Leitfaden für Lehrer: Korrelation interpretieren

Lies Stärke und Richtung einer Korrelation aus r und aus einem Streudiagramm ab und beschreibe sie in einem klaren Satz.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Korrelation. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Richtung und Stärke einer Korrelation aus dem Wert von $r$ bestimmen
Die Korrelation in einem Streudiagramm beschreiben und abschätzen, ob $\lvert r \rvert$ groß oder klein ist
Einen Deutungssatz schreiben, der Stärke, Richtung und beide Variablen im Kontext nennt
Erklären, warum $r$ keine Einheit hat und sich beim Wechsel der Einheiten nicht ändert
Erkennen, dass $r$ nur lineare Zusammenhänge misst und dass Ausreißer es stark verändern können

Voraussetzungen

• Einführung in die Korrelation: positive, negative und keine Korrelation in Streudiagrammen
• Korrelationskoeffizient: was $r$ ist und dass $-1 \le r \le 1$ gilt
• Betrag einer Zahl
• Punkte in einem Streudiagramm ablesen

Diskussionsstarter

1. Was ist stärker, $r = -0{,}75$ oder $r = 0{,}55$ ? Woran erkennst du das?
2. Warum unterscheiden sich wohl die Grenzen für "stark" und "schwach" zwischen verschiedenen Büchern?
3. Wenn du Temperaturen in °F statt in °C misst, sähe das Streudiagramm anders aus? Würde sich $r$ ändern?
4. Fallen dir zwei Variablen ein, die deutlich zusammenhängen, aber ein $r$ nahe bei $0$ hätten?
5. Jemand aus der Klasse hat einen Wert falsch eingegeben, 400 statt 40. Was könnte das mit $r$ machen?

Häufige Missverständnisse

Ein negatives $r$ bedeutet eine schwache oder schlechte Korrelation

Abhilfe: Trage Werte auf einer Linie von $-1$ bis $1$ ein und markiere den Abstand von $0$ . Zeige, dass $-0{,}9$ genauso weit von $0$ entfernt ist wie $0{,}9$ : genauso stark, nur in die andere Richtung.

$r = 0$ bedeutet, dass die Variablen nichts miteinander zu tun haben

Abhilfe: Zeige Diagramm D (Dünger und Tomaten): $r = 0$ , aber das Muster ist eine deutliche Kurve. Übt gemeinsam die Formulierung "kein linearer Zusammenhang".

$r$ wird in den Einheiten der Daten gemessen

Abhilfe: Rechne mit der Klasse einen Datensatz von °C in °F oder von cm in m um und berechne $r$ beide Male mit Technik: Der Wert ist identisch.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne nur mit dem Vorzeichen: Karten mit $r$ -Werten in positiv und negativ sortieren
• Gib eine gedruckte Tabelle zur Stärke, die bei allen Aufgaben benutzt werden darf
• Nutze einen Satzrahmen: "Es gibt eine ___ ___ lineare Korrelation zwischen ___ und ___"

Für Schüler auf Niveau:

• Mengen von $r$ -Werten von der stärksten zur schwächsten ordnen
• Streudiagramme den passenden $r$ -Werten zuordnen
• Deutungssätze zu echten Daten aus den Nachrichten schreiben

Für fortgeschrittene Schüler:

• Mit einer Tabellenkalkulation untersuchen, wie das Hinzufügen oder Verschieben eines Punktes $r$ verändert
• Mit der Formel für $r$ zeigen, warum sich $r$ unter $x \to ax + b$ mit $a > 0$ nicht ändert
• Einen echten Datensatz mit gekrümmtem Muster finden und erklären, warum $r$ hier irreführend ist

Standardausrichtung

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Den Korrelationskoeffizienten einer linearen Anpassung (mit Technik) berechnen und interpretieren
8.SP.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.1)
Streudiagramme für zweidimensionale Messdaten erstellen und interpretieren; Muster wie Häufungen, Ausreißer, positive oder negative, lineare und nichtlineare Zusammenhänge beschreiben
HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Daten zu zwei quantitativen Variablen in einem Streudiagramm darstellen und beschreiben, wie die Variablen zusammenhängen

Lektionsressourcen

visualFünf Streudiagramme
Diagramme A bis E: stark positiv, schwach negativ, keine Korrelation, eine Kurve mit $r = 0$ und die Wirkung eines Ausreißers
activityErrate das r
Die Lernenden schätzen $r$ für gedruckte Streudiagramme, vergleichen dann mit den berechneten Werten und ordnen sie nach Stärke
worksheetDeutungssätze
Die Lernenden schreiben vollständige Deutungssätze zu gegebenen $r$ -Werten in verschiedenen Kontexten

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Korrelation interpretieren heißt, die Zahl

r

(oder ein Streudiagramm) in eine klare Aussage über zwei Variablen zu übersetzen. Jede Deutung beantwortet zwei Fragen:

Richtung (das Vorzeichen von $r$ ): $r > 0$ ist positiv (wenn $x$ steigt, steigt $y$ tendenziell auch), $r < 0$ ist negativ (wenn $x$ steigt, sinkt $y$ tendenziell).
Stärke (der Betrag $|r|$ ): Je näher $|r|$ an $1$ liegt, desto näher liegen die Punkte an einer Geraden.

Faustregel für die Stärke:

$\lvert r \rvert$	Stärke
$0{,}7$ bis $1$	stark
$0{,}4$ bis knapp unter $0{,}7$	mäßig
unter $0{,}4$	schwach (sehr nahe bei $0$ : fast kein linearer Zusammenhang)

Das ist eine Orientierung, kein Gesetz: Verschiedene Bücher ziehen die Grenzen an etwas anderen Stellen.

Drei Fakten zum Merken:

$r$ hat keine Einheit und ändert sich nicht, wenn du die Einheiten wechselst (°C in °F, cm in m, Euro in Cent).
$r$ misst nur lineare Zusammenhänge (entlang einer Geraden). Eine deutliche Kurve kann $r = 0$ haben.
Ein einziger Ausreißer kann $r$ stark verändern, deshalb schau dir immer auch das Streudiagramm an.

Lösungsbeispiele

Ein Energieversorger findet

r = -0{,}86

zwischen der Außentemperatur und der Gasmenge, die Haushalte zum Heizen verbrauchen. Beschreibe die Korrelation.

Schau auf das Vorzeichen für die Richtung

r = -0{,}86

ist negativ → Negativ: wärmere Tage gehen mit weniger Gas einher

Nimm den Betrag für die Stärke

\lvert -0{,}86 \rvert = 0{,}86

→

\lvert r \rvert = 0{,}86

Vergleiche mit der Faustregel

0{,}86 \ge 0{,}7

→ Stark

Setze Richtung und Stärke zusammen

negativ + stark → Starke negative lineare Korrelation

Antwort: Es gibt eine starke negative lineare Korrelation ( $r = -0{,}86$ ): An wärmeren Tagen verbrauchen Haushalte tendenziell weniger Gas zum Heizen.

Häufige Fehler

Zu denken, $r = -0{,}8$ sei schwächer als $r = 0{,}5$ , weil $-0{,}8$ die kleinere Zahl ist

Warum es falsch ist: Das Vorzeichen zeigt nur die Richtung. Die Stärke ist der Abstand von $0$ , also $\lvert r \rvert$ .

Richtig: Vergleiche $\lvert -0{,}8 \rvert = 0{,}8$ mit $\lvert 0{,}5 \rvert = 0{,}5$ : $r = -0{,}8$ ist die stärkere Korrelation.

Immer "kein Zusammenhang" zu folgern, wenn $r$ nahe bei $0$ liegt

Warum es falsch ist: $r$ misst nur Zusammenhänge entlang einer Geraden. Eine Kurve in Hügel- oder U-Form kann $r = 0$ haben (Diagramm D).

Richtig: Sag "kein linearer Zusammenhang" und suche im Streudiagramm immer nach Kurven.

Zu glauben, $r$ ändere sich, wenn du die Einheiten wechselst, zum Beispiel von cm in Zoll

Warum es falsch ist: Beim Einheitenwechsel wird jeder Wert mit derselben positiven Zahl multipliziert (und eventuell eine Konstante addiert). Die Form des Streudiagramms bleibt gleich.

Richtig: $r$ hat keine Einheit: Dieselben Daten in cm, m oder Zoll ergeben dasselbe $r$ .

$r$ zu deuten, ohne nach Ausreißern zu suchen

Warum es falsch ist: Ein einziger ungewöhnlicher Punkt kann eine starke Korrelation schwach aussehen lassen (Diagramm E) oder eine schwache stark.

Richtig: Zeichne die Daten zuerst. Gibt es einen Ausreißer, nenne $r$ mit und ohne ihn.

Warum es wichtig ist

Nachrichten, Wissenschaftsartikel und Sportanalysen nennen oft eine Korrelation: "

r = 0{,}5

", "ein starker Zusammenhang", "kein Zusammenhang". Wenn du

r

lesen kannst, kannst du prüfen, ob solche Aussagen sinnvoll sind:

Gesundheit: Ist der Zusammenhang zwischen Bildschirmzeit und Schlaf stark oder schwach? Davon hängt ab, welcher Rat sinnvoll ist.
Wirtschaft: Ein Laden, der einen starken positiven Zusammenhang zwischen Temperatur und Getränkeverkauf sieht, kann seinen Vorrat planen.
Wissenschaft: Bevor Forschende einem Ergebnis trauen, suchen sie im Streudiagramm nach Kurven und Ausreißern, die $r$ allein verbirgt.
Schulprojekte: Wenn du eigene Daten sammelst, macht ein guter Deutungssatz aus einer Zahl eine Schlussfolgerung.

r

richtig zu lesen ist auch der erste Schritt zu den nächsten Lektionen über Regression und Vorhersagen.

Anwendungen im echten Leben

Energieverbrauch planen

Energieversorger nutzen die Korrelation zwischen Temperatur und Gasverbrauch, um zu planen, wie viel Gas sie im Winter brauchen.

Beispiel:

Bei $r = -0{,}86$ gehen kältere Tage deutlich mit höherem Gasverbrauch einher, also ist eine kalte Wettervorhersage ein gutes Warnsignal.

1Probiere es selbst

Ein Energieversorger findet $r = -0{,}86$ zwischen der Außentemperatur und dem täglichen Gasverbrauch in 200 Haushalten.

Wie würdest du diese Korrelation beschreiben?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle die Beschreibung:

Kraftstoffverbrauch und Geschwindigkeit

Fahrzeugingenieure wissen, dass der Verbrauch bei sehr niedriger und sehr hoher Geschwindigkeit hoch ist und dazwischen am niedrigsten. Dieses gekrümmte Muster täuscht $r$.

Beispiel:

Geschwindigkeiten von 30, 50, 70, 90, 110, 130 und 150 km/h ergeben einen Verbrauch von 8,0; 6,5; 5,5; 5,2; 5,5; 6,5 und 8,0 Litern pro 100 km: eine U-förmige Kurve.

2Probiere es selbst

Die Daten sind 30, 50, 70, 90, 110, 130, 150 km/h mit einem Verbrauch von 8,0; 6,5; 5,5; 5,2; 5,5; 6,5; 8,0 Litern pro 100 km. Das Muster ist genau symmetrisch um 90 km/h.

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $r$ für diese Daten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Gib $r$ ein:

Daten auf Ausreißer prüfen

Datenanalysten prüfen Streudiagramme immer auf Ausreißer, bevor sie eine Korrelation angeben, denn ein falscher oder ungewöhnlicher Wert kann $r$ stark verändern.

Beispiel:

In Diagramm E zeigen sechs Personen $r \approx 0{,}999$ , aber eine kranke Person mit 7 Stunden Übung und 40 Punkten drückt $r$ auf etwa $0{,}14$ .

3Probiere es selbst

Eine Lehrerin gibt $r \approx 0{,}14$ zwischen Übungsstunden und Quizergebnissen von 7 Personen an. Ohne die eine kranke Person ist $r \approx 0{,}999$ .

Um wie viel steigt $r$ (auf zwei Dezimalstellen gerundet), wenn der Ausreißer entfernt wird?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $1{,}00 - 0{,}14$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Das Vorzeichen von $r$ gibt die Richtung an: positiv heißt, beide steigen tendenziell gemeinsam, negativ heißt, die eine sinkt tendenziell, wenn die andere steigt
2Der Betrag $\lvert r \rvert$ gibt die Stärke an. Faustregel: ab $0{,}7$ stark, $0{,}4$ bis $0{,}7$ mäßig, unter $0{,}4$ schwach
3Ein guter Deutungssatz nennt Stärke, Richtung und beide Variablen und verwendet "tendenziell"
4 $r$ hat keine Einheit und ändert sich nicht, wenn du die Einheiten von $x$ oder $y$ wechselst
5 $r$ misst nur lineare Zusammenhänge: Eine deutliche Kurve kann $r = 0$ haben
6Ein Ausreißer kann $r$ stark verändern, also schau immer auf das Streudiagramm und nenne $r$ mit und ohne ihn

Häufig gestellte Fragen

Ist $r = -0{,}9$ eine schwache Korrelation, weil sie negativ ist?

Nein. Das Minuszeichen bedeutet nur, dass die Richtung negativ ist.

\lvert -0{,}9 \rvert = 0{,}9

, also ist es eine starke negative Korrelation, stärker als

r = 0{,}5

Warum gibt es in verschiedenen Büchern verschiedene Tabellen für die Stärke?

Wo "stark" beginnt, ist eine Konvention, keine mathematische Tatsache. Diese Lektion nutzt

0{,}7

und

0{,}4

als Faustregel. Andere Tabellen, wie die in der Lektion Korrelationskoeffizient, verwenden mehr Stufen, zum Beispiel "sehr stark" ab

0{,}8

: In dieser Lektion gehört "sehr stark" einfach zu stark. In jeder Tabelle bedeutet ein größeres

\lvert r \rvert

einen stärkeren linearen Zusammenhang.

Ändert sich $r$ , wenn ich die Körpergröße in Metern statt in Zentimetern messe?

Nein. Wenn du jede Größe durch

100

teilst, ändert sich die Form des Streudiagramms nicht, nur die Zahlen an der Achse.

r

hat keine Einheit und bleibt genau gleich.

Kann ein Ausreißer eine Korrelation stärker aussehen lassen?

Ja. Eine Punktwolke ohne Muster (

r

nahe

0

) plus ein weit entfernter Punkt oben rechts kann

r

über

0{,}9

ergeben. Deshalb prüfst du immer das Diagramm.

Glossar

Richtung einer Korrelation: Positiv ( $r > 0$ ) oder negativ ( $r < 0$ ), gegeben durch das Vorzeichen von $r$
Stärke einer Korrelation: Wie nah die Punkte an einer Geraden liegen, gegeben durch $\lvert r \rvert$ (näher an $1$ heißt stärker)
Linearer Zusammenhang: Ein Zusammenhang, dessen Streudiagramm einer Geraden folgt
Nichtlinearer Zusammenhang: Ein Zusammenhang, dessen Streudiagramm einer Kurve folgt; $r$ kann nahe bei $0$ liegen, auch wenn er stark ist
Ausreißer: Ein Datenpunkt weit weg vom Muster der anderen Punkte; er kann $r$ stark verändern
Deutungssatz: Ein Satz, der Stärke, Richtung und Kontext angibt, zum Beispiel: "Es gibt eine starke positive lineare Korrelation zwischen ... und ..."

Formelkarte

Stärke (Faustregel)

\lvert r \rvert \ge 0{,}7

stark,

\; 0{,}4 \le \lvert r \rvert < 0{,}7

mäßig,

\; \lvert r \rvert < 0{,}4

schwach

Das Vorzeichen von $r$ gibt die Richtung an, $\lvert r \rvert$ die Stärke.

Deutungssatz

\text{[Stärke] + [Richtung] + lineare Korrelation zwischen } x \text{ und } y

Ergänze den Kontext: "wenn $x$ steigt, steigt (oder sinkt) $y$ tendenziell".

Einheiten wechseln

r(ax + b,\; cy + d) = r(x, y)

für

a > 0,\ c > 0

Mit einer positiven Zahl multiplizieren und eine Konstante addieren (cm in m, °C in °F) ändert $r$ nie.

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Energieverbrauch planen

Kraftstoffverbrauch und Geschwindigkeit

Daten auf Ausreißer prüfen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Stärke (Faustregel)

Deutungssatz

Einheiten wechseln

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Korrelationskoeffizient

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