Korrelation und Kausalität

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
In einem Badeort haben Eisverkauf und Sonnenbrände eine sehr starke positive Korrelation. Welche Erklärung ist am wahrscheinlichsten?
1. a)Sonnenbrand bringt Menschen dazu, Eis zu kaufen
2. b)Eisessen verursacht Sonnenbrand
3. c)Die Daten müssen falsch sein
4. d)Heißes, sonniges Wetter erhöht beides
Lösung: Heißes, sonniges Wetter erhöht beides
Heißes, sonniges Wetter ist eine Störvariable: Es bringt mehr Menschen an den Strand, die mehr Eis kaufen und öfter Sonnenbrand bekommen. Keine der beiden Variablen verursacht die andere.
2.
In einem randomisierten Experiment wurden $14$ der $200$ Personen in der Behandlungsgruppe krank. Wie viel Prozent der Behandlungsgruppe wurden krank? (Gib nur die Zahl ein.)
Lösung: 7
$\frac{14}{200} \times 100 = 7$ , also wurden $7\,\%$ der Behandlungsgruppe krank.
3.
Um einen neuen Dünger zu testen, werden $100$ Pflanzen per Zufall in zwei Gruppen zu je $50$ aufgeteilt. In der Düngergruppe werden $40$ Pflanzen größer als $30$ cm, in der Kontrollgruppe $25$ . Um wie viele Prozentpunkte ist der Anteil in der Düngergruppe höher?
Lösung: 30
1. Wie viel Prozent der Düngergruppe wurden größer als $30$ cm? 80
2. Wie viel Prozent der Kontrollgruppe wurden größer als $30$ cm? 50
3. Wie groß ist der Unterschied in Prozentpunkten? 30
4.
Welche Art von Studie kann zeigen, dass eine Variable eine andere verursacht?
1. a)Ein Streudiagramm mit $r = 0{,}9$
2. b)Eine Umfrage unter $1000$ Personen
3. c)Daten aus vergangenen Jahren
4. d)Ein randomisiertes kontrolliertes Experiment
Lösung: Ein randomisiertes kontrolliertes Experiment
Nur ein randomisiertes kontrolliertes Experiment teilt die Behandlung per Zufall zu, sodass sich die Gruppen nur in der Behandlung unterscheiden. Umfragen, Streudiagramme und alte Daten können nur Korrelationen zeigen.
5.
In der Placebogruppe einer Studie wurden $40$ von $250$ Patienten ohne Medikament gesund. Wie viel Prozent der Placebogruppe sind das? (Gib nur die Zahl ein.)
Lösung: 16
$\frac{40}{250} \times 100 = 16$ , also wurden $16\,\%$ gesund. Deshalb brauchen Studien eine Kontrollgruppe: Manche Patienten werden auch ohne Medikament gesund.
6.
Stadt A hat viele Radwege, $50\,000$ Einwohner und $100$ Fahrradunfälle pro Jahr. Stadt B hat wenige Radwege, $20\,000$ Einwohner und $60$ Fahrradunfälle pro Jahr. Eine Schlagzeile lautet: "Radwege verursachen Unfälle!" Wie viele Fahrradunfälle pro $1000$ Einwohner hat Stadt A weniger?
Lösung: 1
1. Wie viele Fahrradunfälle pro $1000$ Einwohner hat Stadt A? 2
2. Wie viele Fahrradunfälle pro $1000$ Einwohner hat Stadt B? 3
3. Wie viele Unfälle pro $1000$ Einwohner hat Stadt A weniger? 1
7.
Menschen, die häufiger Schmerztabletten nehmen, berichten über mehr Kopfschmerzen. Welche Erklärung ist am wahrscheinlichsten?
1. a)Die Korrelation muss negativ sein
2. b)Häufige Kopfschmerzen bringen Menschen dazu, mehr Schmerztabletten zu nehmen
3. c)Schmerztabletten und Kopfschmerzen hängen gar nicht zusammen
4. d)Schmerztabletten verursachen Kopfschmerzen
Lösung: Häufige Kopfschmerzen bringen Menschen dazu, mehr Schmerztabletten zu nehmen
Das ist umgekehrte Kausalität: Menschen nehmen Schmerztabletten, weil sie Kopfschmerzen haben. Die Kopfschmerzen verursachen die Tabletten, nicht umgekehrt.
8.
Eine Forscherin testet $300$ Paare unabhängiger Variablen. Jedes Paar hat eine Chance von $5\,\%$ , rein zufällig stark korreliert auszusehen. Mit wie vielen stark wirkenden Korrelationen muss sie rechnen?
Lösung: 15
$300 \times 0{,}05 = 15$ . Etwa $15$ Korrelationen sehen durch reinen Zufall stark aus, obwohl keines der Paare wirklich zusammenhängt.
9.
Um zu testen, ob Musik beim Lernen hilft, werden $24$ Schüler per Zufall in zwei gleich große Gruppen aufgeteilt. Eine Gruppe lernt mit Musik, die andere in Stille. Im Test erreicht die Musikgruppe insgesamt $936$ Punkte und die Stillegruppe insgesamt $864$ Punkte. Um wie viele Punkte ist der Durchschnitt der Musikgruppe höher?
Lösung: 6
1. Wie viele Schüler sind in jeder Gruppe? 12
2. Wie hoch ist der Durchschnitt der Musikgruppe? 78
3. Wie hoch ist der Durchschnitt der Stillegruppe? 72
4. Um wie viele Punkte ist der Durchschnitt der Musikgruppe höher? 6
10.
Zu größeren Bränden werden mehr Feuerwehrleute geschickt, und größere Brände richten mehr Schaden an. Deshalb korreliert die Zahl der Feuerwehrleute positiv mit dem Schaden. Was ist die Störvariable?
1. a)Der Wochentag
2. b)Die Größe des Brandes
3. c)Die Feuerwehrleute selbst
4. d)Die Farbe der Feuerwehrautos
Lösung: Die Größe des Brandes
Die Größe des Brandes treibt beides an: Ein großer Brand braucht mehr Feuerwehrleute und richtet auch mehr Schaden an. Die Feuerwehrleute verursachen den Schaden nicht, sie verringern ihn.
11.
In einem randomisierten Experiment bekamen $12\,\%$ der Behandlungsgruppe und $20\,\%$ der Kontrollgruppe die Grippe. Um wie viele Prozentpunkte ist der Anteil in der Behandlungsgruppe niedriger?
Lösung: 8
$20 - 12 = 8$ Prozentpunkte. Da die Gruppen per Zufall gebildet wurden, schätzt dieser Unterschied die Wirkung der Behandlung.
12.
Ein Onlineshop zeigt Version A seiner Website $1500$ zufällig ausgewählten Besuchern und Version B weiteren $1500$ . Bei Version A kaufen $45$ Besucher etwas, bei Version B $75$ . Um wie viele Prozentpunkte ist die Kaufrate bei Version B höher?
Lösung: 2
1. Wie viel Prozent der Besucher von Version A kaufen etwas? 3
2. Wie viel Prozent der Besucher von Version B kaufen etwas? 5
3. Um wie viele Prozentpunkte liegt Version B höher? 2
13.
$400$ Freiwillige werden per Zufall in $4$ gleich große Gruppen aufgeteilt: eine Placebogruppe und drei Gruppen mit verschiedenen Dosen eines Erkältungsmittels. In der Placebogruppe erkälten sich $30$ Personen, in der Gruppe mit der höchsten Dosis $12$ . Um wie viele Prozentpunkte ist der Erkältungsanteil in der Gruppe mit der höchsten Dosis niedriger?
Lösung: 18
1. Wie viele Personen sind in jeder Gruppe? 100
2. Wie viel Prozent der Placebogruppe erkälten sich? 30
3. Wie viel Prozent der Gruppe mit der höchsten Dosis erkälten sich? 12
4. Um wie viele Prozentpunkte ist der Anteil bei der höchsten Dosis niedriger? 18
14.
Welche Aussage ist richtig?
1. a)Eine Korrelation von $r = 0{,}98$ beweist, dass $x$ die Ursache von $y$ ist
2. b)Wenn zwei Variablen nicht stark korrelieren, kann die eine die andere nie verursachen
3. c)Eine starke Korrelation allein beweist nie Kausalität, und eine Ursache kann auch bei schwacher Korrelation bestehen
4. d)Korrelation und Kausalität bedeuten dasselbe, wenn die Stichprobe groß ist
Lösung: Eine starke Korrelation allein beweist nie Kausalität, und eine Ursache kann auch bei schwacher Korrelation bestehen
Eine starke Korrelation kann von umgekehrter Kausalität, einer Störvariablen oder Zufall kommen, sie beweist also allein nie Kausalität. Und eine echte Ursache kann eine schwache Korrelation ergeben, wenn andere Variablen sie überdecken oder der Zusammenhang keine Gerade ist. Eine große Stichprobe ändert daran nichts.
15.
$600$ Freiwillige werden per Zufall in zwei gleich große Gruppen aufgeteilt. In der Impfgruppe bekommen $27$ Personen die Grippe, in der Placebogruppe $45$ . Um wie viele Prozentpunkte ist der Grippeanteil in der Impfgruppe niedriger?
Lösung: 6
Jede Gruppe: $600 \div 2 = 300$ . Impfung: $\frac{27}{300} \times 100 = 9\,\%$ . Placebo: $\frac{45}{300} \times 100 = 15\,\%$ . Unterschied: $15 - 9 = 6$ Prozentpunkte.
16.
Krankenhaus A hat insgesamt eine Sterberate von $3{,}4\,\%$ und Krankenhaus B von $2{,}6\,\%$ , also wirkt B besser. Aber Krankenhaus A behandelt viel mehr schwer kranke Patienten. Krankenhaus A hatte $800$ schwer kranke Patienten, von denen $32$ starben, und $200$ leicht kranke, von denen $2$ starben. Krankenhaus B hatte $200$ schwer kranke Patienten, von denen $10$ starben, und $800$ leicht kranke, von denen $16$ starben. Um wie viele Prozentpunkte ist die Sterberate bei schwer kranken Patienten in Krankenhaus A niedriger als in Krankenhaus B?
Lösung: 1
1. Prüfe die Gesamtsterberate von Krankenhaus A: Was ist $\frac{32 + 2}{1000} \times 100$ ? 3.4
2. Wie hoch ist die Sterberate von Krankenhaus A bei schwer kranken Patienten in Prozent? 4
3. Wie hoch ist die Sterberate von Krankenhaus B bei schwer kranken Patienten in Prozent? 5
4. Um wie viele Prozentpunkte liegt Krankenhaus A bei schwer kranken Patienten niedriger? 1
17.
Ein Rettungsschwimmer notiert $100$ Sommertage. An den $50$ Tagen mit hohem Eisverkauf gab es $7$ Rettungen von Schwimmern, an den $50$ Tagen mit niedrigem Verkauf $4$ . Nach Wetter aufgeteilt: Es gab $30$ heiße Tage mit hohem Verkauf ( $6$ Rettungen) und $10$ heiße Tage mit niedrigem Verkauf ( $2$ Rettungen), $20$ kühle Tage mit hohem Verkauf ( $1$ Rettung) und $40$ kühle Tage mit niedrigem Verkauf ( $2$ Rettungen). Wie groß ist nur an heißen Tagen der Unterschied der Rettungen pro Tag zwischen Tagen mit hohem und Tagen mit niedrigem Verkauf?
Lösung: 0
1. Wie viele Rettungen pro Tag gab es an allen Tagen mit hohem Verkauf? 0.14
2. Wie viele Rettungen pro Tag gab es an allen Tagen mit niedrigem Verkauf? 0.08
3. Wie viele Rettungen pro Tag gab es an heißen Tagen mit hohem Verkauf? 0.2
4. Wie viele Rettungen pro Tag gab es an heißen Tagen mit niedrigem Verkauf? 0.2
5. Wie groß ist der Unterschied an heißen Tagen? 0
18.
Eine Forscherin testet $20$ Lebensmittel, die in Wirklichkeit nichts mit einer Krankheit zu tun haben. Bei jedem Lebensmittel besteht eine Chance von $5\,\%$ , dass der Test rein zufällig einen falschen "Zusammenhang" zeigt, und die Tests sind unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Lebensmittel einen falschen Zusammenhang zeigt? Gib sie in Prozent an, auf eine ganze Zahl gerundet.
Lösung: 64
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test keinen falschen Zusammenhang zeigt? Schreibe sie als Dezimalzahl. 0.95
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle $20$ Tests keinen falschen Zusammenhang zeigen? Runde auf zwei Nachkommastellen. 0.36
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen falschen Zusammenhang als Dezimalzahl? 0.64
4. Wie viel Prozent sind das? 64