Leitfaden für Lehrer: Ausreißer erkennen

Lerne, was ein Ausreißer ist, wie du ihn mit der 1,5-IQR-Regel findest und wie er Mittelwert, Median und Spannweite verändert.

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Für Lehrer

Lernziele

Erklären, was ein Ausreißer in einem Datensatz ist
Untere und obere Grenze mit der 1,5-IQR-Regel berechnen und Ausreißer bestimmen
Ausreißer im Boxplot richtig darstellen
Beschreiben, wie ein Ausreißer Mittelwert, Median, Spannweite und IQR beeinflusst
Entscheiden, ob ein Ausreißer ein zu korrigierender Fehler oder ein echter Wert ist

Voraussetzungen

• Median, Q1, Q3 und IQR bestimmen (Spannweite und Interquartilsabstand)
• Boxplots lesen und zeichnen (Boxplots (Kastengrafiken))
• Den Mittelwert eines Datensatzes berechnen
• Grundidee der Standardabweichung (Standardabweichung), für den Hinweis zum z-Wert

Diskussionsstarter

1. Ein Läufer stellt einen neuen Weltrekord auf. Ist diese Zeit ein Ausreißer? Sollte man sie aus den Daten entfernen?
2. Warum nennen Nachrichten wohl oft den Median der Hauspreise statt des Mittelwerts?
3. Wenn du einen Ausreißer aus einem Datensatz entfernst, was ändert sich stärker: Mittelwert oder Median? Warum?
4. Kann ein Wert in einem Datensatz ein Ausreißer und in einem anderen ganz normal sein? Nenne ein Beispiel.
5. Wer sollte entscheiden, ob ein seltsamer Wert ein Fehler ist, und welche Informationen braucht diese Person dafür?

Häufige Missverständnisse

Ausreißer sind immer Fehler und müssen gelöscht werden

Abhilfe: Zeige echte Ausreißer (ein Rekordsprung, das Einkommen eines Lottogewinners) neben klaren Fehlern (eine Körpergröße von 1630 cm). Lass die Lernenden sie sortieren und begründen, warum nur Fehler korrigiert oder entfernt werden dürfen.

Nur sehr große Werte können Ausreißer sein

Abhilfe: Nutze einen Datensatz mit einem unteren Ausreißer, etwa die Testpunkte $3, 12, 13, \ldots$ . Lass die Lernenden jedes Mal beide Grenzen berechnen, nicht nur die obere.

Der größte Wert eines Datensatzes ist automatisch ein Ausreißer

Abhilfe: Gib einen Datensatz, bei dem das Maximum innerhalb der oberen Grenze liegt (zum Beispiel $95$ bei der Grenze $96{,}25$ ). Betone, dass die Grenzen entscheiden, nicht die Position in der Liste.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Q1 und Q3 direkt vorgeben, damit nur die Grenzen geübt werden
• Eine Vorlage zum Ausfüllen nutzen: IQR, 1,5 × IQR, untere Grenze, obere Grenze, Ausreißer
• Die Grenzen auf einem Zahlenstrahl zeigen, damit die Lernenden sehen, welche Punkte außerhalb liegen

Für Schüler auf Niveau:

• Ausreißer in Rohdaten mit 8 bis 12 Werten finden
• Boxplots mit Ausreißern als einzelnen Punkten zeichnen
• Mittelwert und Median mit und ohne Ausreißer vergleichen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die 1,5-IQR-Regel mit der Regel der 2 Standardabweichungen an denselben Daten vergleichen
• Einen Wert finden, der genau auf einer Grenze liegt, und erklären, warum er kein Ausreißer ist
• Einen echten Datensatz untersuchen (Temperaturen einer Stadt, Sportergebnisse) und für jeden Ausreißer begründen, ob er ein Fehler oder echt ist

Standardausrichtung

6.SP.B.5c (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.C)
Lage (Median und/oder Mittelwert) und Streuung (Interquartilsabstand und/oder mittlere absolute Abweichung) angeben sowie das Gesamtmuster und auffällige Abweichungen davon beschreiben
6.SP.B.5d (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5.D)
Die Wahl der Lage- und Streuungsmaße mit der Form der Verteilung und dem Zusammenhang, in dem die Daten erhoben wurden, in Beziehung setzen
HSS-ID.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.3)
Unterschiede in Form, Lage und Streuung im Zusammenhang der Datensätze deuten und dabei mögliche Auswirkungen von Extremwerten (Ausreißern) berücksichtigen

Lektionsressourcen

visualInteraktiver Boxplot
Die Lernenden fügen Werte hinzu, entfernen sie und sehen, wie Ausreißer als einzelne Punkte erscheinen
activityKlassen-Datenjagd
Einen Datensatz der Klasse sammeln (zum Beispiel Handspannen oder Schulwege), die Grenzen bestimmen und Ausreißer suchen
worksheetFehler oder echt?
Kurze Datensätze mit Ausreißern; die Lernenden bestimmen die Grenzen und entscheiden, ob jeder Ausreißer ein Fehler oder ein echter Wert ist

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Ausreißer ist ein Datenwert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Daten entfernt liegt. Er ist viel kleiner oder viel größer als die anderen Werte.

Die 1,5-IQR-Regel

Um fair zu entscheiden, ob ein Wert ein Ausreißer ist, bilden wir aus den Quartilen zwei Grenzen (auch Zäune genannt):

\text{untere Grenze} = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

\text{obere Grenze} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Dabei ist

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

der Interquartilsabstand. Jeder Wert unterhalb der unteren Grenze oder oberhalb der oberen Grenze ist ein Ausreißer. Ein Wert genau auf einer Grenze ist kein Ausreißer.

So findest du Ausreißer

1.Ordne die Daten und bestimme $Q_1$ und $Q_3$ (Mediane der unteren und oberen Hälfte, wie in Spannweite und Interquartilsabstand)
2.Berechne $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
3.Multipliziere: $1{,}5 \times \text{IQR}$
4.Untere Grenze $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , obere Grenze $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
5.Jeder Wert außerhalb der Grenzen ist ein Ausreißer

Ausreißer im Boxplot

Im Boxplot werden Ausreißer als einzelne Punkte gezeichnet. Die Antennen (Whisker) enden beim kleinsten und größten Wert, der kein Ausreißer ist.

Warum Ausreißer wichtig sind

Ein Ausreißer verzieht den Mittelwert und vergrößert die Spannweite, verändert aber den Median und den IQR kaum. Deshalb nennt man Median und IQR robuste Kennwerte.

Es gibt auch andere Methoden: Mit der Standardabweichung gilt ein Wert, der mehr als 2 oder 3 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt ist, oft als ungewöhnlich (siehe Standardabweichung).

Lösungsbeispiele

Ein Datensatz hat

Q_1 = 20

und

Q_3 = 30

. Welche der Werte

2

18

44

und

50

sind Ausreißer?

Bestimme den IQR

\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20

→

\text{IQR} = 10

Multipliziere den IQR mit 1,5

1{,}5 \times 10

→

15

Bestimme die untere Grenze

Q_1 - 15 = 20 - 15

→ Untere Grenze

= 5

Bestimme die obere Grenze

Q_3 + 15 = 30 + 15

→ Obere Grenze

= 45

Vergleiche jeden Wert mit den Grenzen

2 < 5

(außerhalb),

18

und

44

liegen zwischen

5

und

45

(innerhalb),

50 > 45

(außerhalb) → Ausreißer:

2

und

50

Antwort: Nur $2$ und $50$ sind Ausreißer. Die Werte $18$ und $44$ liegen innerhalb der Grenzen $5$ und $45$ .

Häufige Fehler

$Q_3 + \text{IQR}$ statt $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ rechnen

Warum es falsch ist: Ohne den Faktor $1{,}5$ liegen die Grenzen zu nah an der Box, und ganz normale Werte werden als Ausreißer markiert.

Richtig: Immer zuerst multiplizieren: $1{,}5 \times \text{IQR}$ , dann von $Q_1$ abziehen und zu $Q_3$ addieren.

Die Grenzen vom Median, vom Minimum oder vom Maximum aus bilden

Warum es falsch ist: Die Regel misst den Abstand zur Box, und die Box endet bei $Q_1$ und $Q_3$ .

Richtig: Untere Grenze $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , obere Grenze $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ . Nie vom Median oder von den Extremwerten aus starten.

Die Antenne bis zum Ausreißer zeichnen

Warum es falsch ist: Dann sieht der Ausreißer wie ein Teil der normalen Streuung aus, und der Boxplot versteckt ihn.

Richtig: Die Antenne endet beim größten (oder kleinsten) Wert, der kein Ausreißer ist. Zeichne jeden Ausreißer als einzelnen Punkt.

Jeden Ausreißer automatisch löschen

Warum es falsch ist: Ein Ausreißer kann ein echter und wichtiger Wert sein, zum Beispiel eine Rekordzeit oder eine sehr große Bestellung.

Richtig: Entferne oder korrigiere einen Wert nur, wenn er ein Fehler ist (Tippfehler, kaputtes Messgerät, falsche Einheit). Echte Ausreißer behältst du und erwähnst sie, oder du nutzt Median und IQR.

Warum es wichtig ist

Ausreißer tauchen überall auf, wo Daten gesammelt werden:

Banken: Eine Kartenzahlung weit über deinen üblichen Einkäufen wird als möglicher Betrug markiert
Fabriken: Eine Flasche mit viel weniger Saft als die anderen ist ein Ausreißer, den die Qualitätskontrolle aussortiert
Wissenschaft: Ein Thermometerwert von $52°C$ an einem milden Tag ist wahrscheinlich ein kaputter Sensor und keine Hitzewelle
Sport: Ein Weltrekord ist ein echter Ausreißer, und zwar der spannendste Wert von allen
Gehälter: Ein sehr hohes Gehalt lässt das Durchschnittsgehalt viel höher aussehen, als die meisten Menschen verdienen

Wenn du Ausreißer findest, entdeckst du Fehler, bemerkst Besonderes und wählst den passenden Kennwert (Mittelwert oder Median), um deine Daten ehrlich zu beschreiben.

Anwendungen im echten Leben

Kartenbetrug erkennen

Banken vergleichen jede neue Kartenzahlung mit den üblichen Zahlungen der Kundin oder des Kunden. Eine Zahlung über der oberen Grenze kann eine Sicherheitsprüfung auslösen.

Beispiel:

Die Zahlungen einer Kundin haben $Q_1 = 20$ € und $Q_3 = 60$ €. Eine Zahlung von 450 € liegt weit über der oberen Grenze, deshalb schickt die Bank eine SMS zur Bestätigung.

1Probiere es selbst

Die üblichen Kartenzahlungen einer Kundin haben $Q_1 = 20$ € und $Q_3 = 60$ €. Plötzlich erscheint eine Zahlung von 450 €.

Wie hoch ist die obere Grenze für die Zahlungen dieser Kundin (in €)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Qualitätskontrolle in der Fabrik

Saftflaschen sollen alle ungefähr gleich viel enthalten. Flaschen unter der unteren Grenze werden vom Band genommen und geprüft.

Beispiel:

Wenn die meisten Flaschen zwischen 498 mL und 502 mL enthalten, ist eine Flasche mit 480 mL eindeutig zu wenig gefüllt, und die Maschine muss vielleicht repariert werden.

2Probiere es selbst

Die Füllmengen von Saftflaschen haben $Q_1 = 498$ mL und $Q_3 = 502$ mL.

Wo liegt die untere Grenze (in mL)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ :

Ein typisches Gehalt angeben

Nachrichten nennen oft das Mediangehalt statt des Mittelwerts, weil wenige sehr hohe Gehälter den Mittelwert nach oben ziehen.

Beispiel:

In einer kleinen Firma verdienen fünf Angestellte zwischen 30 und 38 Tausend € im Jahr, die Inhaberin verdient 160 Tausend €. Ihr Gehalt ist ein Ausreißer.

3Probiere es selbst

Jahresgehälter in Tausend €: $30, 32, 34, 36, 38, 160$ .

Wie hoch ist das mittlere Gehalt, also der Mittelwert (in Tausend €)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere alle sechs Gehälter und teile durch 6:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Ausreißer ist ein Wert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Daten entfernt liegt, entweder sehr klein oder sehr groß
21,5-IQR-Regel: untere Grenze $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ , obere Grenze $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$
3Werte unter der unteren oder über der oberen Grenze sind Ausreißer; ein Wert genau auf einer Grenze ist keiner
4Im Boxplot sind Ausreißer einzelne Punkte, und die Antennen enden bei den letzten Werten innerhalb der Grenzen
5Ausreißer verziehen den Mittelwert und vergrößern die Spannweite, Median und IQR ändern sich kaum
6Korrigiere oder entferne einen Ausreißer nur, wenn er ein Fehler ist; echte Ausreißer behältst du und erwähnst sie

Häufig gestellte Fragen

Warum 1,5 und nicht 1 oder 2?

Den Faktor

1{,}5

hat der Statistiker John Tukey gewählt, weil er sich in der Praxis bewährt: Er markiert wirklich ungewöhnliche Werte, ohne zu viele normale Werte zu erwischen. Manche Bücher verwenden zusätzlich

3 \times \text{IQR}

für "extreme" Ausreißer.

Kann ein Datensatz keinen oder mehrere Ausreißer haben?

Ja, beides. Viele Datensätze haben gar keine Ausreißer, andere mehrere, auf einer Seite oder auf beiden Seiten (wie die Temperaturen

2

und

52

in den Beispielen).

Ist das Minimum oder Maximum immer ein Ausreißer?

Nein. Minimum und Maximum sind nur der kleinste und der größte Wert. Ausreißer sind sie nur, wenn sie außerhalb der Grenzen liegen. In

60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95

liegt die obere Grenze zum Beispiel bei

96{,}25

, also ist das Maximum

95

kein Ausreißer.

Gibt es noch einen anderen Weg, Ausreißer zu finden?

Ja. Mit der Standardabweichung kannst du messen, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist (sein z-Wert). Werte, die mehr als 2 oder 3 Standardabweichungen entfernt sind, gelten oft als ungewöhnlich. Für Boxplots nimmt man die 1,5-IQR-Regel, weil sie nicht vom Mittelwert abhängt, den Ausreißer ja verzerren.

Glossar

Ausreißer: Ein Datenwert, der ungewöhnlich weit von den anderen Werten entfernt liegt; nach der 1,5-IQR-Regel ein Wert unter der unteren oder über der oberen Grenze
Untere Grenze (unterer Zaun): Die Schranke $Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; Werte darunter sind Ausreißer
Obere Grenze (oberer Zaun): Die Schranke $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ ; Werte darüber sind Ausreißer
1,5-IQR-Regel: Ein Verfahren, um Ausreißer zu finden: Grenzen 1,5 IQR unter $Q_1$ und 1,5 IQR über $Q_3$ bilden
Robuster Kennwert: Ein Kennwert, der sich kaum ändert, wenn ein Ausreißer dazukommt, zum Beispiel der Median und der IQR

Formelkarte

Interquartilsabstand

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

Die Streuung der mittleren 50 % der Daten

Untere Grenze

Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

Werte unter der unteren Grenze sind Ausreißer

Obere Grenze

Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Werte über der oberen Grenze sind Ausreißer

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Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Die 1,5-IQR-Regel

So findest du Ausreißer

Ausreißer im Boxplot

Warum Ausreißer wichtig sind

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Kartenbetrug erkennen

Qualitätskontrolle in der Fabrik

Ein typisches Gehalt angeben

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Interquartilsabstand

Untere Grenze

Obere Grenze

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Spannweite und Interquartilsabstand

Standardabweichung

Standardabweichung berechnen