Textaufgaben zur Regression

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Das Modell $\hat{y} = 6x + 48$ sagt das Testergebnis $\hat{y}$ (Punkte) aus den wöchentlichen Lernstunden $x$ voraus. Was bedeutet die Steigung $6$ ?
1. a)Wer 0 Stunden lernt, erreicht 6 Punkte
2. b)Jede zusätzliche Lernstunde pro Woche geht im Mittel mit etwa 6 Punkten mehr einher
3. c)An der Untersuchung haben 6 Personen teilgenommen
4. d)Das Ergebnis ist immer das 6-Fache der Stunden
Lösung: Jede zusätzliche Lernstunde pro Woche geht im Mittel mit etwa 6 Punkten mehr einher
Die Steigung ist eine Änderungsrate: Pro zusätzlicher Lernstunde pro Woche steigt das vorhergesagte Ergebnis im Mittel um etwa $6$ Punkte. Die Zahl $48$ ist der Achsenabschnitt, nicht die Steigung.
2.
Sage mit $\hat{y} = 6x + 48$ (Testergebnis aus den wöchentlichen Lernstunden $x$ ) das Ergebnis einer Person voraus, die $4$ Stunden pro Woche lernt.
Lösung: 72
$\hat{y} = 6 \cdot 4 + 48 = 24 + 48 = 72$ Punkte.
3.
Eine Regressionsgerade wurde an Daten mit $x$ -Werten von $2$ bis $10$ angepasst. Für welchen Wert von $x$ ist eine Vorhersage eine Extrapolation?
1. a)5
2. b)15
3. c)7,5
4. d)9
Lösung: 15
Nur $15$ liegt außerhalb des Bereichs von $2$ bis $10$ , dort ist eine Vorhersage also eine Extrapolation. $5$ , $7{,}5$ und $9$ liegen innerhalb der Daten (Interpolation).
4.
Ein Datenpunkt hat den tatsächlichen Wert $y = 80$ , und die Regressionsgerade sagt für ihn $\hat{y} = 74$ voraus. Wie groß ist sein Residuum?
Lösung: 6
$e = y - \hat{y} = 80 - 74 = 6$ . Das Residuum ist positiv, der Punkt liegt also $6$ Einheiten über der Geraden.
5.
Eine Regression des Prüfungsergebnisses auf die Lernzeit hat $R^2 = 0{,}64$ . Welche Aussage ist richtig?
1. a)64 % der Datenpunkte liegen genau auf der Geraden
2. b)64 % der Streuung der Prüfungsergebnisse werden durch den linearen Zusammenhang mit der Lernzeit erklärt
3. c)Der Korrelationskoeffizient ist r = 0,64
4. d)Jede zusätzliche Lernstunde bringt 0,64 Punkte
Lösung: 64 % der Streuung der Prüfungsergebnisse werden durch den linearen Zusammenhang mit der Lernzeit erklärt
$R^2 = 0{,}64$ bedeutet, dass $64\,\%$ der Streuung der Prüfungsergebnisse durch den linearen Zusammenhang mit der Lernzeit erklärt werden. Es sagt nichts darüber, wie viele Punkte auf der Geraden liegen, und $r = \pm 0{,}8$ , nicht $0{,}64$ .
6.
Die Korrelation zwischen täglichen Schritten und verbrannten Kalorien ist $r = 0{,}7$ . Wie groß ist $R^2$ ? Gib es als Dezimalzahl an.
Lösung: 0.49
$R^2 = r^2 = 0{,}7^2 = 0{,}49$ : Etwa $49\,\%$ der Streuung der verbrannten Kalorien werden durch die Schrittzahl erklärt.
7.
Das Modell eines Händlers für Gebrauchtwagen ist $\hat{y} = 18000 - 1500x$ , wobei $\hat{y}$ der Preis in € und $x$ das Alter in Jahren ist (Daten für Autos von 0 bis 8 Jahren). Was bedeutet der Achsenabschnitt $18000$ ?
1. a)Für ein neues Auto (Alter 0) wird ein Preis von etwa 18000 € vorhergesagt
2. b)Ein neues Auto ist 1500 € wert
3. c)Nach 18000 Jahren ist das Auto nichts mehr wert
4. d)Das Auto verliert jedes Jahr 18000 €
Lösung: Für ein neues Auto (Alter 0) wird ein Preis von etwa 18000 € vorhergesagt
Bei $x = 0$ (ein neues Auto) sagt das Modell $\hat{y} = 18000$ € voraus. Das Alter $0$ gehört zu den Daten, die Deutung ist also sinnvoll. Die $1500$ ist die Steigung: Der vorhergesagte Wert sinkt um etwa $1500$ € pro Jahr.
8.
Ein Café nutzt $\hat{y} = 110 - 3x$ , um die Anzahl verkaufter Heißgetränke aus der Morgentemperatur $x$ in °C vorherzusagen (Daten von $0$ bis $20$ °C). Wie viele Heißgetränke sagt es für $12$ °C voraus?
Lösung: 74
$\hat{y} = 110 - 3 \cdot 12 = 110 - 36 = 74$ Heißgetränke. Da $12$ °C im Datenbereich liegt, ist das eine Interpolation.
9.
In einem Modell für Lieferzeiten hat eine Lieferung ein Residuum von $-5$ Minuten. Was bedeutet das?
1. a)Die Lieferung dauerte 5 Minuten länger als vorhergesagt
2. b)Das Modell hat eine Zeit von 5 Minuten vorhergesagt
3. c)Die Steigung des Modells ist -5
4. d)Die Lieferung dauerte 5 Minuten weniger als vorhergesagt
Lösung: Die Lieferung dauerte 5 Minuten weniger als vorhergesagt
$e = y - \hat{y} = -5$ heißt $y = \hat{y} - 5$ : Die Lieferung dauerte $5$ Minuten weniger als vorhergesagt, der Punkt liegt also unter der Geraden.
10.
Die Höhe einer Pflanze wird durch $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ modelliert (cm, $x$ in Wochen). Um wie viele cm nimmt die vorhergesagte Höhe in $4$ weiteren Wochen zu?
Lösung: 10
Änderung von $\hat{y}$ = Steigung $\cdot$ Änderung von $x$ = $2{,}5 \cdot 4 = 10$ cm.
11.
Das Café-Modell ist $\hat{y} = 110 - 3x$ (Heißgetränke, $x$ in °C). An einem Vormittag mit $15$ °C verkaufte das Café $75$ Heißgetränke. Bestimme das Residuum dieses Vormittags.
Lösung: 10
1. Was ist $3 \cdot 15$ ? 45
2. Wie groß ist die vorhergesagte Anzahl Heißgetränke $\hat{y}$ ? 65
3. Wie groß ist das Residuum $y - \hat{y}$ ? 10
12.
Bei den Lernstunden-Daten ist die Summe der quadrierten Residuen $SS_{\text{res}} = 40$ und die Gesamtstreuung der Ergebnisse $SS_{\text{tot}} = 400$ . Bestimme $R^2$ und gib an, wie viel Prozent der Streuung der Ergebnisse die Gerade erklärt.
Lösung: 0.9
1. Was ist $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{40}{400}$ ? 0.1
2. Wie groß ist $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ ? 0.9
3. Wie viel Prozent der Streuung erklärt die Gerade (nur die Zahl)? 90
13.
Das Modell $\hat{y} = 6x + 48$ wurde an Lernende angepasst, die $1$ bis $5$ Stunden pro Woche lernen (Tests mit $100$ Punkten). Sage das Ergebnis für $12$ Stunden voraus und entscheide, welche Art von Vorhersage das ist.
Lösung: 120
1. Was ist $6 \cdot 12$ ? 72
2. Welches Ergebnis sagt das Modell für 12 Stunden voraus? 120
3. Ist diese Vorhersage eine Interpolation oder eine Extrapolation? Extrapolation
14.
Das Modell des Händlers ist $\hat{y} = 18000 - 1500x$ (Preis in €, $x$ = Alter in Jahren, Daten von 0 bis 8 Jahren). Ein $4$ Jahre altes Auto wurde für 13000 € verkauft. Bestimme den vorhergesagten Preis und das Residuum. Wurde das Auto über oder unter dem vorhergesagten Preis verkauft?
Lösung: 1000
1. Was ist $1500 \cdot 4$ ? 6000
2. Wie hoch ist der vorhergesagte Preis $\hat{y}$ (nur die Zahl)? 12000
3. Wie groß ist das Residuum (nur die Zahl)? 1000
4. Wurde das Auto über oder unter dem vorhergesagten Preis verkauft? darüber
15.
Eine Schülerin zählt die Liegestütze $y$ , die sie nach $x$ Wochen Training schafft:
$x$ 1 2 3 4
$y$ 3 5 6 10
Bestimme die Regressionsgerade $\hat{y} = mx + b$ nach der Methode der kleinsten Quadrate.
Lösung: y = 2.2x + 0.5
1. Wie groß ist der Mittelwert $\bar{x}$ ? 2.5
2. Wie groß ist der Mittelwert $\bar{y}$ ? 6
3. Wie groß ist $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ ? 11
4. Wie groß ist $\sum(x-\bar{x})^2$ ? 5
5. Wie groß ist die Steigung $m$ ? 2.2
6. Wie groß ist der Achsenabschnitt $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 0.5
16.
Das Café-Modell ist $\hat{y} = 110 - 3x$ (Heißgetränke, $x$ in °C, Daten von $0$ bis $20$ °C) mit $R^2 = 0{,}9$ . An einem Vormittag mit $8$ °C verkaufte das Café $90$ Heißgetränke. Bestimme die Vorhersage, das Residuum, den Korrelationskoeffizienten $r$ und den erklärten Anteil der Streuung in Prozent.
Lösung: -0.95
1. Was sagt das Modell für $8$ °C voraus? 86
2. Wie groß ist das Residuum dieses Vormittags? 4
3. Wie groß ist $r$ , auf zwei Dezimalstellen gerundet? -0.95
4. Wie viel Prozent der Streuung der verkauften Heißgetränke werden erklärt (nur die Zahl)? 90
17.
Ein Eisstand hat Daten für Temperaturen von $10$ bis $30$ °C gesammelt. Die Regressionsgerade der pro Stunde verkauften Eiskugeln in Abhängigkeit von der Temperatur hat die Steigung $1{,}5$ , und die Mittelwerte sind $\bar{x} = 20$ °C und $\bar{y} = 50$ Kugeln. Bestimme den Achsenabschnitt, sage den Verkauf bei $30$ °C voraus und bestimme das Residuum einer Stunde bei $30$ °C mit $61$ verkauften Kugeln.
Lösung: -4
1. Was ist $1{,}5 \cdot 20$ ? 30
2. Wie groß ist der Achsenabschnitt $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 20
3. Was sagt die Gerade bei $30$ °C voraus? 65
4. Wie groß ist das Residuum der Stunde mit $61$ Kugeln? -4
18.
Wie viele Lernstunden braucht man laut $\hat{y} = 6x + 48$ (Testergebnis aus wöchentlichen Lernstunden, Daten von $1$ bis $5$ Stunden) für ein vorhergesagtes Ergebnis von $84$ Punkten? Kann man dieser Antwort trauen?
Lösung: 6
1. Ziehe den Achsenabschnitt ab: Was ist $84 - 48$ ? 36
2. Teile durch die Steigung: Wie groß ist $x$ ? 6
3. Ist $x = 6$ eine Interpolation oder eine Extrapolation? Extrapolation