Leitfaden für Lehrer: Transformationen von Sinus- und Kosinusgraphen

Zeichne jede Sinus- oder Kosinusfunktion der Form y = A sin(B(x - C)) + D: was jeder Parameter bewirkt, die richtige Reihenfolge der Transformationen und die Methode der fünf Schlüsselpunkte.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Trigonometrische Graphen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und Mittellinie aus $y = A\sin(B(x - C)) + D$ und der Kosinusform ablesen
$B$ ausklammern, um die richtige Phasenverschiebung zu finden
Die Transformationen in der richtigen Reihenfolge ausführen: erst strecken, dann verschieben
Einen transformierten Sinus oder Kosinus mit der Methode der fünf Schlüsselpunkte zeichnen, auch bei $A < 0$
Definitions- und Wertebereich einer transformierten Sinus- oder Kosinusfunktion angeben

Voraussetzungen

• Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion grafisch darstellen (Grundgraphen und ihre Schlüsselpunkte)
• Amplitude und Periode ( $|A|$ und $\frac{2\pi}{B}$ )
• Bogenmaß und Vielfache von $\pi$ auf der x-Achse
• Eine Zahl aus einer Klammer ausklammern, etwa $2x - \pi = 2(x - \frac{\pi}{2})$

Diskussionsstarter

1. Warum verschiebt ein Pluszeichen in $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ den Graphen nach links?
2. Was passiert mit der Größe der Verschiebung, wenn du zuerst verschiebst und dann stauchst?
3. Wie kannst du einen Sinusgraphen nur durch eine Phasenverschiebung in einen Kosinusgraphen verwandeln?
4. Ein Riesenrad und eine Gezeitenkurve sind beides Wellen. Was bedeuten $A$ , $B$ , $C$ und $D$ jeweils?

Häufige Missverständnisse

Die Verschiebung von $\sin(Bx - k)$ direkt als $k$ ablesen

Abhilfe: Lass die Klammer gleich $0$ setzen und lösen: $2x - \pi = 0$ ergibt $x = \frac{\pi}{2}$ . Zeige dann, dass das mit dem Ausklammern von $B$ übereinstimmt.

Glauben, das Maximum sei gleich der Amplitude

Abhilfe: Zeichne $y = 2\sin(x) + 3$ : Amplitude $2$ , aber das Maximum ist $5$ . Die Amplitude wird von der Mittellinie aus gemessen, nicht von der x-Achse.

Glauben, ein negatives $A$ mache die Amplitude negativ

Abhilfe: Vergleiche $y = 2\sin(x)$ und $y = -2\sin(x)$ im selben Koordinatensystem: gleiche Höhe, gespiegelt. Die Amplitude ist ein Abstand, also $|A|$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Immer nur einen Parameter ändern, zuerst nur $D$ und $A$
• Eine Tabelle der Schlüsselpunkte mit bereits eingetragenen x-Werten ausgeben
• Vor dem Skizzieren die ersten drei Zielkurven der Regler-Grafik lösen

Für Schüler auf Niveau:

• Gleichungen mit allen vier Parametern zeichnen, inklusive Ausklammern von $B$
• Dieselbe Welle als Sinus und als Kosinus skizzieren
• Für jeden Graphen Definitions- und Wertebereich angeben

Für fortgeschrittene Schüler:

• $y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{3})) + 1$ als Sinus mit einer anderen Phasenverschiebung schreiben
• Negatives $B$ mit den Symmetrieeigenschaften (gerade, ungerade) behandeln
• Ein Modell für echte Daten (Gezeiten, Tageslicht) aufstellen und zeichnen

Standardausrichtung

HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Die Wirkung auf den Graphen bestimmen, wenn f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) ersetzt wird
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Trigonometrische Funktionen zeichnen und dabei Periode, Mittellinie und Amplitude zeigen
HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Trigonometrische Funktionen wählen, um periodische Vorgänge mit gegebener Amplitude, Frequenz und Mittellinie zu modellieren

Lektionsressourcen

visualTriff die Zielkurve
Bewege die Regler A, B, C und D, bis die Welle sechs gestrichelte Zielkurven mit steigender Schwierigkeit überdeckt
activityStaffel der Schlüsselpunkte
In Teams füllt jede Person einen Schritt aus: Parameter, Periode, x-Werte, y-Werte, Skizze
worksheetVon der Gleichung zum Graphen
Zwölf Gleichungen, die mit fünf Schlüsselpunkten gezeichnet werden, mit Spiegelungen und Ausklammern von B

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein transformierter Sinus- oder Kosinusgraph hat die allgemeine Form

y = A\sin(B(x - C)) + D \quad \text{oder} \quad y = A\cos(B(x - C)) + D

Jeder der vier Parameter verändert den Grundgraphen

y = \sin(x)

bzw.

y = \cos(x)

auf genau eine Weise (in dieser Lektion ist

B > 0

Parameter	Wirkung	Merkmal
$A$	Streckung oder Stauchung in y-Richtung; bei $A < 0$ zusätzlich Spiegelung an der Mittellinie	Amplitude $= \lvert A \rvert$
$B$	Stauchung ( $B > 1$ ) oder Streckung ( $B < 1$ ) in x-Richtung	Periode $= \frac{2\pi}{B}$
$C$	Verschiebung in x-Richtung: nach rechts bei $C > 0$ , nach links bei $C < 0$	Phasenverschiebung $= C$
$D$	Verschiebung in y-Richtung	Mittellinie $y = D$

Reihenfolge: erst strecken, dann verschieben

In der Klammer wird zuerst mit

B

gestaucht oder gestreckt, dann um

C

verschoben. Außerhalb wird zuerst mit

A

gestreckt (und bei

A < 0

gespiegelt), dann um

D

verschoben. **Klammere

B

immer aus**, bevor du die Verschiebung abliest:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

, also beträgt die Verschiebung

\frac{\pi}{2}

, nicht

\pi

Die Methode der fünf Schlüsselpunkte

1.Eine Periode beginnt bei $x = C$ und endet bei $x = C + \text{Periode}$ .
2.Teile sie in vier gleiche Schritte: $\text{Schritt} = \frac{\text{Periode}}{4}$ .
3.Trage die y-Werte ein. Sinus: Mittellinie, Hochpunkt, Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie. Kosinus: Hochpunkt, Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie, Hochpunkt. Bei $A < 0$ tauschen Hoch- und Tiefpunkt.
4.Maximum $= D + |A|$ , Minimum $= D - |A|$ , Wert auf der Mittellinie $= D$ .

Definitionsbereich: alle reellen Zahlen. Wertebereich:

[D - |A|,\ D + |A|]

Lösungsbeispiele

Bestimme für

y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1

Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, Mittellinie und Wertebereich.

Mit der allgemeinen Form vergleichen

Vergleiche mit

y = A\sin(B(x - C)) + D

→

A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1

Amplitude und Periode

Amplitude

= |3| = 3

, Periode

= \frac{2\pi}{2} = \pi

→ Amplitude

3

, Periode

\pi

Phasenverschiebung und Mittellinie

C = \frac{\pi}{6} > 0

, also Verschiebung nach rechts;

D = -1

→

\frac{\pi}{6}

nach rechts, Mittellinie

y = -1

Wertebereich

[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]

→

[-4, 2]

Antwort: Amplitude $3$ , Periode $\pi$ , Phasenverschiebung $\frac{\pi}{6}$ nach rechts, Mittellinie $y = -1$ , Wertebereich $[-4, 2]$ .

Häufige Fehler

Die Phasenverschiebung von $y = \sin(2x - \pi)$ als $\pi$ ablesen

Warum es falsch ist: Die Verschiebung ist die Zahl, die von $x$ selbst abgezogen wird, nicht von $2x$ . $B$ multipliziert die ganze Klammer und staucht damit auch die Verschiebung.

Richtig: Erst $B$ ausklammern: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$ , also $\frac{\pi}{2}$ nach rechts.

$y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ nach rechts verschieben

Warum es falsch ist: In der allgemeinen Form steht $x - C$ . Hier ist $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , also ist $C = -\frac{\pi}{3}$ negativ.

Richtig: Ein Pluszeichen in der Klammer bedeutet eine Verschiebung nach links: $\frac{\pi}{3}$ nach links.

Die Schlüsselpunkte bei $x = 0$ beginnen oder mit einer ganzen Periode als Schritt

Warum es falsch ist: Nach einer Phasenverschiebung beginnt die Periode nicht mehr bei $0$ , und die fünf Punkte müssen EINE Periode in vier gleiche Teile teilen.

Richtig: Beginne bei $x = C$ und gehe in Schritten von $\frac{\text{Periode}}{4}$ . Bei Periode $\pi$ ist der Schritt $\frac{\pi}{4}$ .

Bei $A < 0$ die übliche Reihenfolge von Hoch- und Tiefpunkt beibehalten

Warum es falsch ist: Ein negatives $A$ spiegelt die Welle an ihrer Mittellinie, jeder Hochpunkt wird zum Tiefpunkt und umgekehrt.

Richtig: Für $y = -2\sin(x)$ lautet das Muster Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie, Hochpunkt, Mittellinie. Die Amplitude bleibt $2$ .

Warum es wichtig ist

Fast jeder sich wiederholende Vorgang in Natur und Technik wird durch einen transformierten Sinus oder Kosinus beschrieben, und die vier Parameter haben immer eine anschauliche Bedeutung:

Riesenrad: Der Radius ist die Amplitude, die Höhe der Radmitte die Mittellinie, eine Umdrehung die Periode
Gezeiten: Die Wassertiefe steigt und fällt etwa alle 12 Stunden um eine mittlere Tiefe
Tageslicht: Die Tageslänge schwankt mit einer Periode von 365 Tagen um 12 Stunden
Schall und Strom: Die Amplitude ist Lautstärke oder Spannung, die Periode bestimmt Tonhöhe oder Frequenz

Wenn du eine Gleichung in einer Minute in eine Skizze verwandeln kannst, liest du die höchsten und tiefsten Werte und die Zeitpunkte, zu denen sie auftreten, direkt aus der Formel ab. Genau das machen Ingenieurinnen, Meeresforscher und Klimaforscherinnen mit solchen Modellen.

Anwendungen im echten Leben

Höhe im Riesenrad

Die Höhe einer Gondel im drehenden Riesenrad ist ein transformierter Kosinus: Die Radmitte liefert die Mittellinie, der Radius die Amplitude.

Beispiel:

Ein Rad mit Radius 20 m, dessen Mitte 22 m über dem Boden liegt, dreht sich alle 30 Minuten einmal. Eine Gondel, die unten startet, hat nach $t$ Minuten die Höhe $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ Meter, die Periode ist $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$ .

1Probiere es selbst

Die Höhe der Gondel ist $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ Meter, $t$ in Minuten.

Wie hoch über dem Boden ist die Gondel an ihrem höchsten Punkt (in Metern)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Höchster Punkt = Mittellinie + Amplitude:

Gezeiten im Hafen

Hafenmeister sagen die Wassertiefe mit einem Sinusmodell voraus, dessen Periode etwa 12 Stunden beträgt, damit Schiffe wissen, wann sie einlaufen können.

Beispiel:

Die Tiefe $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ Meter, $t$ Stunden nach Mitternacht, hat die Mittellinie 4 m, die Amplitude 1,5 m und die Periode $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ Stunden. Die Tiefe schwankt zwischen 2,5 m und 5,5 m.

2Probiere es selbst

Ein großes Schiff braucht Hochwasser. Die Tiefe ist $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ Meter, $t$ Stunden nach Mitternacht.

Zu welcher Zeit $t$ (in Stunden nach Mitternacht) ist das erste Hochwasser nach $t = 3$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginn der Periode plus eine Viertelperiode:

Stunden mit Tageslicht

Die Zahl der Tageslichtstunden folgt über das Jahr einer Sinuswelle mit einer Periode von 365 Tagen. Die Mittellinie liegt bei 12 Stunden, der Tageslänge zur Tagundnachtgleiche.

Beispiel:

In einer Stadt in Nordeuropa gilt $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ Stunden, wobei $t$ der Tag des Jahres ist. Tag 80 (um den 21. März) ist die Frühlings-Tagundnachtgleiche, und die Tageslänge schwankt zwischen 8 und 16 Stunden.

3Probiere es selbst

Die Tageslänge ist $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ Stunden, wobei $t$ der Tag des Jahres ist.

An welchem Tag des Jahres ist das Tageslicht am längsten? Runde auf einen ganzen Tag.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginn der Periode plus eine Viertelperiode, gerundet:

Wichtige Erkenntnisse

1In $y = A\sin(B(x - C)) + D$ ist $|A|$ die Amplitude, $\frac{2\pi}{B}$ die Periode, $C$ die Phasenverschiebung und $y = D$ die Mittellinie
2Erst strecken, dann verschieben: in der Klammer $B$ vor $C$ , außerhalb $A$ vor $D$
3Klammere $B$ immer aus, bevor du die Phasenverschiebung abliest: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
4 $x - C$ verschiebt um $C$ nach rechts, $x + C$ um $C$ nach links
5Fünf Schlüsselpunkte: Beginn bei $x = C$ , Schritt $= \frac{\text{Periode}}{4}$ . Sinus: Mittellinie, Hochpunkt, Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie; Kosinus: Hochpunkt, Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie, Hochpunkt; $A < 0$ tauscht Hoch- und Tiefpunkt
6Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen, der Wertebereich ist $[D - |A|,\ D + |A|]$

Häufig gestellte Fragen

Warum ist die Phasenverschiebung von $\sin(2x - \pi)$ nicht $\pi$ ?

Weil

B = 2

die ganze Klammer multipliziert. Klammere es aus:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

. Die Periode beginnt dort, wo die Klammer

0

ist, bei

x = \frac{\pi}{2}

, also beträgt die Verschiebung

\frac{\pi}{2}

Spielt die Reihenfolge der Transformationen wirklich eine Rolle?

Ja, bei einer Verschiebung und einer Streckung in derselben Richtung. Wenn du

\sin(x)

\frac{\pi}{2}

nach rechts verschiebst und DANN mit

2

stauchst, erhältst du

\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))

, also nur eine Verschiebung um

\frac{\pi}{4}

. Änderungen in x- und in y-Richtung beeinflussen sich nicht, diese beiden Gruppen darfst du in beliebiger Reihenfolge ausführen.

Funktionieren die Schlüsselpunkte beim Kosinus genauso?

Ja. Beginne bei

x = C

und gehe wie beim Sinus in Schritten von

\frac{\text{Periode}}{4}

. Nur das Muster der y-Werte ändert sich: Kosinus verläuft Hochpunkt, Mittellinie, Tiefpunkt, Mittellinie, Hochpunkt (oder umgekehrt bei

A < 0

Was mache ich, wenn $B$ negativ ist?

Schreibe die Funktion zuerst um. Der Sinus ist ungerade,

\sin(-\theta) = -\sin(\theta)

, also

\sin(-2x) = -\sin(2x)

. Der Kosinus ist gerade,

\cos(-\theta) = \cos(\theta)

, also

\cos(-2x) = \cos(2x)

. Danach ist

B > 0

und die Methode funktioniert wie gewohnt.

Glossar

Amplitude: Abstand von der Mittellinie zu einem Hoch- oder Tiefpunkt: $|A|$
Periode: Länge einer vollständigen Schwingung in x-Richtung: $\frac{2\pi}{B}$
Phasenverschiebung: Verschiebung des Graphen in x-Richtung: $C$ in $x - C$ (nach rechts, wenn positiv, nach links, wenn negativ)
Mittellinie: Die waagerechte Gerade $y = D$ genau zwischen Maximum und Minimum
Schlüsselpunkte: Die fünf Punkte, die eine Periode in vier gleiche Schritte teilen: Beginn, Viertel, Hälfte, drei Viertel, Ende
Spiegelung: Umklappen der Welle an ihrer Mittellinie, verursacht durch ein negatives $A$

Formelkarte

Allgemeine Form

y = A\sin(B(x - C)) + D

Gleiche Buchstaben beim Kosinus: $y = A\cos(B(x - C)) + D$

Amplitude

|A|

Streckung in y-Richtung; $A < 0$ spiegelt zusätzlich

Periode

\frac{2\pi}{B}

Länge einer Schwingung

Phasenverschiebung und Mittellinie

C

und

y = D

Nach rechts bei $C > 0$, nach links bei $C < 0$; nach oben bei $D > 0$, nach unten bei $D < 0$

Schritt der Schlüsselpunkte

\frac{\text{Periode}}{4}

Beginne bei $x = C$ und addiere den Schritt viermal

Wertebereich

[D - |A|,\ D + |A|]

Vom Minimum bis zum Maximum

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Definition

Reihenfolge: erst strecken, dann verschieben

Die Methode der fünf Schlüsselpunkte

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Anwendungen im echten Leben

Höhe im Riesenrad

Gezeiten im Hafen

Stunden mit Tageslicht

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Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Allgemeine Form

Amplitude

Periode

Phasenverschiebung und Mittellinie

Schritt der Schlüsselpunkte

Wertebereich

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