Ausreißer erkennen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist ein Ausreißer?
1. a)Die Differenz zwischen Q3 und Q1
2. b)Der mittlere Wert der geordneten Daten
3. c)Ein Wert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Daten entfernt liegt
4. d)Der Wert, der am häufigsten vorkommt
Lösung: Ein Wert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Daten entfernt liegt
Ein Ausreißer ist ein Wert, der ungewöhnlich weit von den anderen Werten entfernt liegt, viel kleiner oder viel größer. Die 1,5-IQR-Regel legt genau fest, was "ungewöhnlich weit" heißt.
2.
Ein Datensatz hat $Q_1 = 10$ und $Q_3 = 18$ . Wie viel ist $1{,}5 \times \text{IQR}$ ?
Lösung: 12
$\text{IQR} = 18 - 10 = 8$ , also $1{,}5 \times 8 = 12$ .
3.
Die untere Grenze eines Datensatzes ist $12$ , die obere Grenze ist $36$ . Welcher Wert ist ein Ausreißer?
1. a)35
2. b)14
3. c)40
4. d)12
Lösung: 40
$40 > 36$ , also ist $40$ ein Ausreißer. $14$ und $35$ liegen zwischen den Grenzen, und $12$ liegt genau auf der unteren Grenze, ist also kein Ausreißer.
4.
Ein Datensatz hat $Q_1 = 40$ und $Q_3 = 50$ . Wo liegt die obere Grenze?
Lösung: 65
$\text{IQR} = 10$ , $1{,}5 \times 10 = 15$ , obere Grenze $= 50 + 15 = 65$ .
5.
Der Datensatz $10, 11, 12, 13, 14$ bekommt einen neuen Wert: $90$ . Welcher Kennwert ändert sich am wenigsten?
1. a)Der Median
2. b)Der Mittelwert
3. c)Die Spannweite
4. d)Das Maximum
Lösung: Der Median
Median: $12 \to 12{,}5$ . Mittelwert: $12 \to 25$ . Spannweite: $4 \to 80$ . Maximum: $14 \to 90$ . Der Median ist robust gegen den Ausreißer.
6.
Ein Datensatz hat $Q_1 = 24$ und $Q_3 = 36$ . Wo liegt die untere Grenze?
Lösung: 6
$\text{IQR} = 12$ , $1{,}5 \times 12 = 18$ , untere Grenze $= 24 - 18 = 6$ .
7.
Finde den Ausreißer in $10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 35$ .
Lösung: 35
1. Der Median ist $16$ . Wie groß ist $Q_1$ (Median von $10, 12, 13, 15$ )? 12.5
2. Wie groß ist $Q_3$ (Median von $18, 19, 20, 35$ )? 19.5
3. Wie groß ist der IQR? 7
4. Wo liegt die obere Grenze? 30
5. Welcher Wert ist der Ausreißer? 35
8.
Berechne den Mittelwert von $5, 6, 7, 8, 30$ . (Der Median ist $7$ .)
Lösung: 11.2
$5 + 6 + 7 + 8 + 30 = 56$ und $56 : 5 = 11{,}2$ . Der Ausreißer $30$ zieht den Mittelwert weit über den Median $7$ und über vier der fünf Werte.
9.
Prüfe den Datensatz $2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20$ auf einen unteren Ausreißer.
Lösung: 2
1. Bei 8 Werten sind die Hälften $2, 14, 15, 16$ und $17, 18, 19, 20$ . Wie groß ist $Q_1$ ? 14.5
2. Wie groß ist $Q_3$ ? 18.5
3. Wie groß ist der IQR? 4
4. Wo liegt die untere Grenze? 8.5
5. Welcher Wert liegt unter der unteren Grenze? 2
10.
In einem Boxplot reichen die Antennen von $15$ bis $42$ , und bei $70$ ist ein einzelner Punkt. Was bedeutet der Punkt?
1. a)Bei 70 sollte die obere Antenne enden
2. b)70 ist der Median
3. c)70 ist ein Ausreißer: Er liegt über der oberen Grenze
4. d)70 ist das dritte Quartil Q3
Lösung: 70 ist ein Ausreißer: Er liegt über der oberen Grenze
Ausreißer werden als einzelne Punkte gezeichnet. Die Antenne endet bei $42$ , dem größten Wert, der kein Ausreißer ist, also liegt $70$ über der oberen Grenze.
11.
Der Datensatz $4, 6, 7, 8, 10$ bekommt einen weiteren Wert: $49$ . Wie ändern sich Mittelwert und Median?
Lösung: 14
1. Wie groß ist der Mittelwert von $4, 6, 7, 8, 10$ ? 7
2. Wie groß ist der Mittelwert, wenn $49$ dazukommt? 14
3. Wie groß ist der Median, wenn $49$ dazukommt? 7.5
4. Um wie viel ist der Mittelwert gestiegen? 7
12.
Für $3, 5, 6, 7, 8, 9, 31$ : Zeige, dass $31$ ein Ausreißer ist, und vergleiche die Spannweite mit und ohne diesen Wert.
Lösung: 28
1. Der Median ist $7$ . Wie groß ist $Q_1$ (Median von $3, 5, 6$ )? 5
2. Wie groß ist $Q_3$ (Median von $8, 9, 31$ )? 9
3. Wo liegt die obere Grenze? 15
4. Wie groß ist die Spannweite mit $31$ ? 28
5. Wie groß ist die Spannweite ohne $31$ ? 6
13.
Testergebnisse: $60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95$ . Ist das beste Ergebnis $95$ ein Ausreißer?
Lösung: 0
1. Wie groß ist $Q_1$ (Median von $60, 65, 70, 72$ )? 67.5
2. Wie groß ist $Q_3$ (Median von $75, 78, 80, 95$ )? 79
3. Wie groß ist der IQR? 11.5
4. Wo liegt die obere Grenze? 96.25
5. Ist $95$ ein Ausreißer? Gib 1 für ja oder 0 für nein ein. 0
14.
Bestimme die untere Grenze von $1, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ .
Lösung: 2
$Q_1 = 8$ , $Q_3 = 12$ , $\text{IQR} = 4$ , $1{,}5 \times 4 = 6$ , untere Grenze $= 8 - 6 = 2$ . Weil $1 < 2$ ist, ist $1$ ein Ausreißer.
15.
Wie viele Ausreißer hat $1, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 50$ ?
Lösung: 2
1. 10 Werte: Die untere Hälfte ist $1, 20, 22, 23, 24$ . Wie groß ist $Q_1$ ? 22
2. Die obere Hälfte ist $25, 26, 27, 28, 50$ . Wie groß ist $Q_3$ ? 27
3. Wie groß ist der IQR? 5
4. Wo liegt die untere Grenze? 14.5
5. Wo liegt die obere Grenze? 34.5
6. Wie viele Werte liegen außerhalb der Grenzen? 2
16.
Die letzten 7 Zeiten einer Läuferin über 5 km (Minuten): $24, 25, 25, 26, 26, 27, 52$ . Am Tag mit 52 Minuten hat sie sich den Knöchel verstaucht und ist nach Hause gegangen. Die obere Grenze ist $30$ . Wie beschreibt man ihre übliche Zeit am besten?
1. a)Den Mittelwert aller 7 Zeiten nehmen
2. b)Die Spannweite aller 7 Zeiten nehmen
3. c)Den Median (26 Minuten) nehmen oder 52 weglassen und den Grund nennen
4. d)52 in 25 ändern, damit es zu den anderen passt
Lösung: Den Median (26 Minuten) nehmen oder 52 weglassen und den Grund nennen
Die 52 ist eine echte Zeit, zeigt aber nicht ihr übliches Laufen. Der Median ( $26$ ) wird davon nicht beeinflusst, oder man lässt den Wert weg und nennt den Grund. Der Mittelwert (etwa $29{,}3$ ) wird nach oben gezogen, die Spannweite vergrößert, und einen Wert wie 25 zu erfinden ist nie erlaubt.
17.
Körpergrößen in cm: $150, 155, 158, 160, 162, 1600$ . Die $1600$ ist ein Tippfehler für $160$ . Vergleiche Mittelwert und Median vor und nach der Korrektur.
Lösung: 157.5
1. Wie groß ist die Summe der fünf richtigen Werte $150, 155, 158, 160, 162$ ? 785
2. Wie groß ist der Mittelwert mit dem Tippfehler $1600$ ? 397.5
3. Wie groß ist der Mittelwert, nachdem $1600$ zu $160$ korrigiert wurde? 157.5
4. Wie groß ist der Median nach der Korrektur? 159
18.
Zeichne den Boxplot von $3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 30$ : Bestimme die Grenzen und wo die obere Antenne endet.
Lösung: 16
1. Der Median ist $13$ . Wie groß ist $Q_1$ (Median von $3, 10, 11, 12$ )? 10.5
2. Wie groß ist $Q_3$ (Median von $14, 15, 16, 30$ )? 15.5
3. Wo liegt die untere Grenze? 3
4. Wo liegt die obere Grenze? 23
5. Ist $3$ ein Ausreißer? Gib 1 für ja oder 0 für nein ein. 0
6. Wo endet die obere Antenne? 16