Bestimmtheitsmaß (R²)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Der Korrelationskoeffizient eines Datensatzes ist $r = 0{,}6$ . Wie groß ist $R^2$ ?
1. a)1,2
2. b)0,36
3. c)0,6
4. d)0,06
Lösung: 0,36
$R^2 = 0{,}6^2 = 0{,}36$ . Ein häufiger Fehler ist, $0{,}6$ zu behalten oder zu verdoppeln; du musst $r$ quadrieren.
2.
Die Korrelation zwischen zwei Variablen ist $r = -0{,}5$ . Wie groß ist $R^2$ ? Gib die Antwort als Dezimalzahl an (z. B. 0,3).
Lösung: 0.25
$R^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25$ . $R^2$ ist nie negativ, auch wenn $r$ negativ ist.
3.
Eine Regression der Pflanzenhöhe auf die Sonnenstunden hat $R^2 = 0{,}72$ . Welche Aussage ist richtig?
1. a)Sonnenlicht verursacht 72 % der Höhe einer Pflanze
2. b)72 % der Datenpunkte liegen genau auf der Regressionsgeraden
3. c)72 % der Streuung der Pflanzenhöhe werden durch den linearen Zusammenhang mit den Sonnenstunden erklärt
4. d)Die Steigung der Regressionsgeraden ist 0,72
Lösung: 72 % der Streuung der Pflanzenhöhe werden durch den linearen Zusammenhang mit den Sonnenstunden erklärt
72 % der Streuung der Pflanzenhöhe werden durch den linearen Zusammenhang mit den Sonnenstunden erklärt. $R^2$ zählt keine Punkte auf der Geraden, beweist keine Kausalität und ist nicht die Steigung.
4.
Für eine Regressionsgerade gilt $SS_{\text{tot}} = 200$ und $SS_{\text{res}} = 50$ . Wie groß ist $R^2$ ? Gib die Antwort als Dezimalzahl an.
Lösung: 0.75
$R^2 = 1 - \frac{50}{200} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ , die Gerade erklärt also 75 % der Streuung.
5.
Die Korrelation zwischen Trainingsstunden und erzielten Punkten ist $r = 0{,}9$ . Bestimme $R^2$ und den Prozentsatz der erklärten Streuung.
Lösung: 81
1. Was ist $R^2 = 0{,}9^2$ ? (Dezimalzahl) 0.81
2. Wie viel Prozent der Streuung werden erklärt? (nur die Zahl, z. B. 25) 81
6.
Eine Bäckerei hat für die Regression des täglichen Brotverkaufs auf die Temperatur $SS_{\text{tot}} = 60$ und $SS_{\text{res}} = 21$ . Bestimme $R^2$ .
Lösung: 0.65
1. Was ist $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{21}{60}$ als Dezimalzahl? 0.35
2. Was ist $R^2 = 1 - 0{,}35$ ? 0.65
7.
Welcher dieser Werte ist für $R^2$ einer Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate NICHT möglich?
1. a)1
2. b)0,5
3. c)0
4. d)1,2
Lösung: 1,2
$R^2$ liegt immer zwischen $0$ und $1$ . $0$ (keine lineare Anpassung) und $1$ (perfekte Anpassung) sind möglich, aber $1{,}2$ hieße, dass mehr als 100 % der Streuung erklärt werden, und das ist unmöglich.
8.
Eine Regressionsgerade hat eine negative Steigung und $R^2 = 0{,}49$ . Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $r$ ? Gib die Antwort als Dezimalzahl an.
Lösung: -0.7
$\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ , und weil die Steigung negativ ist, gilt $r = -0{,}7$ .
9.
Ein Modell hat $R^2 = 0{,}64$ . Wie viel Prozent der Streuung von $y$ werden NICHT durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt? Gib den Prozentsatz nur als Zahl an (z. B. 25).
Lösung: 36
$0{,}64 = 64\,\%$ werden erklärt, also werden $100\,\% - 64\,\% = 36\,\%$ nicht erklärt.
10.
Eine Regression der Akkuladung eines Handys auf die Nutzungsstunden hat die Steigung $-2{,}5$ und $R^2 = 0{,}36$ . Bestimme den Korrelationskoeffizienten $r$ .
Lösung: -0.6
1. Was ist $\sqrt{0{,}36}$ ? 0.6
2. Die Steigung ist negativ. Wie groß ist $r$ ? -0.6
11.
Die $y$ -Werte eines Datensatzes sind $5, 9, 6, 12, 8$ . Die Regressionsgerade auf $x$ hat $SS_{\text{res}} = 12$ . Bestimme $R^2$ .
Lösung: 0.6
1. Wie groß ist der Mittelwert $\bar{y}$ ? 8
2. Wie groß ist $SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ ? 30
3. Was ist $R^2 = 1 - \frac{12}{30}$ ? (Dezimalzahl) 0.6
12.
Die Residuen einer Regressionsgeraden sind $2, -2, 1, 0, -1$ und $SS_{\text{tot}} = 40$ . Bestimme $R^2$ .
Lösung: 0.75
1. Wie groß ist $SS_{\text{res}}$ , die Summe der quadrierten Residuen? 10
2. Was ist $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ als Dezimalzahl? 0.25
3. Wie groß ist $R^2$ ? 0.75
13.
In einer Sommerstudie mit 30 Orten ergibt eine Regression der Sonnenbrandfälle auf den Eisverkauf $R^2 = 0{,}85$ . Was ist die beste Schlussfolgerung?
1. a)Die Gerade erklärt 85 % der Streuung, aber eine Drittvariable wie sonniges Wetter kann beides beeinflussen
2. b)Weniger Eisverkauf würde Sonnenbrände verhindern
3. c)Eisessen verursacht 85 % der Sonnenbrände
4. d)85 % der Orte liegen genau auf der Regressionsgeraden
Lösung: Die Gerade erklärt 85 % der Streuung, aber eine Drittvariable wie sonniges Wetter kann beides beeinflussen
Die Gerade erklärt 85 % der Streuung, aber $R^2$ kann keine Kausalität zeigen. Sonniges, heißes Wetter ist eine Störvariable, die sowohl den Eisverkauf als auch die Sonnenbrände erhöht.
14.
Die Residuen einer Regressionsgeraden sind $3, -1, -2, 1, -1$ und $SS_{\text{tot}} = 80$ . Wie groß ist $R^2$ ? Gib die Antwort als Dezimalzahl an.
Lösung: 0.8
$SS_{\text{res}} = 9 + 1 + 4 + 1 + 1 = 16$ , also $R^2 = 1 - \frac{16}{80} = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ .
15.
Eine Gerade, die an Daten angepasst wurde, hat $R^2 = 0{,}95$ , aber das Residuendiagramm zeigt eine deutliche U-Form. Was solltest du folgern?
1. a)Die Gerade ist ein perfektes Modell, weil $R^2$ so hoch ist
2. b)Die Berechnung von $R^2$ muss falsch sein
3. c) $x$ verursacht 95 % der Änderungen von $y$
4. d)Die Daten folgen einer Kurve, ein nichtlineares Modell würde also besser passen
Lösung: Die Daten folgen einer Kurve, ein nichtlineares Modell würde also besser passen
Ein U-förmiges Residuendiagramm bedeutet, dass die Daten gekrümmt sind. Ein nichtlineares Modell würde also besser passen, obwohl $R^2$ hoch ist. $R^2$ ersetzt nicht die Prüfung der Residuen und beweist nie Kausalität.
16.
Die Daten $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 6)$ , $(4, 10)$ , $(5, 9)$ haben die Regressionsgerade $\hat{y} = 2x$ . Berechne $R^2$ .
Lösung: 0.8
1. Wie groß ist der Mittelwert $\bar{y}$ ? 6
2. Wie groß ist $SS_{\text{tot}}$ ? 50
3. Wie groß ist $SS_{\text{res}}$ ? 10
4. Wie groß ist $R^2$ ? (Dezimalzahl) 0.8
17.
Modell A hat $r = -0{,}8$ und Modell B hat $r = 0{,}7$ für dieselbe Zielvariable. Welches Modell erklärt mehr Streuung von $y$ , und um wie viele Prozentpunkte?
Lösung: 15
1. Wie groß ist $R^2$ für Modell A? (Dezimalzahl) 0.64
2. Wie groß ist $R^2$ für Modell B? (Dezimalzahl) 0.49
3. Modell A erklärt mehr. Um wie viele Prozentpunkte? (nur die Zahl) 15
18.
Eine Regression hat $SS_{\text{tot}} = 250$ und $R^2 = 0{,}92$ . Bestimme $SS_{\text{res}}$ und die erklärte Streuung $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ .
Lösung: 230
1. Was ist $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - R^2$ ? (Dezimalzahl) 0.08
2. Wie groß ist $SS_{\text{res}}$ ? 20
3. Wie groß ist die erklärte Streuung $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$ ? 230