Textaufgaben zur Korrelation

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Eine Umfrage unter Jugendlichen ergibt $r = -0{,}85$ zwischen täglicher Bildschirmzeit und Schlafstunden. Welche Beschreibung ist richtig?
1. a)Schwache positive Korrelation
2. b)Sehr starke negative Korrelation
3. c)Mäßige negative Korrelation
4. d)Keine Korrelation
Lösung: Sehr starke negative Korrelation
$r$ ist negativ, also geht mehr Bildschirmzeit mit weniger Schlaf einher. $|r| = 0{,}85$ liegt zwischen $0{,}80$ und $1{,}00$ , die Korrelation ist also sehr stark.
2.
Vier Studien berichten diese Korrelationen. Welche zeigt den stärksten linearen Zusammenhang?
1. a) $r = 0{,}78$
2. b) $r = 0{,}45$
3. c) $r = -0{,}91$
4. d) $r = 0{,}05$
Lösung: $r = -0{,}91$
Die Beträge sind $0{,}91$ , $0{,}45$ , $0{,}78$ und $0{,}05$ . Der größte ist $0{,}91$ , also ist $r = -0{,}91$ am stärksten (eine sehr starke negative Korrelation).
3.
Für einen Datensatz gilt $S_{xy} = 27$ , $S_{xx} = 20$ und $S_{yy} = 45$ . Berechne $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ .
Lösung: 0.9
$r = \frac{27}{\sqrt{20 \cdot 45}} = \frac{27}{\sqrt{900}} = \frac{27}{30} = 0{,}9$ , eine sehr starke positive Korrelation.
4.
Fünf Schülerinnen und Schüler übten ein Lied 2, 3, 4, 5 und 6 Stunden lang und erhielten diese Punkte: $50$ , $55$ , $65$ , $70$ , $80$ . Der erste Schritt zu $r$ sind die Mittelwerte. Wie groß ist $\bar{y}$ , die mittlere Punktzahl?
Lösung: 64
$\bar{y} = \frac{50 + 55 + 65 + 70 + 80}{5} = \frac{320}{5} = 64$ .
5.
Eine Bäckerei notiert an fünf Tagen ihre Öffnungsstunden: $2, 4, 6, 8, 10$ . Bestimme den Mittelwert und die Abweichungen, die du für $r$ brauchst.
Lösung: 0
1. Wie groß ist der Mittelwert $\bar{x}$ ? 6
2. Wie groß ist die Abweichung von $10$ , also $10 - \bar{x}$ ? 4
3. Wie groß ist die Abweichung von $2$ ? -4
4. Wie groß ist die Summe aller fünf Abweichungen? 0
6.
Ein Café findet $r = -0{,}72$ zwischen der Außentemperatur und der Zahl der pro Tag verkauften heißen Schokoladen. Interpretiere diesen Wert.
Lösung: -0.72
1. Wie groß ist $|r|$ ? 0.72
2. Welche Richtung hat der Zusammenhang? negativ
3. Wie stark ist die Korrelation? stark
4. Wenn die Temperatur steigt, dann ... der Verkauf von heißer Schokolade meistens. sinkt
7.
Daten aus vielen Orten zeigen $r = 0{,}90$ zwischen der Zahl der Apotheken und der Zahl der Friseursalons eines Ortes. Welche Schlussfolgerung ist gerechtfertigt?
1. a)Größere Orte haben mehr Apotheken und mehr Friseursalons, eine kausale Aussage ist also nicht gerechtfertigt
2. b)Eine neue Apotheke lockt mehr Friseursalons an
3. c)Ein Ort kann die Zahl seiner Friseursalons senken, indem er Apotheken schließt
4. d) $r = 0{,}90$ beweist Kausalität, weil es nahe bei $1$ liegt
Lösung: Größere Orte haben mehr Apotheken und mehr Friseursalons, eine kausale Aussage ist also nicht gerechtfertigt
Die Größe des Ortes (seine Einwohnerzahl) ist eine Störvariable: In großen Orten leben mehr Menschen, die sowohl Apotheken als auch Friseure brauchen. Die Korrelation ist echt, zeigt aber nicht, dass das eine das andere verursacht, und kein Wert von $r$ allein beweist Kausalität.
8.
Eine Firma möchte zeigen, dass ihr neuer Dünger schnelleres Pflanzenwachstum verursacht. Welche Studie könnte diese kausale Aussage rechtfertigen?
1. a)Eine Umfrage, welchen Dünger Gärtner verwenden
2. b)Gleiche Pflanzen zufällig in eine Gruppe mit und eine ohne Dünger einteilen, alles andere bleibt gleich
3. c)Die Berechnung von $r$ für sechs Höfe, die ihren Dünger selbst gewählt haben
4. d)Eine Online-Umfrage unter Kunden
Lösung: Gleiche Pflanzen zufällig in eine Gruppe mit und eine ohne Dünger einteilen, alles andere bleibt gleich
Nur ein randomisiertes kontrolliertes Experiment kann eine kausale Aussage rechtfertigen. Die zufällige Einteilung verteilt Störvariablen (Boden, Licht, Pflege) gleichmäßig auf beide Gruppen. Höfe, die ihren Dünger selbst wählen, können sich in vielem anderen unterscheiden.
9.
Für fünf Datenpunkte sind die Abweichungen $x_i - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ und $y_i - \bar{y}$ : $-4, -2, 1, 3, 2$ . Berechne $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
Lösung: 17
$8 + 2 + 0 + 3 + 4 = 17$ . Die Summe ist positiv, also wird auch $r$ positiv.
10.
Eine Studie zu Autoalter und Kraftstoffeffizienz ergibt $S_{xy} = -36$ , $S_{xx} = 40$ und $S_{yy} = 45$ . Berechne $r$ und runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: -0.85
$r = \frac{-36}{\sqrt{1800}} \approx \frac{-36}{42{,}43} \approx -0{,}85$ . Ältere Autos sind meist weniger sparsam (eine sehr starke negative Korrelation).
11.
Ein Fußballtrainer notiert Trainingseinheiten und Tore von fünf Spielern: $(1, 2)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 5)$ , $(5, 8)$ . Berechne $r$ auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: 0.78
1. Wie groß ist $\bar{x}$ ? 3
2. Wie groß ist $\bar{y}$ ? 5
3. Die $y$ -Abweichungen sind $-3, 1, -1, 0, 3$ . Wie groß ist $S_{xy}$ ? 11
4. Wie groß ist $S_{xx}$ ? 10
5. Wie groß ist $S_{yy}$ ? 20
6. Wie groß ist $r$ , gerundet auf 2 Nachkommastellen? 0.78
12.
Eine Lehrerin vergleicht Fehltage mit Testergebnissen (von 10 Punkten) bei vier Schülern: $(1, 9)$ , $(3, 8)$ , $(5, 4)$ , $(7, 3)$ . Berechne $r$ auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: -0.96
1. Wie groß ist $\bar{x}$ ? 4
2. Wie groß ist $\bar{y}$ ? 6
3. Die Abweichungen sind $x$ : $-3, -1, 1, 3$ und $y$ : $3, 2, -2, -3$ . Wie groß ist $S_{xy}$ ? -22
4. Wie groß ist $S_{xx}$ ? 20
5. Wie groß ist $S_{yy}$ ? 26
6. Wie groß ist $r$ , gerundet auf 2 Nachkommastellen? -0.96
13.
In einer Grundschule mit Kindern von 6 bis 12 Jahren haben Schuhgröße und Lesepunktzahl $r = 0{,}88$ . Ein Elternteil sagt: "Größere Füße lassen Kinder besser lesen." Beurteile diese Aussage.
Lösung: 0.88
1. Welche Richtung hat die Korrelation? positiv
2. Wie stark ist sie? sehr stark
3. Welche Störvariable beeinflusst sowohl Schuhgröße als auch Lesen? Alter
4. Ist die kausale Aussage gerechtfertigt? nein
14.
Fünf Punkte liegen nahe an einer steigenden Geraden und haben $r = 0{,}95$ . Ein sechster Punkt wird weit rechts und weit unterhalb der Geraden hinzugefügt. Was passiert mit $r$ ?
1. a) $r$ wird viel schwächer und kann sogar negativ werden
2. b) $r$ steigt auf genau $1$
3. c) $r$ wird größer als $1$
4. d) $r$ bleibt bei $0{,}95$ , ein Punkt spielt keine Rolle
Lösung: $r$ wird viel schwächer und kann sogar negativ werden
Der neue Punkt hat eine große positive $x$ -Abweichung und eine große negative $y$ -Abweichung, also kommt ein großes negatives Produkt zu $S_{xy}$ hinzu. $r$ wird viel schwächer und kann sogar negativ werden, wie in der Lektion, in der ein Ausreißer $r$ von $1$ auf $0$ änderte. $r$ kann nie größer als $1$ sein.
15.
Ein Laden verkauft vier Schirmmodelle und vergleicht jeden Preis (in Einheiten von 10 €) mit der Zahl der pro Woche verkauften Schirme: $(2, 9)$ , $(4, 7)$ , $(6, 3)$ , $(8, 1)$ . Berechne $r$ und runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: -0.99
$\bar{x} = 5$ , $\bar{y} = 5$ . Abweichungen: $x$ : $-3, -1, 1, 3$ ; $y$ : $4, 2, -2, -4$ . $S_{xy} = -12 - 2 - 2 - 12 = -28$ , $S_{xx} = 20$ , $S_{yy} = 40$ . $r = \frac{-28}{\sqrt{800}} \approx \frac{-28}{28{,}28} \approx -0{,}99$ : eine sehr starke negative Korrelation.
16.
Ein Basketballtrainer notiert Extra-Trainingsstunden und erzielte Punkte von fünf Spielern: $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ , $(4, 8)$ , $(10, 0)$ . Der letzte Spieler hat sich früh im Spiel verletzt. Berechne $r$ mit und ohne diesen Spieler.
Lösung: -0.45
1. Wie groß ist $\bar{x}$ für alle fünf Spieler? 4
2. Wie groß ist $\bar{y}$ für alle fünf Spieler? 4
3. Die Abweichungen sind $x$ : $-3, -2, -1, 0, 6$ und $y$ : $-2, 0, 2, 4, -4$ . Wie groß ist $S_{xy}$ ? -20
4. Wie groß ist $S_{xx}$ ? 50
5. Wie groß ist $S_{yy}$ ? 40
6. Wie groß ist $r$ mit allen fünf Spielern, gerundet auf 2 Nachkommastellen? -0.45
7. Die anderen vier Punkte liegen auf $y = 2x$ . Wie groß ist $r$ ohne den verletzten Spieler? 1
17.
Eine Stadtplanerin vergleicht die Entfernung vom Stadtzentrum (km) mit der Zahl der Cafés in Gehweite: $(2, 8)$ , $(4, 10)$ , $(6, 5)$ , $(8, 5)$ . Berechne $r$ und runde auf 2 Nachkommastellen.
Lösung: -0.74
1. Wie groß ist $\bar{x}$ ? 5
2. Wie groß ist $\bar{y}$ ? 7
3. Die Abweichungen sind $x$ : $-3, -1, 1, 3$ und $y$ : $1, 3, -2, -2$ . Wie groß ist $S_{xy}$ ? -14
4. Wie groß ist $S_{xx}$ ? 20
5. Wie groß ist $S_{yy}$ ? 18
6. Wie groß ist $r$ , gerundet auf 2 Nachkommastellen? -0.74
18.
Für Lernstunden und Testergebnisse von fünf Schülern gilt $S_{xy} = 45$ , $S_{xx} = 10$ und $S_{yy} = 250$ . Berechne $r$ und untersuche dann, was passiert, wenn die Daten verändert werden.
Lösung: 0.9
1. Wie groß ist $\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}$ ? 50
2. Wie groß ist $r$ ? 0.9
3. Die Lehrkraft gibt auf jedes Ergebnis 5 Bonuspunkte. Wie groß ist das neue $r$ ? 0.9
4. Die Lernzeit wird jetzt in Minuten statt in Stunden notiert. Wie groß ist das neue $r$ ? 0.9