Leitfaden für Lehrer: Textaufgaben zur Regression

Löse vollständige Regressionsaufgaben: Steigung und Achsenabschnitt im Kontext deuten, vorhersagen, Extrapolation erkennen, Residuen berechnen und r und R² erklären.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Regression. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Steigung und Achsenabschnitt einer Regressionsgeraden im Kontext und mit den Einheiten einer Aufgabe deuten
Mit einer Regressionsgleichung Vorhersagen treffen und sie als Interpolation oder Extrapolation einordnen
Residuen als tatsächlicher minus vorhergesagter Wert berechnen und deuten
Für einen kleinen Datensatz die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnen und in einer vollständigen Aufgabe nutzen
r und R² im Kontext erklären, ohne Kausalität zu behaupten

Voraussetzungen

• Streudiagramme und die Ausgleichsgerade
• Vorhersagen mit einer Regressionsgeraden
• Residuen und das Bestimmtheitsmaß R²
• Korrelationskoeffizient (r)

Diskussionsstarter

1. Ein Modell sagt 120 von 100 Punkten voraus. Was ist schiefgelaufen, die Rechnung oder die Verwendung des Modells?
2. Wann ist ein Achsenabschnitt sinnvoll, und wann ist er nur eine Zahl, die die Gerade festlegt?
3. Zwei Lernende haben beide ein Residuum von 4 Punkten. Waren sie im Test gleich gut?
4. Ein Modell hat R² = 0,9. Heißt das, dass die Temperatur die Leute dazu bringt, weniger Heißgetränke zu kaufen? Was könnte sonst dahinterstecken?

Häufige Missverständnisse

Die Steigung sagt genau, um wie viel y pro x steigt

Abhilfe: Zeige das Streudiagramm: Die Punkte streuen um die Gerade. Bestehe in jeder Deutung der Steigung auf den Wörtern "vorhergesagt" oder "im Mittel".

Eine Regressionsgleichung gilt für jeden Wert von x

Abhilfe: Setze einen Wert weit außerhalb der Daten ein (12 Lernstunden, 50 °C) und lass die Klasse das unmögliche Ergebnis beurteilen. Markiere vor jeder Vorhersage den Datenbereich auf der x-Achse.

R² ist der Prozentsatz der Punkte, die nahe an der Geraden liegen

Abhilfe: Berechne R² = 1 - SS_res/SS_tot gemeinsam mit der Klasse, damit sichtbar wird, dass die verbleibende Streuung mit der Gesamtstreuung verglichen wird und keine Punkte gezählt werden.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Die Regressionsgleichung vorgeben und nur Vorhersagen und Deutungssätze üben
• Satzbausteine nutzen: "Pro zusätzlicher ___ ändert sich die vorhergesagte ___ um ___"
• Vor dem Vorhersagen den Datenbereich im Streudiagramm markieren

Für Schüler auf Niveau:

• Für 4 oder 5 Punkte mit ganzzahligen Mittelwerten die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnen
• Residuen mehrerer Punkte berechnen und sagen, welche über- oder unterschätzt werden
• R² in einem ganzen Satz mit den Einheiten der Aufgabe erklären

Für fortgeschrittene Schüler:

• Zeigen, dass die Regressionsgerade immer durch den Punkt der Mittelwerte geht
• Zwei Modelle für dieselben Daten anhand von R² und Residuen vergleichen
• Einen echten Datensatz im Internet suchen, mit Technik eine Gerade anpassen und einen kritischen Bericht über ihre Grenzen schreiben

Standardausrichtung

HSS.ID.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6)
Daten zweier quantitativer Merkmale in einem Streudiagramm darstellen und beschreiben, wie die Merkmale zusammenhängen
HSS.ID.B.6.B (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.B)
Die Anpassung einer Funktion informell beurteilen, indem man Residuen darstellt und analysiert
HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)
Steigung (Änderungsrate) und Achsenabschnitt (konstanter Term) eines linearen Modells im Kontext der Daten deuten
HSS.ID.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.8)
Den Korrelationskoeffizienten einer linearen Anpassung (mit Technik) berechnen und deuten
HSS.ID.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.9)
Zwischen Korrelation und Kausalität unterscheiden

Lektionsressourcen

visualInteraktive Streudiagramme
Zwei Datensätze mit Regressionsgerade, Gleichung, r und dem Residuum eines angetippten Punktes
activitySteckbrief eines Modells
Gruppen erhalten einen Datensatz und schreiben einen kurzen Bericht: Steigung, Achsenabschnitt, eine Interpolation, eine Warnung vor Extrapolation, ein Residuum und R²
worksheetRegression im Kontext
Gemischte Textaufgaben aus Naturwissenschaft, Sport und Wirtschaft mit Antworten in ganzen Sätzen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Textaufgabe zur Regression gibt dir echte Daten (oder eine bereits angepasste Regressionsgleichung) und fragt, was das Modell über die Situation aussagt. Jede solche Aufgabe nutzt denselben Werkzeugkasten:

\hat{y} = mx + b

**Steigung $m$ im Kontext**: Steigt $x$ um 1 Einheit, ändert sich der vorhergesagte Wert $y$ im Mittel um $m$ Einheiten.
**Achsenabschnitt $b$ im Kontext**: der vorhergesagte Wert $y$ bei $x = 0$ . Er hat nur dann eine echte Bedeutung, wenn $x = 0$ sinnvoll ist und in der Nähe der Daten liegt.
Vorhersage: Setze $x$ in die Gleichung ein und erhalte den vorhergesagten Wert $\hat{y}$ .
Interpolation oder Extrapolation: Eine Vorhersage für ein $x$ innerhalb des Datenbereichs ist eine Interpolation (meist zuverlässig); außerhalb dieses Bereichs ist es eine Extrapolation (riskant).
Residuum: $e = y - \hat{y}$ (tatsächlicher minus vorhergesagter Wert). Positiv heißt: Der Punkt liegt über der Geraden.
r und R²: $r$ gibt Richtung und Stärke des linearen Zusammenhangs an; $R^2 = r^2$ ist der Anteil der Streuung von $y$ , den der lineare Zusammenhang mit $x$ erklärt.

Eine gute Antwort verwendet immer die Einheiten und Begriffe der Aufgabe, nicht nur Zahlen.

Lösungsbeispiele

Ein Café hat an fünf Vormittagen die Außentemperatur

x

(in °C, von

0

bis

20

) und die Anzahl

y

verkaufter Heißgetränke notiert. Die Regressionsgerade ist

\hat{y} = 110 - 3x

. Deute Steigung und Achsenabschnitt.

Steigung und Achsenabschnitt ablesen

\hat{y} = -3x + 110

, also

m = -3

und

b = 110

→

m = -3

b = 110

Steigung mit Einheiten deuten

Pro 1 °C wärmer ändert sich die vorhergesagte Anzahl Heißgetränke um

-3

→ Im Mittel etwa 3 Heißgetränke weniger pro zusätzlichem Grad

Achsenabschnitt mit Einheiten deuten

Bei

x = 0

°C sagt das Modell

\hat{y} = 110 - 3 \cdot 0 = 110

voraus → Etwa 110 Heißgetränke an einem Vormittag mit 0 °C

Prüfen, ob der Achsenabschnitt sinnvoll ist

0

°C ist eine reale Temperatur und liegt im Datenbereich von

0

bis

20

→ Der Achsenabschnitt hat hier eine echte Bedeutung

Antwort: Steigung: Pro 1 °C Temperaturanstieg verkauft das Café laut Modell etwa 3 Heißgetränke weniger. Achsenabschnitt: An einem Vormittag mit 0 °C sagt das Modell etwa 110 Heißgetränke voraus; das ist sinnvoll, weil 0 °C zu den Daten gehört.

Häufige Fehler

Die Steigung als nackte Zahl angeben: "die Steigung ist 6"

Warum es falsch ist: Eine Zahl ohne Kontext beantwortet die Frage nicht. Die Steigung ist eine Änderungsrate: Sie braucht Einheiten und das Wort "vorhergesagt" oder "im Mittel", weil echte Punkte um die Gerade streuen.

Richtig: Sag: "Pro zusätzlicher Lernstunde pro Woche steigt das vorhergesagte Testergebnis um etwa 6 Punkte."

Einer Vorhersage weit außerhalb der Daten trauen (Extrapolation)

Warum es falsch ist: Die Gerade wurde nur an den beobachteten Bereich angepasst. Außerhalb kann sich das Muster ändern, und die Gerade kann unmögliche Werte liefern, etwa 120 von 100 Punkten oder eine negative Verkaufszahl.

Richtig: Prüfe zuerst den Bereich von $x$ . Innerhalb: Interpolation. Außerhalb: Extrapolation, also sag, dass die Vorhersage unzuverlässig ist.

Das Residuum falsch herum berechnen: $\hat{y} - y$

Warum es falsch ist: Dann dreht sich das Vorzeichen um, und aus "über der Geraden" wird "unter der Geraden". Nach Konvention ist das Residuum tatsächlicher minus vorhergesagter Wert.

Richtig: Verwende immer $e = y - \hat{y}$ : positiv heißt, das Modell hat zu wenig vorhergesagt, negativ heißt, es hat zu viel vorhergesagt.

$R^2 = 0{,}9$ lesen als "90 % der Punkte liegen auf der Geraden" oder "das Modell hat in 90 % der Fälle recht"

Warum es falsch ist: $R^2$ misst, wie viel der Streuung von $y$ der lineare Zusammenhang erklärt. Alle Punkte können neben der Geraden liegen, und $R^2$ kann trotzdem 0,9 sein.

Richtig: Sag: "90 % der Streuung von $y$ werden durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt."

Warum es wichtig ist

Mit Regression machen Menschen aus Daten Entscheidungen:

Läden und Cafés sagen anhand der Wettervorhersage voraus, wie viel Ware sie bestellen müssen.
Schulen untersuchen, wie Lernzeit und Ergebnisse zusammenhängen und welche Schülerinnen und Schüler besser oder schlechter abschneiden als vorhergesagt.
Ärztinnen, Ärzte und Forschende schätzen mit Regression Dosierungen, Wachstumsraten und Risiken.
Autohändler und Banken schätzen, wie schnell der Wert eines Autos jedes Jahr sinkt.

Bei all dem ist nicht das Rechnen der schwierige Teil, sondern die Deutung: sagen, was die Steigung bedeutet, wissen, wann man einer Vorhersage trauen kann, und erklären, wie gut die Gerade passt. Genau das wird in Prüfungen und im Beruf verlangt, und genau das trainierst du in dieser Lektion.

Anwendungen im echten Leben

Biologielabor: Pflanzenwachstum

Im Biologieunterricht wird ein Keimling jede Woche gemessen, und eine Regressionsgerade für die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt seine Wachstumsrate.

Beispiel:

Bei $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (Höhe in cm, $x$ in Wochen, Daten von Woche 0 bis Woche 8) sagt die Steigung, dass die Pflanze etwa 2,5 cm pro Woche wächst, und der Achsenabschnitt, dass sie zu Beginn der Messungen etwa 4 cm hoch war.

1Probiere es selbst

Das Modell der Klasse ist $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ mit der Höhe $\hat{y}$ in cm und der Zeit $x$ in Wochen (Daten von Woche 0 bis Woche 8).

Welche Höhe sagt das Modell für Woche 6 voraus?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $x = 6$ in die Gleichung ein:

Lieferzeiten eines Onlineshops

Lieferdienste modellieren die Lieferzeit in Abhängigkeit von der Entfernung, um Kundinnen und Kunden eine Ankunftszeit zu nennen und Routen zu finden, die langsamer sind als erwartet.

Beispiel:

Mit $\hat{y} = 12 + 3x$ (Minuten, $x$ = Entfernung in km, Daten von 1 bis 10 km) wird für eine Lieferung über 4 km eine Dauer von $12 + 12 = 24$ Minuten vorhergesagt.

2Probiere es selbst

Das Modell ist $\hat{y} = 12 + 3x$ (Zeit in Minuten, $x$ = Entfernung in km). Eine Lieferung über 6 km hat tatsächlich 33 Minuten gedauert.

Wie groß ist das Residuum dieser Lieferung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Residuum = tatsächliche Zeit minus vorhergesagte Zeit:

Akkutests bei Smartphones

Technik-Testende setzen die Bildschirmzeit in Beziehung zum Akkuverbrauch und geben an, wie stark beides zusammenhängt, damit Lesende wissen, wie sehr man der Regressionsgeraden trauen kann.

Beispiel:

Haben Bildschirmzeit und Akkuverbrauch $r = 0{,}8$ , dann ist $R^2 = 0{,}64$ : 64 % der Streuung des Akkuverbrauchs werden durch die Bildschirmzeit erklärt.

3Probiere es selbst

In einem Akkutest beträgt die Korrelation zwischen Raumtemperatur und Akkulaufzeit $r = -0{,}9$ .

Wie viel Prozent der Streuung der Akkulaufzeit werden durch den linearen Zusammenhang mit der Raumtemperatur erklärt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Quadriere r und wandle das Ergebnis in Prozent um:

Wichtige Erkenntnisse

1Deute die Steigung als Änderungsrate mit Einheiten: Steigt $x$ um 1, ändert sich das vorhergesagte $y$ im Mittel um $m$
2Der Achsenabschnitt ist das vorhergesagte $y$ bei $x = 0$ ; er bedeutet nur etwas, wenn $x = 0$ sinnvoll ist und nahe an den Daten liegt
3Vorhersagen: $x$ in $\hat{y} = mx + b$ einsetzen; innerhalb des Datenbereichs ist das Interpolation, außerhalb riskante Extrapolation
4Ein Residuum ist tatsächlicher minus vorhergesagter Wert, $e = y - \hat{y}$ : positiv über der Geraden, negativ darunter
5 $r$ zeigt Richtung und Stärke; $R^2 = r^2$ ist der Anteil der Streuung von $y$ , den die Gerade erklärt
6Eine gute Anpassung zeigt einen Zusammenhang, keine Ursache: Antworte immer mit den Begriffen und Einheiten der Aufgabe

Häufig gestellte Fragen

Hat der Achsenabschnitt immer eine Bedeutung?

Nein. Er ist das vorhergesagte

y

bei

x = 0

. Ist

x = 0

unmöglich (ein Mensch mit 0 cm Größe) oder weit von den Daten entfernt (eine Wohnung mit 0 m²), dann ist der Achsenabschnitt nur eine Zahl, die die Gerade festlegt, und nichts, was man deuten sollte.

Wie weit außerhalb der Daten darf ich vorhersagen?

Es gibt keinen sicheren Abstand. Knapp außerhalb kann es noch passen, wenn sich das Muster klar fortsetzt, aber jede Extrapolation sollte als unsicher gekennzeichnet werden, und weit entfernte Vorhersagen (oder unmögliche Werte) sollte man nicht verwenden.

Was ist der Unterschied zwischen r und R²?

r

liegt zwischen

-1

und

1

und zeigt Richtung (Vorzeichen) und Stärke eines linearen Zusammenhangs.

R^2 = r^2

liegt zwischen

0

und

1

und gibt an, welchen Anteil der Streuung von

y

die Gerade erklärt.

R^2

verliert das Vorzeichen, also schau für die Richtung auf die Steigung.

Wenn R² hoch ist, verursacht dann x das y?

Nicht unbedingt. Ein hohes

R^2

sagt nur, dass die Gerade gut zu den Daten passt. Eine Störvariable oder der Zufall können das Muster erzeugen; nur ein kontrolliertes Experiment kann Ursache und Wirkung zeigen.

Glossar

Vorhergesagter Wert $\hat{y}$: Der Wert von $y$ , den die Regressionsgerade für ein gewähltes $x$ liefert
Steigung im Kontext: Die vorhergesagte Änderung von $y$ in den Einheiten von $y$ , wenn $x$ um 1 Einheit steigt
Achsenabschnitt im Kontext: Der vorhergesagte Wert von $y$ bei $x = 0$ , nur sinnvoll, wenn $x = 0$ realistisch ist und nahe an den Daten liegt
Interpolation: Vorhersage von $y$ für ein $x$ innerhalb des Datenbereichs
Extrapolation: Vorhersage von $y$ für ein $x$ außerhalb des Datenbereichs; oft unzuverlässig
Bestimmtheitsmaß R²: Der Anteil der Streuung von $y$ , den der lineare Zusammenhang mit $x$ erklärt; bei einer Geraden gleich $r^2$

Formelkarte

Regressionsgerade

\hat{y} = mx + b

x einsetzen, um den vorhergesagten Wert zu erhalten

Steigung (kleinste Quadrate)

m = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}

Berechnet aus den Abweichungen von den Mittelwerten

Achsenabschnitt (kleinste Quadrate)

b = \bar{y} - m\bar{x}

Die Gerade geht immer durch den Punkt der Mittelwerte

Residuum

e = y - \hat{y}

Tatsächlich minus vorhergesagt; positiv über der Geraden

Bestimmtheitsmaß

R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{res}}$ ist die Summe der quadrierten Residuen, $SS_{\text{tot}}$ die Summe der quadrierten Abweichungen von y vom Mittelwert

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Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Biologielabor: Pflanzenwachstum

Lieferzeiten eines Onlineshops

Akkutests bei Smartphones

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Regressionsgerade

Steigung (kleinste Quadrate)

Achsenabschnitt (kleinste Quadrate)

Residuum

Bestimmtheitsmaß

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