Transformationen von Sinus- und Kosinusgraphen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie groß ist die Amplitude von $y = -4\sin(2x) + 1$ ?
1. a) $5$
2. b) $-4$
3. c) $2$
4. d) $4$
Lösung: $4$
$A = -4$ , also ist die Amplitude $|-4| = 4$ . Das Minuszeichen spiegelt die Welle nur an ihrer Mittellinie.
2.
Wie lang ist die Periode von $y = 3\cos(4x) - 2$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: pi/2
$B = 4$ , also ist die Periode $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . $A = 3$ und $D = -2$ ändern die Periode nicht.
3.
Wie ist der Graph von $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ gegenüber $y = \cos(x)$ verschoben?
1. a) $\frac{\pi}{3}$ nach unten
2. b) $\frac{\pi}{3}$ nach rechts
3. c) $\frac{\pi}{3}$ nach links
4. d) $\frac{\pi}{3}$ nach oben
Lösung: $\frac{\pi}{3}$ nach links
$x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , also $C = -\frac{\pi}{3}$ : Der Graph wandert um $\frac{\pi}{3}$ nach links. Eine Verschiebung in der Klammer ist nie eine Verschiebung in y-Richtung.
4.
Die Mittellinie von $y = 2\sin(x - \pi) + 5$ ist die Gerade $y = D$ . Wie groß ist $D$ ?
Lösung: 5
Die Verschiebung in y-Richtung ist $D = 5$ , die Mittellinie ist also $y = 5$ und die Welle verläuft zwischen $5 - 2 = 3$ und $5 + 2 = 7$ .
5.
Bestimme das Maximum und das Minimum von $y = 3\sin(x) + 2$ .
Lösung: 5, -1
1. Wie groß ist die Amplitude $|A|$ ? 3
2. Welchen Wert hat die Mittellinie $D$ ? 2
3. Wie groß ist das Maximum $D + |A|$ ? 5
4. Wie groß ist das Minimum $D - |A|$ ? -1
6.
Bestimme für $y = \sin(4x)$ die Periode, den Schritt der Schlüsselpunkte und die x-Koordinate des ersten Hochpunkts nach $x = 0$ . (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: pi/8
1. Wie lang ist die Periode $\frac{2\pi}{B}$ ? pi/2
2. Wie groß ist der Schritt $\frac{\text{Periode}}{4}$ ? pi/8
3. Bei welchem x liegt der erste Hochpunkt? pi/8
7.
Wie groß ist die Phasenverschiebung von $y = \sin(2x - \frac{\pi}{2})$ ?
1. a) $\frac{\pi}{4}$ nach links
2. b) $\frac{\pi}{4}$ nach rechts
3. c) $\frac{\pi}{2}$ nach rechts
4. d) $\pi$ nach rechts
Lösung: $\frac{\pi}{4}$ nach rechts
$2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - \frac{\pi}{4})$ , also $C = \frac{\pi}{4}$ : eine Verschiebung um $\frac{\pi}{4}$ nach rechts, nicht um $\frac{\pi}{2}$ .
8.
Bestimme für $y = -2\cos(x) + 3$ die Amplitude, das Maximum, das Minimum und den y-Wert bei $x = 0$ .
Lösung: 1
1. Wie groß ist die Amplitude? 2
2. Wie groß ist das Maximum $D + |A|$ ? 5
3. Wie groß ist das Minimum $D - |A|$ ? 1
4. Welchen Wert hat $y$ bei $x = 0$ ? 1
9.
Die Schlüsselpunkte von $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$ beginnen bei $x = \frac{\pi}{6}$ . Welche x-Koordinate hat der Hochpunkt (der zweite Schlüsselpunkt)? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: 5pi/12
Periode $\frac{2\pi}{2} = \pi$ , Schritt $\frac{\pi}{4}$ . Hochpunkt bei $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ .
10.
Bestimme mit den Schlüsselpunkten von $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{2}) - 1$ den ersten Hochpunkt und den kleinsten Wert. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: -4
1. Wo beginnt die Periode ( $x = C$ )? pi/2
2. Wie groß ist der Schritt (Periode geteilt durch 4)? pi/2
3. Bei welchem x liegt der erste Hochpunkt? pi
4. Wie groß ist der größte Wert? 2
5. Wie groß ist der kleinste Wert? -4
11.
Schreibe $y = \cos(3x + \pi)$ in der Form $y = \cos(B(x - C))$ und bestimme Phasenverschiebung und Periode. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: 2pi/3
1. Wie groß ist $B$ ? 3
2. Wie groß ist $C$ ? (ein negativer Wert bedeutet eine Verschiebung nach links) -pi/3
3. Wie lang ist die Periode? 2pi/3
12.
Welche Gleichung hat die Amplitude $2$ , die Periode $\pi$ und die Mittellinie $y = -1$ ?
1. a) $y = 2\sin(\frac{1}{2}x) - 1$
2. b) $y = 2\sin(\pi x) - 1$
3. c) $y = 2\sin(2x) - 1$
4. d) $y = -\sin(2x) + 2$
Lösung: $y = 2\sin(2x) - 1$
$\frac{2\pi}{B} = \pi$ ergibt $B = 2$ , mit $A = 2$ und $D = -1$ : $y = 2\sin(2x) - 1$ . $\sin(\pi x)$ hat die Periode $2$ und $\sin(\frac{1}{2}x)$ die Periode $4\pi$ .
13.
Bestimme die y-Werte der Schlüsselpunkte von $y = -2\sin(x) + 1$ bei $x = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ und $\frac{3\pi}{2}$ .
Lösung: 3
1. Welchen Wert hat $y$ bei $x = 0$ ? 1
2. Welchen Wert hat $y$ bei $x = \frac{\pi}{2}$ ? -1
3. Welchen Wert hat $y$ bei $x = \pi$ ? 1
4. Welchen Wert hat $y$ bei $x = \frac{3\pi}{2}$ ? 3
14.
Zeichne $y = 4\cos(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2})) - 1$ mit Schlüsselpunkten: Bestimme Periode, Schritt, die x-Koordinate des Tiefpunkts und den kleinsten Wert. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.)
Lösung: -5
1. Wie lang ist die Periode? 4pi
2. Wie groß ist der Schritt? pi
3. Die Periode beginnt bei $x = \frac{\pi}{2}$ . Bei welchem x liegt der Tiefpunkt (zwei Schritte später)? 5pi/2
4. Wie groß ist der kleinste Wert? -5
15.
Bestimme für $y = 3\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ , wo die Periode beginnt, den Schritt und den ersten Hochpunkt. (Tippe pi für $\pi$ , z. B. -3pi/4.)
Lösung: 4
1. Bei welchem x beginnt die Periode ( $C$ )? -pi/6
2. Wie groß ist der Schritt? pi/4
3. Bei welchem x liegt der erste Hochpunkt? pi/12
4. Wie groß ist der größte Wert? 4
16.
Welche x-Koordinate hat bei $y = -3\sin(\frac{\pi}{4}(x - 1)) + 2$ der erste Tiefpunkt rechts von $x = 1$ ?
Lösung: 3
Periode $8$ , Schritt $2$ , Beginn $x = 1$ . Der Sinus ist gespiegelt ( $A = -3$ ), das Muster ist also Mittellinie, Tiefpunkt, ...: Der erste Tiefpunkt liegt bei $x = 1 + 2 = 3$ , dort ist $y = -3\sin(\frac{\pi}{2}) + 2 = -1$ .
17.
Der Graph von $y = \sin(x)$ wird zuerst um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben und DANN in x-Richtung mit dem Faktor $2$ gestaucht. Welche Gleichung entsteht?
1. a) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
2. b) $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
3. c) $y = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}))$
4. d) $y = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2})$
Lösung: $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$
Nach der Verschiebung: $\sin(x - \frac{\pi}{2})$ . Stauchen ersetzt $x$ durch $2x$ : $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$ . Die Stauchung halbiert auch die Verschiebung.
18.
Welchen Wert hat $y = 5\cos(2(x + \frac{\pi}{8})) - 2$ bei $x = \frac{\pi}{8}$ ?
Lösung: -2
$x = \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}$ ist der zweite Schlüsselpunkt; beim Kosinus liegt er auf der Mittellinie, also $y = D = -2$ . Direkt: $5\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = 5\cos(\frac{\pi}{2}) - 2 = 0 - 2 = -2$ .