Leitfaden für Lehrer: Phasenverschiebung

Lerne, wie eine Phasenverschiebung Sinus- und Kosinuskurven nach links oder rechts verschiebt, warum ein Minus rechts bedeutet und wie du die Verschiebung in sin(Bx - c) findest.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Trigonometrische Graphen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Phasenverschiebung $C$ und ihre Richtung in $y = \sin(B(x - C))$ und $y = \cos(B(x - C))$ bestimmen
$Bx - c$ als $B\left(x - \frac{c}{B}\right)$ schreiben und die Phasenverschiebung $\frac{c}{B}$ finden
Die Wirkung von $B$ (Periode) von der Wirkung von $C$ (Verschiebung) unterscheiden
Bestimmen, wo eine Periode eines verschobenen Graphen beginnt und endet
Den Kosinus als verschobenen Sinus schreiben und umgekehrt

Voraussetzungen

• Die Sinusfunktion $y = \sin(x)$ zeichnen (Lektion Die Sinusfunktion grafisch darstellen)
• Die Kosinusfunktion $y = \cos(x)$ zeichnen (Lektion Zeichnen der Kosinusfunktion)
• Amplitude und Periode, einschließlich der Periode $\frac{2\pi}{|B|}$ (Lektion Amplitude und Periode)
• Bogenmaß und Bruchteile von $\pi$
• Eine Zahl aus einem Term ausklammern

Diskussionsstarter

1. Warum wandert $\sin(x - 1)$ nach rechts, obwohl dort ein Minus steht?
2. Wenn zwei Freunde dieselbe Laufrunde zu verschiedenen Zeiten beginnen, inwiefern ist das wie eine Phasenverschiebung?
3. Ist $\sin(2x - \pi)$ um $\pi$ oder um $\frac{\pi}{2}$ verschoben? Wie kannst du jemanden überzeugen, der anderer Meinung ist?
4. Wie viele verschiedene Verschiebungen machen aus einem Sinus einen Kosinus? Warum gibt es so viele?

Häufige Missverständnisse

Das Vorzeichen zeigt die Richtung direkt an: Minus heißt links

Abhilfe: Erstelle eine Wertetabelle für $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ : Den Wert $1$ , den $\sin(x)$ bei $\frac{\pi}{2}$ hat, erreicht sie erst bei $x = \pi$ . Die Kurve kommt später an, also ist sie nach rechts gewandert.

Die Verschiebung von $\sin(Bx - c)$ ist $c$

Abhilfe: Zeichne $\sin(2x - \pi)$ und $\sin(2(x - \pi))$ zusammen. Sie sind verschieden, und nur die ausgeklammerte Form zeigt die echte Verschiebung $\frac{\pi}{2}$ .

Sinus und Kosinus sind völlig verschiedene Funktionen

Abhilfe: Nutze die Zielkurven-Aufgabe: Die Lernenden verschieben einen Sinus, bis er einen Kosinus deckt, und entdecken $C = -\frac{\pi}{2}$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne nur mit $B = 1$ und Verschiebungen wie $\frac{\pi}{2}$ und $\pi$
• Verfolge einen besonderen Punkt (den Beginn der Periode) statt der ganzen Kurve
• Sprich die Regel laut: Minus heißt rechts, Plus heißt links

Für Schüler auf Niveau:

• $Bx - c$ ausklammern und die Verschiebung $\frac{c}{B}$ finden
• Beginn und Ende einer Periode bei verschobenen Graphen bestimmen
• Gleichungen den passenden verschobenen Graphen zuordnen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Alle Verschiebungen zwischen $-2\pi$ und $2\pi$ finden, die $\sin(x)$ in $\cos(x)$ verwandeln
• Die Zeit des Hochwassers oder den wärmsten Tag mit einer Phasenverschiebung modellieren
• Erklären, warum $\sin(x - \pi) = -\sin(x)$ gilt und wie die Geräuschunterdrückung das nutzt

Standardausrichtung

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Die Wirkung auf den Graphen bestimmen, wenn f(x) durch f(x + k), k f(x), f(kx) und f(x) + k für bestimmte Werte von k ersetzt wird
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Trigonometrische Funktionen wählen, um periodische Vorgänge mit gegebener Amplitude, Frequenz und Mittellinie zu modellieren
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Trigonometrische Funktionen zeichnen und dabei Periode, Mittellinie und Amplitude zeigen

Lektionsressourcen

visualsin(x) und sin(x - C) vergleichen
Bewege den Regler C und beobachte, wie die zweite Kurve nach links oder rechts gleitet, während ihre Form gleich bleibt
gameTriff die Zielkurve
Stelle B und C ein, bis die Kurve eine gestrichelte Zielkurve deckt, darunter ein Kosinus, den ein verschobener Sinus trifft
visualDie c/B-Falle
Ändere c und B in sin(Bx - c) und lies die echte Verschiebung c/B ab
worksheetÜbungen zur Phasenverschiebung
Gleichungen zum Ablesen, Ausklammern und Skizzieren, mit Beginn und Ende einer Periode

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Phasenverschiebung (Verschiebung in x-Richtung) verschiebt eine Sinus- oder Kosinuskurve nach links oder nach rechts, ohne ihre Form zu verändern. In der Form

y = \sin(B(x - C)) \quad \text{oder} \quad y = \cos(B(x - C))

ist die **Phasenverschiebung

C

**:

$C > 0$ : Der Graph wandert um $C$ Einheiten nach rechts
$C < 0$ : Der Graph wandert um $|C|$ Einheiten nach links

Warum bedeutet ein Minus rechts? Der normale Sinus beginnt eine Periode dort, wo sein Argument

0

ist. Bei

\sin(x - C)

ist das Argument

x - C

, und das ist bei

x = C

gleich

0

. Jeder Punkt der Kurve kommt also

C

Einheiten später an, das heißt weiter rechts. Zum Beispiel ist

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

der Graph von

y = \sin(x)

, um

\frac{\pi}{3}

nach rechts verschoben, und

y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

ist um

\frac{\pi}{4}

nach links verschoben.

Achtung: zuerst $B$ ausklammern

Steht die Gleichung in der Form

y = \sin(Bx - c)

, dann ist die Verschiebung nicht

c

. Klammere

B

aus:

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{Phasenverschiebung} = \frac{c}{B}

Beispiel:

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

ist um

\frac{\pi}{4}

nach rechts verschoben, nicht um

\frac{\pi}{2}

Verschiebung und Periode sind zwei verschiedene Dinge

	Was es verändert	Formel
$B$	die Breite einer Periode	Periode $= \frac{2\pi}{	B	}$
$C$	wo die Periode beginnt	Verschiebung $= C$

Eine Periode von

y = \sin(B(x - C))

beginnt bei

x = C

und endet bei

x = C + \frac{2\pi}{B}

. Eine Verschiebung um eine ganze Periode ergibt wieder denselben Graphen:

\sin(x - 2\pi) = \sin(x)

Sinus und Kosinus sind Verschiebungen voneinander

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

Der Kosinus ist ein Sinus, der um

\frac{\pi}{2}

nach links verschoben ist. In der vollständigen Form

y = A\sin(B(x - C)) + D

kennst du

A

und

B

aus der Lektion über Amplitude und Periode,

C

ist diese Lektion, und

D

(die Verschiebung in y-Richtung) kommt als Nächstes.

Lösungsbeispiele

Beschreibe den Graphen von

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

im Vergleich zu

y = \sin(x)

. Wo beginnt die erste Periode und wo liegt ihr Maximum?

Vergleiche mit $y = \sin(B(x - C))$

x - \frac{\pi}{4}

hat schon die Form

1 \cdot (x - C)

→

B = 1

C = \frac{\pi}{4}

Lies die Richtung ab

C

ist positiv → Verschiebung um

\frac{\pi}{4}

nach rechts

Finde den Beginn der Periode

Das Argument ist

0

, wenn

x - \frac{\pi}{4} = 0

→ Die Periode beginnt bei

x = \frac{\pi}{4}

Verschiebe das Maximum

\sin(x)

hat sein Maximum bei

\frac{\pi}{2}

, also addiere

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}

→ Maximum bei

x = \frac{3\pi}{4}

Antwort: Der Graph ist $y = \sin(x)$ , um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts verschoben. Die erste Periode beginnt bei $x = \frac{\pi}{4}$ , und das Maximum $1$ liegt bei $x = \frac{3\pi}{4}$ .

Häufige Fehler

$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ als Verschiebung nach links lesen

Warum es falsch ist: Das Minuszeichen sieht so aus, als müsste es nach links zeigen, wie auf dem Zahlenstrahl. Die Kurve erreicht aber jeden Wert später, nämlich wenn $x - \frac{\pi}{3}$ den alten Wert von $x$ hat.

Richtig: Minus in der Klammer bedeutet rechts: $\sin(x - C)$ wandert um $C$ nach rechts, $\sin(x + C)$ um $C$ nach links.

Sagen, die Verschiebung von $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ sei $\frac{\pi}{2}$

Warum es falsch ist: Die Zahl $\frac{\pi}{2}$ wird von $2x$ abgezogen, nicht von $x$ . Die Verschiebung gehört aber zu $x$ allein.

Richtig: Klammere $B$ aus: $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ . Die Verschiebung ist $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ nach rechts.

Denken, eine Phasenverschiebung ändere die Periode oder die Höhe

Warum es falsch ist: Wenn du einen Graphen zur Seite schiebst, wird er nicht gestreckt. Nur $B$ ändert die Periode und nur $A$ die Amplitude.

Richtig: Nach einer Phasenverschiebung hat die Kurve dieselbe Form, Periode und Amplitude. Nur die Stelle, an der jede Periode beginnt, ändert sich.

Denken, $y = \sin(x - 2\pi)$ sei ein anderer Graph als $y = \sin(x)$

Warum es falsch ist: Der Sinus wiederholt sich alle $2\pi$ . Eine Verschiebung um eine ganze Periode legt jede Welle genau auf die nächste.

Richtig: Verschiebungen, die sich um eine ganze Periode unterscheiden, ergeben denselben Graphen: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ und $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ .

Warum es wichtig ist

Eine Phasenverschiebung sagt dir, wann ein sich wiederholendes Muster passiert, nicht nur wie groß oder wie schnell es ist:

Gezeiten: Zwei Häfen haben Gezeiten mit derselben Periode, aber das Hochwasser kommt zu verschiedenen Zeiten. Der Unterschied ist eine Phasenverschiebung.
Strom: Die drei Leiter einer Drehstromleitung führen dieselbe Sinusspannung, jeweils um ein Drittel der Periode verschoben.
Kopfhörer mit Geräuschunterdrückung: Sie spielen das Geräusch um eine halbe Periode verschoben noch einmal ab, sodass sich die beiden Wellen auslöschen.
Jahreszeiten: Der wärmste Tag des Jahres kommt etwa einen Monat nach dem längsten Tag. Die Temperaturkurve ist die Tageslichtkurve mit einer Phasenverschiebung.
Musik und Schall: Zwei Lautsprecher, die denselben Ton phasenverschoben spielen, können den Klang an manchen Stellen abschwächen.

Wenn du die Phasenverschiebung richtig liest (Richtung und Größe), kannst du den nächsten Hochpunkt vorhersagen.

Anwendungen im echten Leben

Hochwasser vorhersagen

Hafenmeister beschreiben den Wasserstand mit einem verschobenen Sinus. Die Phasenverschiebung sagt ihnen, wann das Wasser den mittleren Stand durchläuft, und daraus finden sie das Hochwasser.

Beispiel:

Ist der Wasserstand $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ Meter über dem mittleren Stand, mit $t$ in Stunden nach Mitternacht, dann steigt das Wasser bei $t = 2$ , also um 2:00 Uhr, durch den mittleren Stand.

1Probiere es selbst

Der Wasserstand in einem Hafen ist $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ Meter über dem mittleren Stand, wobei $t$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht ist.

Zu welcher Zeit $t$ (in Stunden nach Mitternacht) ist das erste Hochwasser?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginn der Periode plus ein Viertel der Periode:

Wechselstrom

Stromnetze in Europa arbeiten mit 50 Hz. Zwei Spannungen mit derselben Frequenz können gegeneinander versetzt sein, und Ingenieure messen diesen Unterschied als Phasenverschiebung in Sekunden.

Beispiel:

Die Spannung $V_1 = \sin(100\pi t)$ hat die Periode $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ Sekunde. Eine zweite Spannung $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ erreicht jeden Hochpunkt etwas später.

2Probiere es selbst

Zwei Spannungen sind $V_1 = \sin(100\pi t)$ und $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ , mit $t$ in Sekunden.

Um wie viele Sekunden ist $V_2$ gegenüber $V_1$ nach rechts verschoben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile $c$ durch $B$ :

Kopfhörer mit Geräuschunterdrückung

Ein Mikrofon nimmt das Geräusch auf, und der Kopfhörer spielt dieselbe Welle um eine halbe Periode verschoben ab. Wo das Geräusch steigt, fällt die Kopie, und beide löschen sich aus.

Beispiel:

Für das Geräusch $y = \sin(x)$ ist die Kopie $y = \sin(x - \pi)$ , und das ist gleich $-\sin(x)$ . Ihre Summe ist überall $0$ .

3Probiere es selbst

Ein Geräusch wird durch $y = \sin(2x)$ beschrieben. Der Kopfhörer spielt $y = \sin(2(x - C))$ .

Welche Verschiebung $C$ zwischen $0$ und einer Periode macht die Kopie genau zum Gegenteil des Geräuschs?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Hälfte der Periode:

Wichtige Erkenntnisse

1Bei $y = \sin(B(x - C))$ und $y = \cos(B(x - C))$ ist die Phasenverschiebung $C$
2Minus in der Klammer bedeutet rechts, Plus bedeutet links: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ wandert um $\frac{\pi}{4}$ nach links
3Bei $\sin(Bx - c)$ zuerst $B$ ausklammern: Die Verschiebung ist $\frac{c}{B}$ , nicht $c$
4Die Periode $\frac{2\pi}{|B|}$ und die Amplitude ändern sich beim Verschieben nicht
5Eine Periode beginnt bei $x = C$ und endet bei $x = C + \frac{2\pi}{B}$ ; eine Verschiebung um eine ganze Periode ergibt denselben Graphen
6Der Kosinus ist ein verschobener Sinus: $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Häufig gestellte Fragen

Warum heißt es Phasenverschiebung?

Die Phase ist die Stelle innerhalb einer Periode (Beginn, Hochpunkt, Nullstelle, Tiefpunkt). Eine Phasenverschiebung verschiebt jeden Punkt der Periode um denselben Betrag, sodass die ganze Welle früher oder später beginnt.

Ist die Phasenverschiebung von $\sin(2x - \pi)$ gleich $\pi$ oder $\frac{\pi}{2}$ ?

Sie ist

\frac{\pi}{2}

nach rechts. Klammere

2

aus:

\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)

. Manche Bücher nennen

\pi

den Phasenwinkel, aber der Graph wandert auf der

x

-Achse um

\frac{\pi}{2}

Kann ein Graph mehr als eine richtige Phasenverschiebung haben?

Ja. Wenn du eine ganze Periode addierst oder abziehst, entsteht derselbe Graph. Also sind

\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

und

\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)

gleich. Meist gibt man die betragsmäßig kleinste Verschiebung an.

Spielt die Reihenfolge von Strecken und Verschieben eine Rolle?

Ja.

\sin(2(x - 1))

und

\sin(2x - 1)

sind verschieden: Der erste Graph ist um

1

nach rechts verschoben, der zweite nur um

\frac{1}{2}

. Wenn du die Funktion als

\sin(B(x - C))

schreibst, vermeidest du die Verwechslung.

Glossar

Phasenverschiebung: Die Verschiebung einer Sinus- oder Kosinuskurve in x-Richtung; gleich $C$ in $y = \sin(B(x - C))$
Verschiebung in x-Richtung: Einen ganzen Graphen nach links oder rechts schieben, ohne seine Form zu ändern
Phase: Die Stelle innerhalb einer Periode einer Welle, zum Beispiel der Beginn, der Hochpunkt oder der Tiefpunkt
Periode: Die Länge eines vollständigen Durchlaufs; gleich $\frac{2\pi}{|B|}$
Ausgeklammerte Form: Das Argument der Funktion als $B(x - C)$ schreiben, damit man die Verschiebung $C$ direkt ablesen kann

Formelkarte

Verschobener Sinus und Kosinus

y = \sin(B(x - C))

y = \cos(B(x - C))

Phasenverschiebung $C$: nach rechts, wenn $C > 0$, nach links, wenn $C < 0$

Verschiebung aus der ausmultiplizierten Form

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right)

Die Phasenverschiebung ist $\frac{c}{B}$

Eine Periode

C \le x \le C + \frac{2\pi}{B}

Wo eine vollständige Periode des verschobenen Graphen beginnt und endet

Sinus und Kosinus

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Der Kosinus ist der um $\frac{\pi}{2}$ nach links verschobene Sinus

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Achtung: zuerst BBB ausklammern

Verschiebung und Periode sind zwei verschiedene Dinge

Sinus und Kosinus sind Verschiebungen voneinander

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Hochwasser vorhersagen

Wechselstrom

Kopfhörer mit Geräuschunterdrückung

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Verschobener Sinus und Kosinus

Verschiebung aus der ausmultiplizierten Form

Eine Periode

Sinus und Kosinus

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Zeichnen der Kosinusfunktion

Amplitude und Periode

Achtung: zuerst $B$ ausklammern