz, stimmt der Abstand nicht.

Richtig: Immer $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ : Werte über dem Mittelwert haben ein positives $z$ , Werte darunter ein negatives $z$ .

Bei Umkehraufgaben den Prozentsatz als z-Wert nehmen (z = 0,90) oder den falschen Rand wählen (z = -1,28 für die besten 10 %)

Warum es falsch ist: Der Prozentsatz ist eine FLÄCHE, die du im Inneren der Tabelle suchst. Den z-Wert liest du an den Rändern der Zeilen und Spalten ab.

Richtig: Die besten 10 % bedeuten 0,90 links, das ergibt $z \approx 1{,}28$ (positiv, über dem Mittelwert). Die schwächsten 10 % ergeben $z \approx -1{,}28$ .

Warum es wichtig ist

Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung machen aus Mittelwert und Standardabweichung konkrete Entscheidungen:

Produktion: Welcher Anteil der Flaschen ist zu wenig gefüllt, und wie stellt man die Maschine ein, damit es fast keine sind?
Gesundheit: Ärztinnen und Ärzte vergleichen Größe oder Gewicht eines Kindes mit Wachstumskurven, die Perzentile einer Normalverteilung sind
Bildung: Prüfungsämter legen fest, ab welcher Punktzahl man zu den besten 10 % gehört oder wie viele bestehen
Produkte: Eine Firma kann "90 % der Akkus halten mindestens 18 Stunden" erst nach dieser Rechnung versprechen
Sport und Wissenschaft: Ob ein Ergebnis ungewöhnlich ist, hängt davon ab, wie viel Fläche jenseits davon liegt

Dieselben vier Schritte lösen all diese Fragen, egal in welchen Einheiten.

Anwendungen im echten Leben

Qualitätskontrolle: zu wenig gefüllte Dosen

Getränkehersteller prüfen, welcher Anteil der Dosen unter der aufgedruckten Füllmenge liegt, und stellen die Abfüllanlagen nach.

Beispiel:

Eine Anlage füllt Dosen mit $\mu = 330$ mL und $\sigma = 2$ mL. Jede Dose unter 327 mL gilt als zu wenig gefüllt.

1Probiere es selbst

Dosen werden mit $\mu = 330$ mL und $\sigma = 2$ mL befüllt, normalverteilt. Die Tabelle liefert $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ .

Welcher Anteil der Dosen enthält weniger als 327 mL? Gib eine Dezimalzahl an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Standardisiere 327 mL und lies dann die linke Fläche ab:

Wachstumskurven beim Kinderarzt

Kinderärztinnen und Kinderärzte vergleichen Babys mit Wachstumskurven. Jede Kurve darauf ist ein Perzentil einer Normalverteilung.

Beispiel:

Das Gewicht von 6 Monate alten Babys in einer Studie ist etwa normalverteilt mit $\mu = 8$ kg und $\sigma = 0{,}5$ kg. Ein Baby unter dem 10. Perzentil wird zusätzlich untersucht.

2Probiere es selbst

Gewicht mit 6 Monaten: $\mu = 8$ kg, $\sigma = 0{,}5$ kg. Laut Tabelle liegen links von $z \approx -1{,}28$ etwa 10 % der Fläche.

Unter welchem Gewicht (in kg) gehört ein Baby zu den leichtesten 10 %?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $x = \mu + z\sigma$ :

Planung eines Stadtmarathons

Veranstalter schätzen, wie viele Läuferinnen und Läufer zu bestimmten Zeiten auf der Strecke sind, um Verpflegungsstände und Personal zu planen.

Beispiel:

Die Zielzeiten sind etwa normalverteilt mit $\mu = 240$ Minuten und $\sigma = 30$ Minuten. Die Veranstalter wollen den Anteil kennen, der zwischen 225 und 285 Minuten ins Ziel kommt.

3Probiere es selbst

Zielzeiten: $\mu = 240$ min, $\sigma = 30$ min. Tabellenwerte: $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ und $P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$ .

Welcher Anteil kommt zwischen 225 und 285 Minuten ins Ziel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Subtrahiere die beiden linken Flächen:

Wichtige Erkenntnisse

1Für eine Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung skizzierst du den Bereich, standardisierst mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , liest die z-Tabelle ab und passt an
2Die z-Tabelle liefert die LINKE Fläche: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
3Rechter Rand: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
4Zwischen zwei Werten: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$
5Umkehraufgaben: z zur gegebenen Fläche im Inneren der Tabelle suchen, dann $x = \mu + z\sigma$ (beste 10 % heißt $z \approx 1{,}28$ )
6Eine Wahrscheinlichkeit ist auch ein Anteil der Grundgesamtheit: $0{,}0668$ von 2000 Flaschen sind etwa 134 Flaschen

Häufig gestellte Fragen

Ist $P(X < 174)$ etwas anderes als $P(X \le 174)$ ?

Nein. Bei einer stetigen Größe hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit 0, deshalb ergeben

<

und

\le

dieselbe Fläche. Bei der Binomialverteilung ist das anders, dort spielt es eine Rolle.

Mein z-Wert hat drei Nachkommastellen, zum Beispiel 1,645. Was mache ich?

Runde für die Tabelle auf zwei Nachkommastellen oder nimm einen Wert zwischen den beiden benachbarten Einträgen. Für

z = 1{,}645

liegen 0,9495 und 0,9505 gleich nah, also ist 0,95 eine gute Antwort.

Was mache ich, wenn der z-Wert außerhalb der Tabelle liegt, etwa $z = 4$ ?

Tabellen enden meist bei etwa 3,49. Darüber hinaus ist die linke Fläche praktisch 1 (bei großem positivem z) oder praktisch 0 (bei großem negativem z). Solche Werte sind extrem selten.

Warum gibt ein Perzentil die Fläche links an?

Das 90. Perzentil ist der Wert, unter dem 90 % der Grundgesamtheit liegen. "Darunter" ist die linke Seite der Kurve, und genau die misst die z-Tabelle.

Glossar

Standardisieren: Einen Wert $x$ mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ in einen z-Wert umrechnen, damit man die Tabelle der Standardnormalverteilung verwenden kann
z-Tabelle: Tabelle der Standardnormalverteilung: Zu jedem $z$ gibt sie die Fläche links an, $P(Z < z)$
Linker Rand / rechter Rand: Die Fläche unter der Normalverteilungskurve unterhalb eines Wertes (links) oder oberhalb eines Wertes (rechts)
Gegenwahrscheinlichkeit: $P(X > a) = 1 - P(X < a)$ , weil die gesamte Fläche unter der Kurve 1 ist
Perzentil: Der Wert, unter dem ein bestimmter Prozentsatz der Grundgesamtheit liegt, zum Beispiel das 90. Perzentil
Grenzwert: Der Wert $x = \mu + z\sigma$ , der eine vorgegebene Fläche abtrennt, zum Beispiel die besten 10 %

Formelkarte

Standardisieren

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Von echten Einheiten zum z-Wert

Linke Fläche

P(X < a) = P(Z < z_a)

Direkt aus der z-Tabelle

Rechte Fläche

P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)

Gegenwahrscheinlichkeit des Tabellenwerts

Fläche dazwischen

P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)

Differenz zweier linker Flächen

Grenzwert

x = \mu + z\sigma

Vom z-Wert zurück in echte Einheiten (Perzentile)

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Das Vier-Schritte-Verfahren

Rückwärts rechnen: Perzentile und Grenzwerte

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Qualitätskontrolle: zu wenig gefüllte Dosen

Wachstumskurven beim Kinderarzt

Planung eines Stadtmarathons

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Standardisieren

Linke Fläche

Rechte Fläche

Fläche dazwischen

Grenzwert

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Binomialverteilung

Diskrete vs stetige Verteilungen

Erwartungswert