Korrelation interpretieren

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Bei einer Bergwanderung beträgt die Korrelation zwischen Höhe und Lufttemperatur $r = -0{,}92$ . Wie beschreibst du sie?
1. a)Schwach negativ
2. b)Stark positiv
3. c)Stark negativ
4. d)Keine lineare Korrelation
Lösung: Stark negativ
$r$ ist negativ, also ist die Richtung negativ. $|-0{,}92| = 0{,}92 \ge 0{,}7$ , also ist sie stark: Je höher du steigst, desto kälter ist es tendenziell.
2.
Welcher Wert von $r$ zeigt den schwächsten linearen Zusammenhang?
1. a) $0{,}47$
2. b) $-0{,}08$
3. c) $0{,}56$
4. d) $-0{,}85$
Lösung: $-0{,}08$
Die Beträge sind $0{,}85$ , $0{,}47$ , $0{,}08$ und $0{,}56$ . Der kleinste ist $0{,}08$ , also ist $r = -0{,}08$ am schwächsten (fast kein linearer Zusammenhang).
3.
Die Korrelation zwischen der täglichen Nutzungsdauer eines Handys in Stunden und dem restlichen Akku am Abend beträgt $r = -0{,}54$ . Wie groß ist $|r|$ , die Zahl für die Stärke?
Lösung: 0.54
$|-0{,}54| = 0{,}54$ . Wegen $0{,}4 \le 0{,}54 < 0{,}7$ ist das eine mäßige negative Korrelation.
4.
Vier Studien berichten $r = 0{,}35$ , $r = -0{,}81$ , $r = 0{,}57$ und $r = -0{,}18$ . Gib den Wert von $r$ ein, der den stärksten linearen Zusammenhang zeigt.
Lösung: -0.81
Die Beträge sind $0{,}35$ , $0{,}81$ , $0{,}57$ und $0{,}18$ . Der größte ist $0{,}81$ , also ist $r = -0{,}81$ am stärksten (eine starke negative Korrelation).
5.
Bei 30 Schülerinnen und Schülern beträgt die Korrelation zwischen der Lernzeit pro Woche und der Note in einer Abschlussprüfung $r = 0{,}78$ . Beschreibe die Korrelation Schritt für Schritt.
Lösung: 0.78
1. Ist $r$ positiv oder negativ? positiv
2. Wie groß ist $|r|$ ? 0.78
3. Ist die Korrelation stark, mäßig oder schwach? stark
6.
In einer Umfrage unter 80 Familien beträgt die Korrelation zwischen dem Schulweg (km) und der Zahl der Tage pro Woche, an denen die Kinder zu Fuß zur Schule gehen, $r = -0{,}47$ . Bestimme die Stärke Schritt für Schritt.
Lösung: 0.47
1. Wie groß ist $|r|$ ? 0.47
2. Gilt $|r| \ge 0{,}7$ ? Gib 1 für ja und 0 für nein ein. 0
3. Gilt $|r| \ge 0{,}4$ ? Gib 1 für ja und 0 für nein ein. 1
4. Also ist die Korrelation: mäßig
7.
Bei 50 Jugendlichen beträgt die Korrelation zwischen Schlafstunden und dem Ergebnis in einem Reaktionstest (höher ist besser) $r = 0{,}52$ . Welcher Satz ist die beste Deutung?
1. a)52 % der Jugendlichen, die mehr schlafen, erzielen höhere Ergebnisse.
2. b)Es gibt eine mäßige negative Korrelation: Jugendliche, die mehr schlafen, erzielen tendenziell niedrigere Ergebnisse.
3. c)Es gibt eine mäßige positive lineare Korrelation: Jugendliche, die mehr schlafen, erzielen tendenziell höhere Ergebnisse.
4. d)Es gibt eine starke positive Korrelation, also verursacht mehr Schlaf höhere Ergebnisse.
Lösung: Es gibt eine mäßige positive lineare Korrelation: Jugendliche, die mehr schlafen, erzielen tendenziell höhere Ergebnisse.
$0{,}4 \le 0{,}52 < 0{,}7$ und $r > 0$ : mäßig positiv. "Stark" und "verursacht" behaupten zu viel, "52 %" liest $r$ fälschlich als Prozentsatz, und "negativ" hat die falsche Richtung.
8.
Ein Streudiagramm zeigt eine deutliche U-Form, aber der Taschenrechner liefert $r \approx 0{,}01$ . Welche Schlussfolgerung ist richtig?
1. a)Der Wert von $r$ muss falsch berechnet worden sein
2. b)Es gibt fast keinen linearen Zusammenhang, aber einen starken gekrümmten
3. c)Es gibt überhaupt keinen Zusammenhang zwischen den Variablen
4. d)Es gibt eine starke positive lineare Korrelation
Lösung: Es gibt fast keinen linearen Zusammenhang, aber einen starken gekrümmten
$r$ misst nur Zusammenhänge entlang einer Geraden. Eine U-Form fällt erst und steigt dann, die beiden Teile heben sich auf und $r$ liegt nahe bei $0$ , obwohl der gekrümmte Zusammenhang stark ist.
9.
Bei 25 Erwachsenen beträgt die Korrelation zwischen Körpergröße in cm und Gewicht in kg $r = 0{,}71$ . Eine Forscherin rechnet die Größen in Meter und die Gewichte in Gramm um. Wie groß ist $r$ jetzt?
Lösung: 0.71
Die Größen werden durch $100$ geteilt und die Gewichte mit $1000$ multipliziert: beides positive Zahlen, das Muster bleibt gleich. $r$ hat keine Einheit und bleibt $0{,}71$ .
10.
Wie viele dieser Werte zeigen nach der Faustregel ( $|r| \ge 0{,}7$ ist stark) eine starke Korrelation? $0{,}72$ ; $-0{,}91$ ; $0{,}59$ ; $-0{,}45$ ; $0{,}70$ ; $0{,}38$
Lösung: 3
Stark: $0{,}72$ , $-0{,}91$ (weil $|-0{,}91| = 0{,}91$ ) und $0{,}70$ . Nicht stark: $0{,}59$ , $-0{,}45$ , $0{,}38$ . Das sind $3$ .
11.
Studie A findet $r = -0{,}74$ zwischen dem Preis einer Konzertkarte und der Zahl verkaufter Karten. Studie B findet $r = 0{,}56$ zwischen den Werbeausgaben und den verkauften Karten. Welche Korrelation ist stärker?
Lösung: -0.74
1. Wie groß ist $|r|$ für Studie A? 0.74
2. Wie groß ist $|r|$ für Studie B? 0.56
3. Gib den Wert von $r$ (mit Vorzeichen) der stärkeren Korrelation ein. -0.74
12.
Bei 40 Taxifahrten beträgt die Korrelation zwischen der Strecke in km und dem Fahrpreis in € $r = 0{,}83$ . Das Unternehmen schreibt danach jeden Fahrpreis in Cent und jede Strecke in Meilen.
Lösung: 0.83
1. Mit welcher Zahl multiplizierst du einen Fahrpreis, um ihn in Cent zu schreiben? 100
2. Wie groß ist $r$ , nachdem die Fahrpreise in Cent geschrieben sind? 0.83
3. 1 Meile sind etwa 1,609 km, also wird jede Strecke durch 1,609 geteilt. Wie groß ist $r$ nach beiden Änderungen? 0.83
13.
Bei 60 Schülerinnen und Schülern beträgt die Korrelation zwischen den Stunden Videospielen pro Woche und der durchschnittlichen Punktzahl in Klassenarbeiten (höher ist besser) $r = -0{,}58$ . Baue einen Deutungssatz.
Lösung: -0.58
1. Richtung der Korrelation: negativ
2. Stärke der Korrelation: mäßig
3. Welches Ende passt zu einem Deutungssatz? wer mehr spielt, erzielt tendenziell weniger Punkte
14.
Acht Punkte bilden eine runde Wolke ohne Muster, $r \approx 0{,}05$ . Ein neuer Punkt kommt weit entfernt oben rechts im Streudiagramm dazu. Was passiert mit $r$ ?
1. a)Es wird stark negativ
2. b)Es wird stark positiv
3. c)Es bleibt etwa bei $0{,}05$
4. d)Es wird genau $0$
Lösung: Es wird stark positiv
Der neue Punkt liegt weit über und rechts von allen anderen und zieht das Muster zu einer steigenden Geraden: $r$ springt auf einen stark positiven Wert. Ein Ausreißer kann eine starke Korrelation erzeugen, die die übrigen Daten nicht stützen.
15.
Die Punkte $(-2 \mid 4)$ , $(-1 \mid 1)$ , $(0 \mid 0)$ , $(1 \mid 1)$ , $(2 \mid 4)$ liegen genau auf der Kurve $y = x^2$ . Hier ist $\bar{x} = 0$ und $\bar{y} = 2$ , und der Zähler von $r$ ist $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})$ . Wie groß ist $r$ ?
Lösung: 0
Die Produkte sind $(-2) \cdot 2 = -4$ , $(-1) \cdot (-1) = 1$ , $0 \cdot (-2) = 0$ , $1 \cdot (-1) = -1$ , $2 \cdot 2 = 4$ . Ihre Summe ist $0$ , also $r = 0$ , obwohl jeder Punkt genau auf einer Kurve liegt: $r$ misst nur lineare Zusammenhänge.
16.
Ein Ball wird nach oben geworfen. Seine Höhe (m) nach $0, 1, 2, 3, 4$ Sekunden beträgt $0, 3, 4, 3, 0$ . Bestimme $r$ zwischen Zeit und Höhe und deute den Wert.
Lösung: 0
1. Wie groß ist die mittlere Zeit $\bar{x}$ ? 2
2. Wie groß ist die mittlere Höhe $\bar{y}$ ? 2
3. Berechne $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})$ . 0
4. Wie groß ist also $r$ ? 0
5. Was zeigt das Streudiagramm? ein gekrümmter Zusammenhang
17.
Diagramm E: Sechs Personen ergeben $r \approx 0{,}999$ zwischen Übungsstunden und Quizergebnis. Mit der siebten Person, dem Punkt $(7 \mid 40)$ , ist $r \approx 0{,}14$ . Untersuche den Ausreißer.
Lösung: 1
1. Stärke ohne den Ausreißer ( $r \approx 0{,}999$ ): stark
2. Stärke mit dem Ausreißer ( $r \approx 0{,}14$ ): schwach
3. Wie viele Punkte haben die Änderung verursacht? 1
4. Die 40 war ein Tippfehler: Das echte Ergebnis war 90. Der Punkt $(7 \mid 90)$ setzt das Muster fort. Liegt das neue $r$ näher an $0$ oder an $1$ ? Gib diese Zahl ein. 1
18.
Eine Eisdiele findet $r = 0{,}9$ zwischen der Tagestemperatur in °C und der Zahl verkaufter Eiskugeln. Die Besitzerin rechnet die Temperaturen mit $F = 1{,}8C + 32$ in °F um und vertauscht danach auch die Achsen.
Lösung: 0.9
1. Rechne $25\,°C$ in °F um. 77
2. Wie groß ist $r$ zwischen der Temperatur in °F und den verkauften Eiskugeln? 0.9
3. Jetzt stehen die verkauften Eiskugeln auf der $x$ -Achse und die Temperatur auf der $y$ -Achse. Wie groß ist $r$ ? 0.9