Leitfaden für Lehrer: Korrelation und Kausalität

Lerne, warum zwei Variablen, die gemeinsam steigen und fallen, sich nicht immer gegenseitig verursachen, und wie Forschende Ursache und Wirkung wirklich nachweisen.

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10 Fragen zu Korrelation. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Den Unterschied zwischen Korrelation und Kausalität erklären
Störvariablen (Drittvariablen) in realen Situationen erkennen
Umgekehrte Kausalität und zufällige Korrelationen erkennen
Gruppen mithilfe von Anteilen statt Anzahlen vergleichen
Beschreiben, wie ein randomisiertes kontrolliertes Experiment Ursache und Wirkung belegen kann, und damit Behauptungen in den Medien beurteilen

Voraussetzungen

• Einführung in die Korrelation: positive, negative und keine Korrelation
• Korrelationskoeffizient: was $r$ misst und wie man seine Stärke abliest
• Streudiagramme und Datentabellen lesen
• Prozentsätze aus Teil und Ganzem berechnen

Diskussionsstarter

1. Schüler in der ersten Reihe haben bessere Noten. Macht die erste Reihe klüger? Was könnte es sonst erklären?
2. Länder, in denen mehr Schokolade gegessen wird, gewinnen mehr Nobelpreise. Was könnte eine Störvariable sein?
3. Warum bekommt die Kontrollgruppe in Medikamentenstudien ein Placebo statt gar nichts?
4. Warum wäre es falsch, Freiwillige selbst entscheiden zu lassen, ob sie das neue Medikament bekommen?
5. Finde eine Schlagzeile, die behauptet, dass eine Sache eine andere verursacht. Beruht sie auf einem Experiment oder nur auf einer Korrelation?

Häufige Missverständnisse

Eine Korrelation ist entweder Kausalität oder völlig bedeutungslos

Abhilfe: Zeige die vier Erklärungen nebeneinander (Kausalität, umgekehrte Kausalität, Störvariable, Zufall). Betone, dass die meisten echten Korrelationen wahre Muster in den Daten sind; die Frage ist nur, wodurch sie entstehen.

Größere Zahlen in einer Gruppe bedeuten eine größere Wirkung

Abhilfe: Nutze das Städtebeispiel: Stadt A hat 1200 Unfälle und Stadt B 300, aber pro 100 000 Einwohner haben beide 300. Übt, Anzahlen vor jedem Vergleich in Anteile umzurechnen.

Jedes Experiment beweist Kausalität, auch wenn Menschen ihre Gruppe selbst wählen

Abhilfe: Stelle eine Freiwilligengruppe (gesündere, motiviertere Menschen melden sich) der zufälligen Zuteilung per Münzwurf gegenüber. Lass die Lernenden auflisten, worin sich selbst gewählte Gruppen außer der Behandlung unterscheiden könnten.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit offensichtlich unsinnigen Korrelationen (Eis und Sonnenbrand), bevor realistische folgen
• Gib eine Checkliste mit drei Fragen: Andersherum? Dritte Variable? Nur Zufall?
• Nutze Gruppen von 100, damit Anzahl und Prozentsatz dieselbe Zahl sind

Für Schüler auf Niveau:

• 8 Schlagzeilen nach Art der Erklärung ordnen und für jede eine Störvariable vorschlagen
• Anteile in einem Experiment mit zwei Gruppen berechnen und vergleichen
• Ein einfaches randomisiertes Experiment zu einer selbst gewählten Behauptung planen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Das Simpson-Paradoxon mit der Kaffee-Raucher-Daten oder den Krankenhausdaten untersuchen
• Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen falschen Befund bei vielen Tests berechnen, etwa $1 - 0{,}95^{20}$
• Recherchieren, wie ohne randomisiertes Experiment gezeigt wurde, dass Rauchen Lungenkrebs verursacht

Standardausrichtung

HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Zwischen Korrelation und Kausalität unterscheiden
HSS.IC.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.3)
Zweck und Unterschiede von Stichprobenerhebungen, Experimenten und Beobachtungsstudien erkennen; erklären, welche Rolle die Randomisierung jeweils spielt
HSS.IC.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.5)
Daten aus einem randomisierten Experiment nutzen, um zwei Behandlungen zu vergleichen
8.SP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.1)
Streudiagramme für zweidimensionale Messdaten erstellen und deuten, um Zusammenhangsmuster zwischen zwei Größen zu untersuchen

Lektionsressourcen

visualStreudiagramme zu Eis und Sonnenbrand
Zwei Streudiagramme zeigen eine starke Korrelation und die Temperatur, die beide Variablen antreibt
activitySchlagzeilen-Detektive
Die Lernenden ordnen realistische Schlagzeilen den Fällen Kausalität, umgekehrte Kausalität, Störvariable oder Zufall zu und begründen ihre Wahl
worksheetPlane ein Experiment
Die Lernenden machen aus einer Korrelationsbehauptung ein randomisiertes kontrolliertes Experiment mit Behandlungsgruppe, Kontrollgruppe und gemessenem Ergebnis

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Korrelation bedeutet, dass sich zwei Variablen gemeinsam verändern: Wenn die eine steigt, steigt die andere tendenziell auch (positive Korrelation) oder sie sinkt (negative Korrelation). Kausalität bedeutet, dass eine Veränderung der einen Variablen tatsächlich eine Veränderung der anderen *bewirkt*.

\text{Korrelation} \neq \text{Kausalität}

Selbst eine sehr starke Korrelation, etwa

r = 0{,}95

, beweist nicht, dass

x

die Ursache von

y

ist. Wenn zwei Variablen korrelieren, gibt es vier mögliche Erklärungen:

1. $x$ verursacht $y$ ** (Kausalität): Mehr Trainingsstunden führen zu einer besseren Freiwurfquote.
2. $y$ verursacht $x$ ** (umgekehrte Kausalität): Die Ursache wirkt genau andersherum.
3.Eine dritte Variable verursacht beide (eine Störvariable, auch Drittvariable genannt): Heißes Wetter erhöht sowohl den Eisverkauf als auch die Zahl der Sonnenbrände.
4.Zufall (eine Scheinkorrelation): Das Muster ist zufällig entstanden.

Eine Korrelation allein kann diese vier Fälle nicht unterscheiden. Um Ursache und Wirkung zu zeigen, nutzen Forschende ein randomisiertes kontrolliertes Experiment: Sie teilen die Versuchspersonen per Zufall in eine Behandlungsgruppe und eine Kontrollgruppe ein, verändern nur eine Sache und vergleichen die Ergebnisse. Um Gruppen unterschiedlicher Größe zu vergleichen, vergleichst du ihre Anteile (Raten):

\text{Anteil} = \frac{\text{Anzahl der Fälle}}{\text{Gruppengröße}} \times 100\,\%

Lösungsbeispiele

Ein Ferienort am Meer notiert 8 Sommerwochen lang den Eisverkauf und die Zahl der Sonnenbrände (die Zahlen sind für dieses Beispiel ausgedacht). Von der kühlsten bis zur heißesten Woche betrug die Durchschnittstemperatur

15

18

20

22

24

27

29

und

31

°C. In denselben Wochen wurden

4

6

7

9

10

13

14

und

16

Hundert Kugeln Eis verkauft, und es gab

5

8

9

12

14

18

19

und

23

Sonnenbrände. Die Korrelation zwischen Eisverkauf und Sonnenbränden ist sehr stark (

r \approx 0{,}998

). Verursacht Eisessen Sonnenbrand?

Beschreibe die Korrelation

Während der Eisverkauf von

4

auf

16

Hundert Kugeln steigt, steigen die Sonnenbrände von

5

auf

23

→ Starke positive Korrelation

Frage nach einem Mechanismus

Eis kann die Haut nicht verbrennen, und ein Sonnenbrand bringt niemanden dazu, Eis zu kaufen → Keine direkte Ursache in irgendeine Richtung

Suche nach einer dritten Variablen

Die Temperatur steigt jede Woche von

15

°C auf

31

°C. In heißen, sonnigen Wochen kommen mehr Menschen an den Strand, kaufen mehr Eis und sind länger in der Sonne → Die Temperatur treibt beide Variablen an

Benenne die Erklärung

Temperatur

\rightarrow

Eisverkauf und Temperatur

\rightarrow

Sonnenbrände → Die Temperatur ist eine Störvariable

Antwort: Nein. Die Korrelation ist echt, aber die Temperatur ist eine Störvariable, die sowohl den Eisverkauf als auch die Sonnenbrände erhöht. Ein Eisverbot würde keinen einzigen Sonnenbrand verhindern.

Häufige Fehler

Glauben, eine starke Korrelation beweise Kausalität (" $r = 0{,}95$ , also muss $x$ die Ursache von $y$ sein")

Warum es falsch ist: Der Korrelationskoeffizient misst nur, wie eng zwei Variablen gemeinsam verlaufen. Im Beispiel des Ferienorts am Meer haben Eisverkauf und Sonnenbrände $r \approx 0{,}998$ , und keines verursacht das andere.

Richtig: Ein starkes $r$ sagt dir, dass die Variablen zusammenhängen. Für eine Aussage über Kausalität brauchst du ein randomisiertes kontrolliertes Experiment oder sehr starke zusätzliche Belege.

Annehmen, dass die Ursache in die erwartete Richtung wirkt

Warum es falsch ist: Zwei korrelierte Variablen können in beide Richtungen verbunden sein. Menschen, die mehr Schmerztabletten nehmen, berichten über mehr Kopfschmerzen, aber die Kopfschmerzen verursachen die Tabletten, nicht umgekehrt.

Richtig: Frage immer: Könnte $y$ die Ursache von $x$ sein? Prüfe, welche Variable sich zuerst ändern kann und welche darauf reagiert.

Störvariablen vergessen, die gar nicht in den Daten stehen

Warum es falsch ist: Eine Drittvariable wird oft überhaupt nicht gemessen. In der Kaffeestudie verbergen die Gesamtzahlen das Rauchen, die eigentliche Ursache.

Richtig: Frage, was sich sonst noch zwischen den Gruppen unterscheidet (Alter, Wetter, Einkommen, Einwohnerzahl, Gesundheit). Vergleiche die Gruppen wenn möglich bei gleichem Wert dieser Variablen.

Anzahlen statt Anteile vergleichen

Warum es falsch ist: Eine große Stadt hat mehr Unfälle, mehr Bibliotheken und mehr Eisdielen, einfach weil dort mehr Menschen leben. Die Einwohnerzahl ist eine versteckte Drittvariable.

Richtig: Teile durch die Gruppengröße und vergleiche Anteile, zum Beispiel Fälle pro $100$ Personen (Prozent) oder pro $1000$ Einwohner.

Warum es wichtig ist

Jeden Tag begegnen dir Behauptungen, die auf Korrelationen beruhen:

Schlagzeilen: "Kaffeetrinker leben länger" oder "Kinder, die frühstücken, haben bessere Noten". Liegt es am Kaffee und am Frühstück oder an etwas anderem bei diesen Menschen?
Gesundheit: Ein Medikament wird erst zugelassen, wenn randomisierte Studien zeigen, dass es, und nicht der Zufall, die Patienten gesünder macht.
Wirtschaft: Firmen testen zwei Versionen einer Website an zufällig ausgewählten Besuchern, bevor sie entscheiden, welche mehr verkauft.
Politik: Städte entscheiden, ob sie Geld für Schulen, Polizei oder Radwege ausgeben. Eine falsche Ursache bedeutet verschwendetes Geld.
Deine eigenen Entscheidungen: Wer den Unterschied kennt, fällt nicht auf Werbung und Pseudowissenschaft herein, die eine echte Korrelation nutzen, um eine falsche Ursache zu verkaufen.

Wenn du fragst "Könnte es andersherum sein? Gibt es eine dritte Variable? Könnte es Zufall sein?", denkst du wie eine Wissenschaftlerin oder ein Wissenschaftler.

Anwendungen im echten Leben

Medizinische Studien

Neue Medikamente werden in randomisierten kontrollierten Studien getestet. Die Patienten werden per Zufall dem Medikament oder einem Placebo zugeteilt, sodass das Medikament der einzige systematische Unterschied zwischen den Gruppen ist.

Beispiel:

Bei einer bekannten Art von Studie wissen weder die Patienten noch die Ärzte, wer das echte Medikament bekommt (eine Doppelblindstudie). So können Erwartungen die Ergebnisse nicht verfälschen.

1Probiere es selbst

Ein Kopfschmerzmittel wird an $500$ Patienten getestet, die per Zufall in zwei Gruppen zu je $250$ aufgeteilt werden. In der Medikamentengruppe haben nach einem Monat noch $20$ Patienten häufig Kopfschmerzen, in der Placebogruppe $45$ .

Um wie viele Prozentpunkte ist der Kopfschmerzanteil in der Medikamentengruppe niedriger?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\frac{45}{250} \times 100 - \frac{20}{250} \times 100$ :

Schlagzeilen beurteilen

Viele Schlagzeilen zu Gesundheit und Lebensstil beruhen auf Beobachtungsstudien, bei denen Forschende nur beobachten, was Menschen ohnehin tun. Solche Studien können Korrelationen finden, aber keine Ursachen beweisen.

Beispiel:

"Schüler, die ein Instrument spielen, haben bessere Noten." Familien, die Musikunterricht bezahlen, haben vielleicht auch mehr Zeit und Geld für schulische Unterstützung. Das ist eine mögliche Störvariable.

2Probiere es selbst

Eine Journalistin prüft $60$ Gesundheitsschlagzeilen. $45$ davon beruhen nur auf Beobachtungsstudien, die übrigen auf randomisierten Experimenten.

Wie viel Prozent der Schlagzeilen beruhen auf randomisierten Experimenten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\frac{60 - 45}{60} \times 100$ :

Städtestatistik

Städtedaten sind voller Korrelationen, die durch die Einwohnerzahl entstehen: Größere Städte haben von fast allem mehr. Planer vergleichen deshalb Werte pro $100\,000$ Einwohner, um diese Störvariable auszuschalten.

Beispiel:

Über viele Städte hinweg korreliert die Zahl der Bibliotheken stark mit der Zahl der Verkehrsunfälle. Bibliotheken verursachen keine Unfälle: Beide wachsen mit der Zahl der Menschen, die in der Stadt leben.

3Probiere es selbst

Stadt A hat $400\,000$ Einwohner, $20$ Bibliotheken und $1200$ Verkehrsunfälle pro Jahr. Stadt B hat $100\,000$ Einwohner, $5$ Bibliotheken und $300$ Verkehrsunfälle pro Jahr.

Wie viele Verkehrsunfälle pro $100\,000$ Einwohner hat Stadt A?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $1200 \div \frac{400\,000}{100\,000}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Korrelation heißt, dass sich zwei Variablen gemeinsam ändern; Kausalität heißt, dass die eine tatsächlich eine Änderung der anderen bewirkt
2Eine starke Korrelation (selbst $r$ nahe $1$ oder $-1$ ) beweist allein niemals Kausalität
3Eine Korrelation kann durch Kausalität, umgekehrte Kausalität, eine Störvariable (Drittvariable) oder Zufall entstehen
4Eine Störvariable beeinflusst beide Variablen, so wie die Temperatur den Eisverkauf und die Sonnenbrände
5Vergleiche Anteile, nicht Anzahlen: $\text{Anteil} = \frac{\text{Fälle}}{\text{Gruppengröße}} \times 100\,\%$
6Ein randomisiertes kontrolliertes Experiment mit zufälliger Zuteilung zu Behandlungs- und Kontrollgruppe ist der beste Weg, Ursache und Wirkung zu zeigen

Häufig gestellte Fragen

Wenn Korrelation keine Kausalität beweist, warum messen Forschende sie dann?

Korrelation ist trotzdem sehr nützlich. Sie zeigt, welche Variablen eine genauere Untersuchung wert sind, und sie erlaubt Vorhersagen: Eine starke Korrelation zwischen Temperatur und Eisverkauf hilft einer Eisdiele beim Planen ihres Vorrats, auch ohne die Ursache zu kennen. Die Korrelation ist der erste Hinweis, das Experiment ist der Beweis.

Kann es Kausalität ohne starke Korrelation geben?

Ja. Eine Ursache kann von anderen Variablen überdeckt werden, oder der Zusammenhang ist keine Gerade, sodass

r

schwach ist. Ein Medikament hilft zum Beispiel vielleicht nur manchen Patienten, sodass die Gesamtkorrelation schwach aussieht, obwohl das Medikament bei ihnen wirklich wirkt.

Was ist der Unterschied zwischen einer Beobachtungsstudie und einem Experiment?

In einer Beobachtungsstudie halten Forschende nur fest, was Menschen ohnehin tun (wer Kaffee trinkt, wer raucht). In einem Experiment entscheiden die Forschenden, wer die Behandlung bekommt, idealerweise per Zufall. Nur ein Experiment kontrolliert die Störvariablen, denn zufällige Gruppen gleichen sich in allem außer der Behandlung.

Kann man jemals ohne Experiment auf Kausalität schließen?

Manchmal sind Experimente unmöglich oder unethisch (man kann niemanden 20 Jahre lang rauchen lassen). Dann sammeln Forschende viele Arten von Belegen: eine starke Korrelation in vielen Studien, die Ursache kommt vor der Wirkung, mehr Ursache bringt mehr Wirkung, und es gibt einen bekannten biologischen Mechanismus. So wurde gezeigt, dass Rauchen Lungenkrebs verursacht.

Glossar

Kausalität: Ein Zusammenhang, bei dem eine Veränderung der einen Variablen tatsächlich eine Veränderung einer anderen Variablen bewirkt
Störvariable (Drittvariable): Eine dritte Variable, die beide untersuchten Variablen beeinflusst und so eine Korrelation zwischen ihnen erzeugen kann
Umgekehrte Kausalität: Wenn die Variable, die man für die Wirkung hält, in Wirklichkeit die Ursache ist
Scheinkorrelation: Eine Korrelation, die durch Zufall oder durch eine versteckte Variable entsteht, nicht durch eine echte Ursache
Randomisiertes kontrolliertes Experiment: Eine Studie, in der die Versuchspersonen per Zufall einer Behandlungs- oder Kontrollgruppe zugeteilt werden, sodass sich die Gruppen nur in der Behandlung unterscheiden
Placebo: Eine Tablette oder Behandlung ohne Wirkstoff, die die Kontrollgruppe bekommt, damit beide Gruppen dasselbe erleben

Formelkarte

Anteil in einer Gruppe

\text{Anteil} = \frac{\text{Anzahl der Fälle}}{\text{Gruppengröße}} \times 100\,\%

Macht aus Anzahlen Prozentwerte, damit Gruppen unterschiedlicher Größe vergleichbar werden

Unterschied zweier Anteile

\text{Unterschied} = \text{Anteil}_{\text{Kontrolle}} - \text{Anteil}_{\text{Behandlung}}

Wird in Prozentpunkten gemessen; in einem randomisierten Experiment schätzt er die Wirkung der Behandlung

Erwartete Zufallskorrelationen

\text{erwartet} = \text{Anzahl getesteter Paare} \times \text{Chance pro Paar}

Wie viele stark wirkende Korrelationen durch reinen Zufall auftreten, wenn viele unabhängige Paare getestet werden

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Medizinische Studien

Schlagzeilen beurteilen

Städtestatistik

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Anteil in einer Gruppe

Unterschied zweier Anteile

Erwartete Zufallskorrelationen

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