Phasenverschiebung

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie ist der Graph von $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ im Vergleich zu $y = \sin(x)$ verschoben?
1. a) $\frac{\pi}{6}$ nach oben
2. b) $\frac{\pi}{6}$ nach rechts
3. c) $\frac{\pi}{6}$ nach links
4. d) $6$ nach rechts
Lösung: $\frac{\pi}{6}$ nach rechts
$y = \sin(x - C)$ mit $C = \frac{\pi}{6} > 0$ verschiebt den Graphen um $\frac{\pi}{6}$ nach rechts. Die Zahl $6$ ist nicht die Verschiebung, und eine Verschiebung nach oben wäre eine Zahl, die außerhalb des Sinus addiert wird.
2.
Welche Gleichung beschreibt $y = \cos(x)$ , um $\frac{\pi}{4}$ nach links verschoben?
1. a) $y = \cos(x) - \frac{\pi}{4}$
2. b) $y = \cos(x) + \frac{\pi}{4}$
3. c) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
4. d) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Lösung: $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
Links bedeutet $C = -\frac{\pi}{4}$ , also $\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ . Wird $\frac{\pi}{4}$ außerhalb des Kosinus addiert oder subtrahiert, wandert der Graph stattdessen nach oben oder unten.
3.
Wie groß ist die Phasenverschiebung von $y = \sin(3x - \pi)$ ?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ nach links
2. b) $\pi$ nach rechts
3. c) $3\pi$ nach rechts
4. d) $\frac{\pi}{3}$ nach rechts
Lösung: $\frac{\pi}{3}$ nach rechts
$3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , also $C = \frac{\pi}{3}$ : Der Graph wandert um $\frac{\pi}{3}$ nach rechts. Die Verschiebung ist $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{3}$ , nicht $\pi$ .
4.
Welche Gleichung hat genau denselben Graphen wie $y = \cos(x)$ ?
1. a) $y = \sin(x + \pi)$
2. b) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
3. c) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = \sin(x - \pi)$
Lösung: $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Der Kosinus ist der um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobene Sinus: $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$ . Bei $x = 0$ ergeben die anderen Antworten $-1$ , $0$ und $0$ .
5.
Eine Sinuskurve hat die Periode $\pi$ und beginnt eine Periode (steigend durch ihre Mittellinie) bei $x = \frac{\pi}{3}$ . Welche Gleichung passt?
1. a) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$
4. d) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
Lösung: $y = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$
Die Periode $\pi$ ergibt $B = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ , der Beginn ergibt $C = \frac{\pi}{3}$ . Also $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$ . Die Antwort $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ beginnt erst bei $\frac{\pi}{6}$ .
6.
Wie groß ist in $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{5}\right)$ die Phasenverschiebung $C$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: pi/5
$x - \frac{\pi}{5}$ ist $x - C$ mit $C = \frac{\pi}{5}$ : eine Verschiebung um $\frac{\pi}{5}$ nach rechts.
7.
Wie groß ist in $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ die Phasenverschiebung $C$ ? Gib für eine Verschiebung nach links eine negative Zahl an. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: -pi/2
$x + \frac{\pi}{2} = x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)$ , also $C = -\frac{\pi}{2}$ : Der Kosinus wandert um $\frac{\pi}{2}$ nach links.
8.
Wie groß ist die Phasenverschiebung $C$ von $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: pi/6
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ , also $C = \frac{\pi}{6}$ nach rechts, nicht $\frac{\pi}{3}$ .
9.
Wie groß ist die Phasenverschiebung $C$ von $y = \cos(4x + \pi)$ ? Gib für eine Verschiebung nach links eine negative Zahl an. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: -pi/4
$4x + \pi = 4\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 4\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ , also $C = -\frac{\pi}{4}$ : $\frac{\pi}{4}$ nach links.
10.
Wie groß ist die Phasenverschiebung $C$ von $y = \sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: pi/2
$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ , also $C = \frac{\pi/4}{1/2} = \frac{\pi}{2}$ nach rechts. Hier ist die Verschiebung größer als $c$ , weil $B < 1$ ist.
11.
Bestimme für $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ , wo die erste Periode beginnt und wo ihr Maximum liegt. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: 5pi/6
1. Wie groß ist die Phasenverschiebung $C$ ? pi/3
2. Bei welchem $x$ beginnt die erste Periode? pi/3
3. $\sin(x)$ hat sein Maximum bei $\frac{\pi}{2}$ . Bei welchem $x$ liegt das neue Maximum? 5pi/6
12.
Bestimme für $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ die Phasenverschiebung und die neue Lage des Maximums, das $\cos(x)$ bei $x = 0$ hat. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: -pi/6
1. Schreib $x + \frac{\pi}{6}$ als $x - C$ . Wie groß ist $C$ ? -pi/6
2. Bei welchem $x$ liegt das neue Maximum? -pi/6
3. Wie groß ist der größte Wert $y$ ? 1
13.
Bestimme für $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ die Phasenverschiebung, die Periode und wo die erste Periode endet. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: 5pi/4
1. Wie groß ist $B$ ? 2
2. Klammere aus: $2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - C)$ . Wie groß ist $C$ ? pi/4
3. Wie lang ist die Periode? pi
4. Die Periode beginnt bei $x = C$ . Bei welchem $x$ endet sie? 5pi/4
14.
Bestimme für $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$ die Phasenverschiebung und die Periode. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: 2pi/3
1. Wie groß ist $B$ ? 3
2. Teile: Wie viel ist $\frac{\pi}{2} \div 3$ ? pi/6
3. Wie groß ist die Phasenverschiebung $C$ ? (Negativ für links.) -pi/6
4. Wie lang ist die Periode? 2pi/3
15.
Finde $c$ so, dass $y = \sin(2x - c)$ der Graph von $y = \sin(2x)$ ist, um $\frac{\pi}{6}$ nach rechts verschoben. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: pi/3
1. Wie groß ist die Phasenverschiebung $C$ ? pi/6
2. Wie groß ist $B$ ? 2
3. $\sin(2(x - C)) = \sin(2x - 2C)$ . Wie groß ist $c = 2C$ ? pi/3
16.
Finde $C$ mit $-\pi \le C \le \pi$ , sodass $\sin(x - C) = \cos(x)$ für jedes $x$ gilt. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: -pi/2
1. Bei welchem $x$ hat $\cos(x)$ ein Maximum (das nächste bei $0$ )? 0
2. Bei welchem $x$ hat $\sin(x)$ sein erstes positives Maximum? pi/2
3. Der Hochpunkt des Sinus muss von $\frac{\pi}{2}$ nach $0$ . Wie groß ist $C$ ? (Negativ für links.) -pi/2
4. Probe: Wie groß ist $\sin\left(0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ ? 1
17.
Die Höhe einer Riesenradgondel über der Achse ist $h(t) = 10\sin\left(\frac{\pi}{15}(t - 5)\right)$ Meter, mit $t$ in Sekunden. Zu welcher Zeit $t$ erreicht die Gondel nach $t = 0$ zum ersten Mal ihren höchsten Punkt?
Lösung: 12.5
1. Wie groß ist die Phasenverschiebung $C$ in Sekunden? 5
2. Wie lang ist die Periode in Sekunden? 30
3. Wie viel ist ein Viertel der Periode? 7.5
4. Zu welcher Zeit $t$ ist die Gondel oben? 12.5
18.
Zeige, dass $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ und $y = \sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ denselben Graphen haben: Um wie viele ganze Perioden unterscheiden sich ihre Verschiebungen? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: 1
1. Wie groß ist die Verschiebung $C_1$ von $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ ? pi/4
2. Wie groß ist die Verschiebung $C_2$ von $\sin\left(x + \frac{7\pi}{4}\right)$ ? -7pi/4
3. Wie groß ist $C_1 - C_2$ ? 2pi
4. Die Periode von $\sin(x)$ ist $2\pi$ . Wie viele ganze Perioden sind das? 1