Textaufgaben zur Regression

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Das Modell $\hat{y} = 6x + 48$ sagt das Testergebnis $\hat{y}$ (Punkte) aus den wöchentlichen Lernstunden $x$ voraus. Was bedeutet die Steigung $6$ ?
1. a)Wer 0 Stunden lernt, erreicht 6 Punkte
2. b)Jede zusätzliche Lernstunde pro Woche geht im Mittel mit etwa 6 Punkten mehr einher
3. c)An der Untersuchung haben 6 Personen teilgenommen
4. d)Das Ergebnis ist immer das 6-Fache der Stunden
2.
Sage mit $\hat{y} = 6x + 48$ (Testergebnis aus den wöchentlichen Lernstunden $x$ ) das Ergebnis einer Person voraus, die $4$ Stunden pro Woche lernt.
3.
Eine Regressionsgerade wurde an Daten mit $x$ -Werten von $2$ bis $10$ angepasst. Für welchen Wert von $x$ ist eine Vorhersage eine Extrapolation?
1. a)5
2. b)15
3. c)7,5
4. d)9
4.
Ein Datenpunkt hat den tatsächlichen Wert $y = 80$ , und die Regressionsgerade sagt für ihn $\hat{y} = 74$ voraus. Wie groß ist sein Residuum?
5.
Eine Regression des Prüfungsergebnisses auf die Lernzeit hat $R^2 = 0{,}64$ . Welche Aussage ist richtig?
1. a)64 % der Datenpunkte liegen genau auf der Geraden
2. b)64 % der Streuung der Prüfungsergebnisse werden durch den linearen Zusammenhang mit der Lernzeit erklärt
3. c)Der Korrelationskoeffizient ist r = 0,64
4. d)Jede zusätzliche Lernstunde bringt 0,64 Punkte
6.
Die Korrelation zwischen täglichen Schritten und verbrannten Kalorien ist $r = 0{,}7$ . Wie groß ist $R^2$ ? Gib es als Dezimalzahl an.
7.
Das Modell eines Händlers für Gebrauchtwagen ist $\hat{y} = 18000 - 1500x$ , wobei $\hat{y}$ der Preis in € und $x$ das Alter in Jahren ist (Daten für Autos von 0 bis 8 Jahren). Was bedeutet der Achsenabschnitt $18000$ ?
1. a)Für ein neues Auto (Alter 0) wird ein Preis von etwa 18000 € vorhergesagt
2. b)Ein neues Auto ist 1500 € wert
3. c)Nach 18000 Jahren ist das Auto nichts mehr wert
4. d)Das Auto verliert jedes Jahr 18000 €
8.
Ein Café nutzt $\hat{y} = 110 - 3x$ , um die Anzahl verkaufter Heißgetränke aus der Morgentemperatur $x$ in °C vorherzusagen (Daten von $0$ bis $20$ °C). Wie viele Heißgetränke sagt es für $12$ °C voraus?
9.
In einem Modell für Lieferzeiten hat eine Lieferung ein Residuum von $-5$ Minuten. Was bedeutet das?
1. a)Die Lieferung dauerte 5 Minuten länger als vorhergesagt
2. b)Das Modell hat eine Zeit von 5 Minuten vorhergesagt
3. c)Die Steigung des Modells ist -5
4. d)Die Lieferung dauerte 5 Minuten weniger als vorhergesagt
10.
Die Höhe einer Pflanze wird durch $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ modelliert (cm, $x$ in Wochen). Um wie viele cm nimmt die vorhergesagte Höhe in $4$ weiteren Wochen zu?
11.
Das Café-Modell ist $\hat{y} = 110 - 3x$ (Heißgetränke, $x$ in °C). An einem Vormittag mit $15$ °C verkaufte das Café $75$ Heißgetränke. Bestimme das Residuum dieses Vormittags.
12.
Bei den Lernstunden-Daten ist die Summe der quadrierten Residuen $SS_{\text{res}} = 40$ und die Gesamtstreuung der Ergebnisse $SS_{\text{tot}} = 400$ . Bestimme $R^2$ und gib an, wie viel Prozent der Streuung der Ergebnisse die Gerade erklärt.
13.
Das Modell $\hat{y} = 6x + 48$ wurde an Lernende angepasst, die $1$ bis $5$ Stunden pro Woche lernen (Tests mit $100$ Punkten). Sage das Ergebnis für $12$ Stunden voraus und entscheide, welche Art von Vorhersage das ist.
14.
Das Modell des Händlers ist $\hat{y} = 18000 - 1500x$ (Preis in €, $x$ = Alter in Jahren, Daten von 0 bis 8 Jahren). Ein $4$ Jahre altes Auto wurde für 13000 € verkauft. Bestimme den vorhergesagten Preis und das Residuum. Wurde das Auto über oder unter dem vorhergesagten Preis verkauft?
15.
Eine Schülerin zählt die Liegestütze $y$ , die sie nach $x$ Wochen Training schafft:
$x$ 1 2 3 4
$y$ 3 5 6 10
Bestimme die Regressionsgerade $\hat{y} = mx + b$ nach der Methode der kleinsten Quadrate.
16.
Das Café-Modell ist $\hat{y} = 110 - 3x$ (Heißgetränke, $x$ in °C, Daten von $0$ bis $20$ °C) mit $R^2 = 0{,}9$ . An einem Vormittag mit $8$ °C verkaufte das Café $90$ Heißgetränke. Bestimme die Vorhersage, das Residuum, den Korrelationskoeffizienten $r$ und den erklärten Anteil der Streuung in Prozent.
17.
Ein Eisstand hat Daten für Temperaturen von $10$ bis $30$ °C gesammelt. Die Regressionsgerade der pro Stunde verkauften Eiskugeln in Abhängigkeit von der Temperatur hat die Steigung $1{,}5$ , und die Mittelwerte sind $\bar{x} = 20$ °C und $\bar{y} = 50$ Kugeln. Bestimme den Achsenabschnitt, sage den Verkauf bei $30$ °C voraus und bestimme das Residuum einer Stunde bei $30$ °C mit $61$ verkauften Kugeln.
18.
Wie viele Lernstunden braucht man laut $\hat{y} = 6x + 48$ (Testergebnis aus wöchentlichen Lernstunden, Daten von $1$ bis $5$ Stunden) für ein vorhergesagtes Ergebnis von $84$ Punkten? Kann man dieser Antwort trauen?