Leitfaden für Lehrer: Textaufgaben zur Korrelation

Löse echte Aufgaben zur Korrelation: Berechne r Schritt für Schritt aus kleinen Datensätzen, deute den Wert im Sachzusammenhang, prüfe kausale Aussagen und erkenne den Einfluss von Ausreißern.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Korrelation. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Den Korrelationskoeffizienten $r$ für einen Datensatz mit 4 bis 6 Punkten von Hand berechnen
Richtung und Stärke von $r$ im Zusammenhang einer Textaufgabe deuten
Entscheiden, ob eine kausale Aussage gerechtfertigt ist, und eine mögliche Störvariable nennen
Beschreiben, wie ein Ausreißer $r$ verändert, und entscheiden, wann er entfernt werden darf
Rechnungen mit der Nullsumme der Abweichungen und dem Bereich $-1 \le r \le 1$ kontrollieren

Voraussetzungen

• Einführung in die Korrelation: positive, negative und keine Korrelation im Streudiagramm
• Korrelationskoeffizient: die Formel für $r$ und die Stärkeskala
• Den Mittelwert eines kleinen Datensatzes berechnen
• Quadrate und Quadratwurzeln mit dem Taschenrechner

Diskussionsstarter

1. Die Korrelation zwischen Schirmverkäufen und Unfällen ist $r = 0{,}95$ . Wie könntest du prüfen, ob der Regen und nicht die Schirme sie erklärt?
2. Würde sich $r$ ändern, wenn du die Lernzeit in Minuten statt in Stunden misst? Warum oder warum nicht?
3. Wann ist es ehrlich, einen Ausreißer zu entfernen, und wann ist es Schummeln?
4. Warum könnte die Korrelation zweier Variablen in einer Stadt sehr stark und in einer anderen schwach sein?

Häufige Missverständnisse

Ein größeres $S_{xy}$ bedeutet immer eine stärkere Korrelation

Abhilfe: Zeige zwei Datensätze mit gleichem $r$ , aber verschiedenen Einheiten: $S_{xy}$ wächst mit den Einheiten, $r$ nicht. Nur der Quotient $\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ misst die Stärke.

Wenn $r$ nahe bei $1$ liegt, muss die Aussage über Ursache und Wirkung stimmen

Abhilfe: Sammle klassische Beispiele (Regenschirme und Verkehrsunfälle, Fernseher und Lebenserwartung, Schuhgröße und Lesen) und lass die Lernenden in jedem die Störvariable finden.

Ein einzelner Punkt kann in einem Datensatz nicht viel ausmachen

Abhilfe: Nutze das Dünger-Beispiel: Berechne $r$ für vier Punkte ( $r = 1$ ), füge dann den fünften Punkt hinzu und rechne neu ( $r = 0$ ).

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Eine Abweichungstabelle mit fertig beschrifteten Spalten geben: $x_i - \bar{x}$ , $y_i - \bar{y}$ , Produkt, Quadrate
• Datensätze verwenden, deren Mittelwerte ganze Zahlen sind
• Jeden Schritt mit dem Taschenrechner prüfen lassen, bevor es weitergeht

Für Schüler auf Niveau:

• $r$ für 4 bis 6 Punkte berechnen und auf 2 Nachkommastellen runden
• Zu jedem $r$ einen vollständigen Satz im Kontext schreiben (Richtung, Stärke, Variablen)
• Kausale Aussagen beurteilen und eine Störvariable nennen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Einen fünften Punkt finden, der ein positives $r$ negativ macht
• Beweisen, dass das Addieren einer Konstante zu jedem $y$ -Wert $r$ nicht ändert
• Ein kontrolliertes Experiment planen, das eine kausale Aussage aus den Nachrichten prüfen könnte

Standardausrichtung

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Den Korrelationskoeffizienten einer linearen Anpassung berechnen (mit Technologie) und deuten
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Zwischen Korrelation und Kausalität unterscheiden
HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Daten zweier quantitativer Variablen in einem Streudiagramm darstellen und beschreiben, wie die Variablen zusammenhängen

Lektionsressourcen

visualStreudiagramme mit Trendlinie
Die Daten zu Lernstunden und der Datensatz mit Ausreißer, jeweils mit eingezeichneter Trendlinie
activityWettlauf mit der Abweichungstabelle
Paare füllen für einen Datensatz mit 5 Punkten eine Tabelle mit Abweichungen, Produkten und Quadraten aus und vergleichen ihr $r$
worksheetSchlagzeilen-Detektiv
Die Lernenden beurteilen sechs Schlagzeilen, die auf Korrelationen beruhen, und nennen jeweils eine Störvariable

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Textaufgabe zur Korrelation liefert dir gepaarte Daten aus einer echten Situation und verlangt, dass du den Zusammenhang misst, deutest und beurteilst. Die Formel für den Korrelationskoeffizienten

r

kennst du schon aus der Lektion *Korrelationskoeffizient*. Hier setzt du sie als vollständiges Verfahren ein.

Das Fünf-Schritte-Verfahren für einen kleinen Datensatz:

1.Bestimme die Mittelwerte $\bar{x}$ und $\bar{y}$ .
2.Bestimme jede Abweichung $x_i - \bar{x}$ und $y_i - \bar{y}$ .
3.Addiere die Produkte: $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
4.Addiere die Quadrate: $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$ und $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$ .
5.Teile:
$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$

Beantworte danach die Frage im Sachzusammenhang:

Richtung: das Vorzeichen von $r$ (positiv: beide steigen gemeinsam; negativ: das eine steigt, das andere sinkt).
Stärke: die Größe von $|r|$ (Skala unten).
Kausalität: Ein starkes $r$ allein beweist nie, dass eine Variable die andere verursacht. Suche nach einer Störvariable (Drittvariable) und frage, ob die Daten aus einem kontrollierten Experiment stammen.
Ausreißer: Ein ungewöhnlicher Punkt kann $r$ viel stärker oder viel schwächer machen oder sogar das Vorzeichen umdrehen.

	r		Stärke
$0{,}00$ bis $0{,}19$	sehr schwach
$0{,}20$ bis $0{,}39$	schwach
$0{,}40$ bis $0{,}59$	mäßig
$0{,}60$ bis $0{,}79$	stark
$0{,}80$ bis $1{,}00$	sehr stark

Lösungsbeispiele

Fünf Schüler notierten ihre Lernstunden und Testpunkte:

(1, 64)

(2, 63)

(3, 77)

(4, 71)

(5, 75)

. Berechne

r

und deute den Wert.

Bestimme die Mittelwerte

\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3

\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70

→

\bar{x} = 3

\bar{y} = 70

Bestimme die Abweichungen

x_i - \bar{x}

-2, -1, 0, 1, 2

y_i - \bar{y}

-6, -7, 7, 1, 5

→ Jede Summe der Abweichungen ist

0

(eine schnelle Kontrolle)

Multipliziere die Abweichungen und addiere

(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10

→

S_{xy} = 30

Quadriere die Abweichungen und addiere

S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160

→

S_{xx} = 10

S_{yy} = 160

Setze in die Formel ein

r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}

→

r = 0{,}75

Deute im Sachzusammenhang

Positives Vorzeichen,

|r| = 0{,}75

liegt im Bereich

0{,}60

bis

0{,}79

→ Starke positive Korrelation

Antwort: $r = 0{,}75$ : eine starke positive Korrelation. Wer länger lernte, erzielte meist mehr Punkte. Der Schüler mit 1 Stunde schnitt aber besser ab als der mit 2 Stunden, das Muster ist also nicht perfekt.

Häufige Fehler

Die Rohwerte $x_i y_i$ statt der Abweichungen multiplizieren

Warum es falsch ist: Die Formel $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ verwendet die Abstände zu den Mittelwerten. Produkte der Rohwerte sind bei positiven Daten immer groß und positiv und liefern ein falsches $r$ .

Richtig: Ziehe zuerst die Mittelwerte ab. Schnelle Kontrolle: Die Abweichungen jeder Variable ergeben zusammen $0$ .

Die Wurzel vergessen oder zu früh runden

Warum es falsch ist: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ ist nicht $r$ . Wer $\sqrt{520}$ auf $23$ rundet, erhält $0{,}957$ statt $0{,}965$ .

Richtig: Ziehe die Wurzel aus $S_{xx} \cdot S_{yy}$ und runde erst das Endergebnis auf 2 Nachkommastellen.

Ein starkes $r$ als Beweis sehen, dass eine Variable die andere verursacht

Warum es falsch ist: Beobachtungsdaten können eine starke Korrelation zeigen, weil eine Störvariable beide beeinflusst, so wie regnerisches Wetter Schirmverkäufe und Verkehrsunfälle beeinflusst.

Richtig: Sage "hängt zusammen mit". Nur ein randomisiertes kontrolliertes Experiment kann eine kausale Aussage rechtfertigen.

Einen Ausreißer übersehen oder ohne Grund löschen

Warum es falsch ist: Ein Punkt kann $r$ von $1$ auf $0$ ändern. Wer ihn übersieht, verdeckt das Problem; wer ihn löscht, nur weil er stört, ist unehrlich.

Richtig: Zeichne die Daten, berechne $r$ mit und ohne Ausreißer und entferne ihn nur mit klarem Grund (Messfehler, Schnecke), und sage, dass du es getan hast.

Warum es wichtig ist

Korrelationswerte tauchen jeden Tag in Nachrichten, Schulberichten und Forschungsprojekten auf, und viele davon werden falsch gelesen:

Gesundheitsnachrichten: "Wer Kaffee trinkt, lebt länger" ist meist eine Korrelation aus einer Umfrage, kein Beweis.
Sport: Trainer prüfen, ob mehr Trainingsstunden wirklich mit besseren Laufzeiten einhergehen, bevor sie einen Plan ändern.
Handel und Energie: Ein Laden vergleicht Temperatur und Umsatz, eine Familie vergleicht Außentemperatur und Heizverbrauch.
Forschungsprojekte: Eine einzige fehlerhafte Messung (ein Ausreißer) kann ein Ergebnis zerstören, wenn niemand das Streudiagramm anschaut.

Wenn du

r

selbst berechnen, in einfachen Worten beschreiben und eine falsche kausale Aussage oder einen irreführenden Ausreißer erkennen kannst, kannst du Statistiken beurteilen, statt sie einfach zu glauben.

Anwendungen im echten Leben

Sportwissenschaft

Trainer vergleichen wöchentliche Trainingsstunden mit Laufzeiten, um zu prüfen, ob mehr Training mit schnelleren Läufen einhergeht.

Beispiel:

Für einen Laufverein sind die Summen $S_{xy} = -45$ , $S_{xx} = 25$ und $S_{yy} = 100$ . Ein negatives $r$ bedeutet: mehr Training, niedrigere (schnellere) Zeiten.

1Probiere es selbst

Ein Laufverein notiert für seine Mitglieder die Trainingsstunden pro Woche und die 5-km-Zeiten (Minuten). Die Summen sind $S_{xy} = -45$ , $S_{xx} = 25$ und $S_{yy} = 100$ .

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $r$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ :

Nachrichten kritisch lesen

Journalisten und Leser müssen entscheiden, ob eine berichtete Korrelation eine Aussage über Ursache und Wirkung stützt.

Beispiel:

Ein Bericht findet $r = 0{,}83$ zwischen der Zahl der Fernseher pro 100 Einwohner eines Landes und der Lebenserwartung, und ein Blog behauptet, Fernseher verlängern das Leben.

2Probiere es selbst

Über viele Länder hinweg haben die Zahl der Fernseher pro 100 Einwohner und die Lebenserwartung $r = 0{,}83$ . Ein Blog folgert, dass mehr Fernseher die Menschen länger leben lassen.

Ist die kausale Aussage gerechtfertigt?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle dein Urteil:

Qualitätskontrolle von Sensoren

Ingenieure prüfen Messdaten auf fehlerhafte Werte, weil ein einziger falscher Wert einen perfekten Zusammenhang verdecken kann.

Beispiel:

Ein Temperatursensor wird bei fünf Einstellungen getestet: $(2, 10)$ , $(4, 14)$ , $(6, 18)$ , $(8, 22)$ und ein fehlerhafter Wert $(10, 6)$ .

3Probiere es selbst

Ein Sensor liefert die Messwerte $(2, 10)$ , $(4, 14)$ , $(6, 18)$ , $(8, 22)$ , $(10, 6)$ . Der letzte Wert ist ein bekannter Fehler. Die Mittelwerte sind $\bar{x} = 6$ und $\bar{y} = 14$ .

Wie groß ist $r$ , wenn der fehlerhafte Wert entfernt wird?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Vergleiche $r$ mit und ohne den Fehler:

Wichtige Erkenntnisse

1So berechnest du $r$ von Hand: Mittelwerte, Abweichungen, $S_{xy}$ , $S_{xx}$ , $S_{yy}$ , dann $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$
2Kontrolle: Die Abweichungen jeder Variable ergeben zusammen $0$ , und $r$ muss zwischen $-1$ und $1$ liegen
3Runde nur den Endwert von $r$ , meist auf 2 Nachkommastellen
4Deute $r$ im Sachzusammenhang: Das Vorzeichen gibt die Richtung an, $|r|$ die Stärke
5Eine starke Korrelation aus Beobachtungsdaten rechtfertigt keine kausale Aussage; suche nach Störvariablen
6Ein Ausreißer kann $r$ verstärken, abschwächen oder sogar umkehren: Zeichne die Daten und vergleiche $r$ mit und ohne ihn

Häufig gestellte Fragen

Warum ergeben die Abweichungen immer zusammen null?

Der Mittelwert ist der Schwerpunkt der Daten: Die Werte darüber und darunter gleichen sich genau aus. Wenn deine Abweichungen nicht

0

ergeben, steckt ein Fehler im Mittelwert oder in einer Subtraktion.

Ändert sich $r$ , wenn man zu jedem Wert dieselbe Zahl addiert?

Nein. Eine Konstante verschiebt alle Punkte gemeinsam, die Abweichungen bleiben gleich. Auch das Multiplizieren mit einer positiven Zahl (zum Beispiel Stunden in Minuten) ändert

r

nicht. Multipliziert man eine Variable mit einer negativen Zahl, dreht sich das Vorzeichen von

r

um.

Wann darf man einen Ausreißer entfernen?

Wenn es einen klaren Grund gibt, der nichts mit dem Ergebnis zu tun hat: einen Messfehler, einen Tippfehler, eine von einer Schnecke gefressene Pflanze. Sage immer, dass du ihn entfernt hast, und gib wenn möglich

r

mit und ohne den Punkt an.

Wie kann man überhaupt Kausalität zeigen?

Mit einem randomisierten kontrollierten Experiment: Teile die Behandlung (zum Beispiel Dünger) zufällig einigen Versuchsobjekten zu und anderen nicht, halte alles andere gleich und vergleiche. Die zufällige Zuteilung verteilt Störvariablen gleichmäßig auf beide Gruppen.

Glossar

Abweichung: Der Abstand eines Wertes vom Mittelwert, $x_i - \bar{x}$ ; sie kann positiv oder negativ sein
$S_{xy}$: Die Summe der Produkte der Abweichungen, $\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ ; ihr Vorzeichen ist das Vorzeichen von $r$
$S_{xx}$ und $S_{yy}$: Die Summen der quadrierten Abweichungen von $x$ und von $y$ ; sie sind nie negativ
Ausreißer: Ein Datenpunkt weit weg vom Muster der anderen; er kann $r$ stark verändern
Störvariable (Drittvariable): Eine Variable, die nicht in der Studie erfasst ist, beide Variablen beeinflusst und eine irreführende Korrelation erzeugen kann
Kontrolliertes Experiment: Eine Studie, in der die Forschenden die Behandlung zufällig zuteilen; die einzige Art von Studie, die eine kausale Aussage rechtfertigen kann

Formelkarte

Korrelationskoeffizient

r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}

$S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$, $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$

Kontrollen

\sum(x_i - \bar{x}) = 0, \quad -1 \le r \le 1

Wenn eine Summe der Abweichungen nicht $0$ ist oder $|r| > 1$ gilt, liegt ein Rechenfehler vor

Stärkeskala

|r|: \ 0{,}2 \ \text{schwach}, \ 0{,}4 \ \text{mäßig}, \ 0{,}6 \ \text{stark}, \ 0{,}8 \ \text{sehr stark}

Jede Stufe beginnt bei ihrem Wert; unter $0{,}20$ ist die Korrelation sehr schwach

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Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

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Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

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Sportwissenschaft

Nachrichten kritisch lesen

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Glossar

Formelkarte

Korrelationskoeffizient

Kontrollen

Stärkeskala

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