Leitfaden für Lehrer: Bestimmtheitsmaß (R²)

Lerne, was R² über eine Regressionsgerade aussagt, wie du es aus r oder aus Quadratsummen berechnest und warum ein hohes R² keine Kausalität beweist.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Regression. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$R^2$ aus dem Korrelationskoeffizienten mit $R^2 = r^2$ berechnen
$R^2$ aus $SS_{\text{res}}$ und $SS_{\text{tot}}$ mit $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ berechnen
$R^2$ im Sachzusammenhang als Prozentsatz der Streuung von $y$ deuten, der durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt wird
$r$ aus $R^2$ mithilfe des Vorzeichens der Steigung bestimmen
Erklären, warum ein hohes $R^2$ weder Kausalität noch ein richtiges Modell beweist, und die Anpassung mit Residuen prüfen

Voraussetzungen

• Korrelationskoeffizient: was $r$ misst und warum $-1 \le r \le 1$ gilt
• Lineare Regression: eine Ausgleichsgerade $\hat{y} = mx + b$ bestimmen und nutzen
• Residuen: beobachtete minus vorhergesagte Werte und Residuendiagramme
• Streudiagramme sowie Dezimalzahlen quadrieren, Quadratwurzeln und Prozente

Diskussionsstarter

1. Zwei Modelle haben $R^2 = 0{,}64$ , eines mit $r = 0{,}8$ und eines mit $r = -0{,}8$ . Was ist gleich, was ist verschieden?
2. Warum quadrieren wir die Residuen wohl, bevor wir sie addieren, statt sie einfach zu addieren?
3. Ist ein Modell mit $R^2 = 0{,}30$ nutzlos? Wann könnte es trotzdem helfen?
4. Eisverkauf und Sonnenbrände haben ein hohes $R^2$ . Verursacht Eis Sonnenbrand? Was könnte es sonst erklären?
5. Wie können gekrümmte Daten trotzdem ein hohes $R^2$ für eine Gerade ergeben?

Häufige Missverständnisse

$R^2$ ist der Prozentsatz der Punkte, die auf der Regressionsgeraden liegen

Abhilfe: Zeige einen Datensatz, bei dem kein Punkt genau auf der Geraden liegt, aber $R^2 = 0{,}81$ ist. Erkläre, dass $R^2$ die übrig gebliebene Streuung mit der Gesamtstreuung vergleicht und keine Punkte zählt.

$R^2 = r$ , also bedeutet $r = 0{,}7$ , dass 70 % erklärt werden

Abhilfe: Lass die Lernenden $0{,}7^2 = 0{,}49$ berechnen und 49 % mit 70 % vergleichen. Wiederhole das mit $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ ), um zu zeigen, wie schnell der erklärte Anteil sinkt.

Ein hohes $R^2$ bedeutet, dass $x$ die Ursache von $y$ ist und die Gerade das richtige Modell ist

Abhilfe: Verwende den gekrümmten Datensatz $y = x^2$ (hohes $R^2$ , U-förmige Residuen) und ein Beispiel mit Störvariable wie Eis und Sonnenbrand. Frage, was $R^2$ nicht sehen kann.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne nur mit $R^2 = r^2$ und lass die Quadrate mit dem Taschenrechner berechnen
• Nutze einen Satzbaustein: "___ % der Streuung von ___ werden durch den linearen Zusammenhang mit ___ erklärt"
• Gib $SS_{\text{res}}$ und $SS_{\text{tot}}$ zuerst direkt vor, bevor die Lernenden sie selbst berechnen

Für Schüler auf Niveau:

• $SS_{\text{tot}}$ , $SS_{\text{res}}$ und $R^2$ für kleine Datensätze mit 5 Punkten berechnen
• Mit dem Vorzeichen der Steigung von $R^2$ zurück zu $r$ gehen
• Zwei Modelle für dieselben Daten vergleichen und entscheiden, welches mehr Streuung erklärt

Für fortgeschrittene Schüler:

• Zeigen, dass für die Gerade der kleinsten Quadrate $SS_{\text{tot}} = SS_{\text{res}} + SS_{\text{reg}}$ gilt und $R^2 = \frac{SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}}$ ist
• Untersuchen, wie ein einzelner Ausreißer $R^2$ verändert
• Eine Kurve an die Daten $y = x^2$ anpassen und ihr $R^2$ und ihre Residuen mit denen der Geraden vergleichen

Standardausrichtung

HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Den Korrelationskoeffizienten einer linearen Anpassung (mit Technologie) berechnen und deuten
HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)
Die Anpassung einer Funktion informell durch Zeichnen und Analysieren der Residuen beurteilen
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Zwischen Korrelation und Kausalität unterscheiden

Lektionsressourcen

visualStreudiagramme: starke und schwache Anpassung
Zwei Streudiagramme mit Trendlinie und Residuen: eines mit $r = 0{,}9$ ( $R^2 = 0{,}81$ ) und eines mit $r = 0{,}3$ ( $R^2 = 0{,}09$ )
activityErklärt oder nicht?
Die Klasse sammelt eigene Daten (Armspannweite und Körpergröße, Schuhgröße und Testergebnis), bestimmt $R^2$ mit dem Taschenrechner und begründet, welcher Zusammenhang stärker ist
worksheetÜbungen zu R²
Zwischen $r$ und $R^2$ umrechnen, $R^2$ aus Quadratsummen berechnen und Deutungen im Sachzusammenhang formulieren

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Das Bestimmtheitsmaß, geschrieben

R^2

, sagt dir, welcher Anteil der Streuung der Zielvariable

y

durch den linearen Zusammenhang mit der erklärenden Variable

x

erklärt wird.

Bei der einfachen linearen Regression (ein

x

, ein

y

) ist es das Quadrat des Korrelationskoeffizienten:

R^2 = r^2

Man kann es auch aus zwei Quadratsummen berechnen:

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ ist die Gesamtstreuung der $y$ -Werte um ihren Mittelwert
$SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ ist die Streuung, die nach dem Einsatz der Regressionsgeraden übrig bleibt (die Summe der quadrierten Residuen, in der Lektion Residuen kurz SQR)

R^2

liegt immer zwischen

0

und

1

. Wenn

R^2 = 0{,}81

ist, dann werden **81 % der Streuung von

y

durch den linearen Zusammenhang mit

x

erklärt**, und die übrigen 19 % erklärt die Gerade nicht.

Lösungsbeispiele

In einer Gruppe von Schülerinnen und Schülern ist die Korrelation zwischen täglicher Bildschirmzeit (

x

, Stunden) und Schlafstunden (

y

) gleich

r = -0{,}7

. Bestimme

R^2

und deute es.

Quadriere den Korrelationskoeffizienten

R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49

→

R^2 = 0{,}49

Schreibe es als Prozent

0{,}49 = 49\,\%

→ 49 %

Deute im Sachzusammenhang

49 % der Streuung der Schlafstunden werden durch den linearen Zusammenhang mit der Bildschirmzeit erklärt. Die übrigen 51 % kommen von anderen Faktoren. → 49 % erklärt, 51 % nicht erklärt

Antwort: $R^2 = 0{,}49$ : 49 % der Streuung des Schlafs werden durch den linearen Zusammenhang mit der Bildschirmzeit erklärt. Durch das Quadrieren fällt das Minuszeichen weg, deshalb ist $R^2$ nie negativ.

Häufige Fehler

$r$ als Prozent verwenden: " $r = 0{,}5$ , also werden 50 % der Streuung erklärt"

Warum es falsch ist: Der Anteil der erklärten Streuung kommt von $R^2$ , nicht von $r$ . Du musst zuerst quadrieren.

Richtig: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , es werden also nur 25 % der Streuung erklärt.

Das Vorzeichen vergessen, wenn man von $R^2$ zurück zu $r$ geht

Warum es falsch ist: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ ist immer positiv, aber $r$ kann negativ sein. $R^2$ verbirgt die Richtung des Zusammenhangs.

Richtig: Nimm das Vorzeichen der Steigung: Ist die Steigung negativ, dann ist $r = -\sqrt{R^2}$ , zum Beispiel $r = -0{,}7$ .

Glauben, ein hohes $R^2$ beweise, dass $x$ die Ursache von $y$ ist

Warum es falsch ist: $R^2$ misst nur, wie gut eine Gerade zu den Daten passt. Eine Störvariable (Drittvariable) kann sowohl $x$ als auch $y$ beeinflussen.

Richtig: Sage "81 % der Streuung von $y$ werden durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt", nie " $x$ verursacht 81 % von $y$ ". Für Kausalität braucht man ein kontrolliertes Experiment.

Glauben, ein hohes $R^2$ bedeute, dass eine Gerade das richtige Modell ist

Warum es falsch ist: Auch gekrümmte Daten können $R^2 = 0{,}96$ ergeben. $R^2$ zeigt keine Muster in den Residuen.

Richtig: Sieh dir immer das Residuendiagramm an. Zufällige Streuung spricht für die Gerade; eine U-Form oder ein anderes Muster bedeutet, dass ein anderes Modell besser passt.

Warum es wichtig ist

Sobald du eine Regressionsgerade hast, stellt sich die nächste Frage: Wie gut ist sie?

R^2

beantwortet das mit einer einzigen Zahl.

Wissenschaft: Forschende geben $R^2$ an, um zu zeigen, wie gut ein Modell ihre Messungen beschreibt
Wirtschaft: Analystinnen und Analysten vergleichen Umsatzmodelle und behalten das, das mehr Streuung erklärt
Sport: Trainerinnen und Trainer prüfen, wie viel der Streuung der Sprintzeiten durch Trainingsstunden erklärt wird
Medizin: Ärztinnen und Ärzte sehen, wie stark eine Dosis mit einer Änderung des Blutdrucks zusammenhängt

Genauso wichtig ist, was

R^2

nicht sagt: Ein hohes

R^2

beweist nicht, dass

x

die Ursache von

y

ist, und es beweist nicht, dass eine Gerade das richtige Modell ist. Du musst trotzdem die Residuen ansehen.

Anwendungen im echten Leben

Sportanalyse

Trainerinnen und Trainer vergleichen Trainingsdaten mit Wettkampfergebnissen, um zu sehen, wie viel des Leistungsunterschieds mit dem Training zusammenhängt.

Beispiel:

Ist die Korrelation zwischen wöchentlichen Trainingsstunden und 100-m-Sprintzeit $r = -0{,}85$ , dann ist $R^2 = 0{,}7225$ : Etwa 72 % der Streuung der Sprintzeiten werden durch den linearen Zusammenhang mit den Trainingsstunden erklärt.

1Probiere es selbst

In einem Schwimmverein ist die Korrelation zwischen wöchentlichen Trainingsstunden und der Zeit über 50 m gleich $r = -0{,}9$ .

Wie groß ist $R^2$ ? Gib es als Dezimalzahl an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Quadriere den Korrelationskoeffizienten:

Immobilienpreise

Immobilienanalystinnen und -analysten bauen Regressionsmodelle für Hauspreise und beurteilen mit $R^2$, ob ein Modell gut genug für Bewertungen ist.

Beispiel:

Ein Modell des Preises in Abhängigkeit von der Wohnfläche mit $R^2 = 0{,}70$ erklärt 70 % der Preisstreuung; die übrigen 30 % kommen von Lage, Zustand und anderen Faktoren.

2Probiere es selbst

Für ein Modell der Wohnungspreise in Abhängigkeit von der Wohnfläche ist die Gesamtstreuung $SS_{\text{tot}} = 500$ und die Summe der quadrierten Residuen $SS_{\text{res}} = 75$ (beide in Tausend € zum Quadrat).

Wie groß ist $R^2$ ? Gib es als Dezimalzahl an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ :

Medizin und Dosierung

In klinischen Studien prüfen Forschende, wie stark die Dosis eines Medikaments mit der Änderung eines Messwerts wie dem Blutdruck zusammenhängt.

Beispiel:

Geht eine höhere Dosis mit niedrigerem Blutdruck einher (negative Steigung) und ist $R^2 = 0{,}36$ , dann ist $r = -0{,}6$ : ein mäßiger negativer linearer Zusammenhang.

3Probiere es selbst

Eine Studie zeigt, dass eine höhere Dosis mit niedrigerem Blutdruck einhergeht. Die Regressionsgerade hat eine negative Steigung und $R^2 = 0{,}64$ .

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $r$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe die Wurzel und wähle das Vorzeichen nach der Steigung:

Wichtige Erkenntnisse

1Das Bestimmtheitsmaß $R^2$ ist der Anteil der Streuung von $y$ , der durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt wird
2Bei der einfachen linearen Regression gilt $R^2 = r^2$ : Quadrieren des Korrelationskoeffizienten liefert $R^2$
3 $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ vergleicht die übrig gebliebene Streuung mit der Gesamtstreuung
4 $R^2$ liegt zwischen $0$ und $1$ : $R^2 = 0{,}81$ bedeutet, dass 81 % der Streuung von $y$ erklärt werden
5Um von $R^2$ zurück zu $r$ zu kommen, nimm $\sqrt{R^2}$ mit dem Vorzeichen der Steigung
6Ein hohes $R^2$ beweist weder Kausalität noch ein richtiges Modell: Prüfe immer das Residuendiagramm

Häufig gestellte Fragen

Kann R² negativ sein?

Nicht bei einer Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate wie in dieser Lektion:

SS_{\text{res}}

ist nie größer als

SS_{\text{tot}}

, deshalb bleibt

R^2

zwischen

0

und

1

. Auch das Quadrieren von

r

ergibt immer eine Zahl, die

0

oder größer ist.

Was ist ein gutes R²?

Das hängt vom Fachgebiet ab. In Physikexperimenten sind Werte über

0{,}95

üblich. Wenn man Menschen untersucht (Verhalten, Gesundheit, Wirtschaft), kann schon ein

R^2

von

0{,}30

nützlich sein, weil Menschen von vielen Faktoren beeinflusst werden.

Ist R² immer gleich r²?

Ja, bei der einfachen linearen Regression mit einer erklärenden Variable, um die es in dieser Lektion geht. Bei mehreren erklärenden Variablen gibt es kein einzelnes

r

, aber

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

funktioniert weiterhin.

Warum sagt R² nichts über die Richtung des Zusammenhangs?

Weil das Quadrieren das Vorzeichen entfernt:

r = 0{,}8

und

r = -0{,}8

ergeben beide

R^2 = 0{,}64

. Die Richtung erkennst du an der Steigung der Regressionsgeraden oder an

r

selbst.

Glossar

Bestimmtheitsmaß ( $R^2$ ): Der Anteil der Streuung von $y$ , der durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt wird; eine Zahl von $0$ bis $1$
Gesamtquadratsumme ( $SS_{\text{tot}}$ ): $\sum (y_i - \bar{y})^2$ : die Gesamtstreuung der $y$ -Werte um ihren Mittelwert
Summe der quadrierten Residuen ( $SS_{\text{res}}$ , auch SQR): $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ : die Streuung, die nach dem Einsatz der Regressionsgeraden übrig bleibt
Residuum: Der Unterschied zwischen beobachtetem und vorhergesagtem Wert: $y_i - \hat{y}_i$
Erklärte Streuung: Der Teil der Gesamtstreuung von $y$ , den die Regressionsgerade erfasst: $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$

Formelkarte

R² aus r

R^2 = r^2

Bei der einfachen linearen Regression: Quadriere den Korrelationskoeffizienten

R² aus Quadratsummen

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

Eins minus der Anteil der Streuung, der übrig bleibt

Gesamtquadratsumme

SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2

Quadrierte Abstände der y-Werte von ihrem Mittelwert

Summe der quadrierten Residuen

SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2

Quadrierte Abstände der y-Werte von der Regressionsgeraden

r aus R²

r = \pm\sqrt{R^2}

Verwende das Vorzeichen der Steigung der Regressionsgeraden

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Sportanalyse

Immobilienpreise

Medizin und Dosierung

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

R² aus r

R² aus Quadratsummen

Gesamtquadratsumme

Summe der quadrierten Residuen

r aus R²

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