Residuen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Ein Datenpunkt liegt unterhalb der Regressionsgeraden. Welches Vorzeichen hat sein Residuum?
1. a)negativ
2. b)es hängt von der Steigung ab
3. c)null
4. d)positiv
Lösung: negativ
Unterhalb der Geraden gilt $y < \hat{y}$ , also ist $e = y - \hat{y}$ negativ.
2.
Mit welcher Formel berechnest du das Residuum eines Datenpunkts?
1. a) $y \cdot \hat{y}$
2. b) $y + \hat{y}$
3. c) $\hat{y} - y$
4. d) $y - \hat{y}$
Lösung: $y - \hat{y}$
Das Residuum ist immer beobachtet minus vorhergesagt: $e = y - \hat{y}$ . Die Reihenfolge ist wichtig, denn $\hat{y} - y$ hat das umgekehrte Vorzeichen.
3.
Ein Residuendiagramm zeigt eine deutliche U-förmige Kurve. Was sagt dir das?
1. a)Es gibt keinen Zusammenhang zwischen x und y
2. b)Die Summe der Residuen ist nicht 0
3. c)Ein gekrümmtes Modell würde besser passen als eine Gerade
4. d)Das lineare Modell passt gut
Lösung: Ein gekrümmtes Modell würde besser passen als eine Gerade
Ein gekrümmtes Muster in den Residuen bedeutet, dass die Daten eine Krümmung haben, die eine Gerade verfehlt. Ein gekrümmtes Modell würde besser passen. Die Summe der Residuen der Regressionsgeraden ist trotzdem $0$ .
4.
Was gilt für die Summe der Residuen der Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate?
1. a)Sie ist bei jedem Datensatz anders
2. b)Sie ist immer 0
3. c)Sie ist gleich der Summe der quadrierten Residuen
4. d)Sie ist immer positiv
Lösung: Sie ist immer 0
Bei der Regressionsgeraden heben sich positive und negative Residuen immer genau auf: $\sum e = 0$ , für jeden Datensatz. Deshalb sagt eine kleine Summe nichts über die Güte aus.
5.
Durch dasselbe Streudiagramm wurden vier Geraden gelegt. Unten stehen ihre Summen der quadrierten Residuen. Welche ist die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate?
1. a)Gerade B (SQR = 34)
2. b)Gerade A (SQR = 40)
3. c)Gerade D (SQR = 61)
4. d)Gerade C (SQR = 53)
Lösung: Gerade B (SQR = 34)
Die Regressionsgerade ist die Gerade mit der kleinsten Summe der quadrierten Residuen. $34$ ist der kleinste Wert, also ist Gerade B die Regressionsgerade.
6.
Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 5x + 50$ . Ein Datenpunkt ist $(2, 58)$ . Wie groß ist sein Residuum?
Lösung: -2
$\hat{y} = 5(2) + 50 = 60$ , also $e = 58 - 60 = -2$ . Der Punkt liegt 2 Einheiten unterhalb der Geraden.
7.
Das beobachtete Testergebnis einer Schülerin ist $80$ , die Regressionsgerade sagt $74{,}5$ vorher. Wie groß ist das Residuum?
Lösung: 5.5
$e = 80 - 74{,}5 = 5{,}5$ . Das Residuum ist positiv, die Schülerin hat also $5{,}5$ Punkte mehr erreicht als vorhergesagt.
8.
Ein Punkt hat das Residuum $-4$ , sein vorhergesagter Wert ist $\hat{y} = 30$ . Wie groß ist der beobachtete Wert $y$ ?
Lösung: 26
$y = \hat{y} + e = 30 + (-4) = 26$ . Ein negatives Residuum bedeutet, dass der beobachtete Wert unter der Vorhersage liegt.
9.
An $5$ Punkte wurde eine Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate angepasst. Vier der Residuen sind $3$ , $-1$ , $2$ und $-5$ . Wie groß ist das fünfte Residuum?
Lösung: 1
$3 + (-1) + 2 + (-5) = -1$ . Alle fünf müssen zusammen $0$ ergeben, also ist das fünfte Residuum $1$ .
10.
Die Residuen einer Regressionsgeraden sind $1$ , $-3$ , $2$ , $0$ , $-1$ und $1$ . Wie groß ist die Summe der quadrierten Residuen?
Lösung: 16
$1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 16$ .
11.
Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 3x + 4$ . Berechne das Residuum des Punkts $(5, 21)$ .
Lösung: 2
1. Was ist $3 \times 5$ ? 15
2. Wie groß ist der vorhergesagte Wert $\hat{y}$ ? 19
3. Wie groß ist das Residuum $e = y - \hat{y}$ ? 2
12.
Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 2x + 10$ . Berechne das Residuum des Punkts $(6, 19)$ und gib an, wo der Punkt liegt.
Lösung: -3
1. Wie groß ist der vorhergesagte Wert $\hat{y}$ ? 22
2. Wie groß ist das Residuum $e = y - \hat{y}$ ? -3
3. Wo liegt der Punkt? unterhalb
13.
Ein Café beschreibt den Verkauf von heißer Schokolade mit $\hat{y} = 0{,}5x + 20$ , wobei $x$ die Zahl der Gäste ist. An einem Tag mit $40$ Gästen wurden $38$ heiße Schokoladen verkauft. Berechne das Residuum.
Lösung: -2
1. Was ist $0{,}5 \times 40$ ? 20
2. Wie groß ist der vorhergesagte Wert $\hat{y}$ ? 40
3. Wie groß ist das Residuum $e = y - \hat{y}$ ? -2
14.
Die Regressionsgerade für die Punkte $(1, 6)$ , $(2, 7)$ und $(3, 14)$ ist $\hat{y} = 4x + 1$ . Berechne jedes Residuum und ihre Summe.
Lösung: 0
1. Residuum von $(1, 6)$ ? 1
2. Residuum von $(2, 7)$ ? -2
3. Residuum von $(3, 14)$ ? 1
4. Wie groß ist die Summe der drei Residuen? 0
15.
Berechne für die Punkte $(1, 4)$ , $(2, 4)$ und $(3, 8)$ und die Gerade $\hat{y} = 2x + 1$ die Summe der quadrierten Residuen.
Lösung: 3
1. Residuum von $(1, 4)$ ? 1
2. Residuum von $(2, 4)$ ? -1
3. Residuum von $(3, 8)$ ? 1
4. Wie groß ist die Summe der quadrierten Residuen? 3
16.
Vergleiche für die Punkte $(1, 3)$ , $(2, 5)$ und $(3, 4)$ Gerade A: $\hat{y} = 0{,}5x + 3$ und Gerade B: $\hat{y} = x + 2$ . Welche ist die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate?
Lösung: A
1. Gerade A: Wie groß ist das Residuum von $(2, 5)$ ? 1
2. Gerade A: Wie groß ist die Summe der quadrierten Residuen? 1.5
3. Gerade B: Wie groß ist die Summe der quadrierten Residuen? 2
4. Welche Gerade ist die Regressionsgerade? A
17.
Die Regressionsgerade für vier Punkte ist $\hat{y} = 2x + 5$ . Die Residuen der ersten drei Punkte sind $2$ , $-1$ und $-3$ . Der vierte Punkt hat $x = 8$ . Wie groß ist sein beobachteter Wert $y$ ?
Lösung: 23
1. Wie groß ist die Summe der ersten drei Residuen? -2
2. Wie groß muss das vierte Residuum sein? 2
3. Wie groß ist $\hat{y}$ für $x = 8$ ? 21
4. Wie groß ist der beobachtete Wert $y$ ? 23
18.
Die Downloads einer App (in Tausend) in den Monaten $1$ bis $6$ waren $20, 24, 31, 41, 54, 70$ . Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 10x + 5$ . Prüfe anhand der Residuen, ob eine Gerade passt.
Lösung: 5, -1, -4, -4, -1, 5
1. Residuum für Monat $1$ ? 5
2. Residuum für Monat $3$ ? -4
3. Residuum für Monat $6$ ? 5
4. Die sechs Residuen sind $5, -1, -4, -4, -1, 5$ . Welches Muster bilden sie im Residuendiagramm? U-förmige Kurve