Verschiebung in y-Richtung

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie lautet die Mittellinie von $y = 4\sin(x) - 3$ ?
1. a) $y = 4$
2. b) $y = -3$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = 3$
Lösung: $y = -3$
In $y = 4\sin(x) - 3$ ist $D = -3$ , also ist die Mittellinie $y = -3$ . Die 4 ist die Amplitude, nicht die Verschiebung.
2.
Welche Gleichung verschiebt $y = \cos(x)$ um 5 Einheiten nach oben?
1. a) $y = \cos(x) + 5$
2. b) $y = 5\cos(x)$
3. c) $y = \cos(x + 5)$
4. d) $y = \cos(x) - 5$
Lösung: $y = \cos(x) + 5$
Wenn du 5 außerhalb des Kosinus addierst, steigt jeder Funktionswert um 5: $y = \cos(x) + 5$ . $\cos(x + 5)$ verschiebt seitlich, $5\cos(x)$ ändert die Amplitude und $\cos(x) - 5$ verschiebt nach unten.
3.
Wie groß ist das Maximum von $y = 2\sin(x) + 5$ ?
Lösung: 7
$D = 5$ und $|A| = 2$ , also ist das Maximum $5 + 2 = 7$ .
4.
Die Mittellinie von $y = \cos(x) - 6$ ist $y = \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: -6
$y = \cos(x) - 6 = \cos(x) + (-6)$ , also ist $D = -6$ und die Mittellinie $y = -6$ .
5.
Wie lautet der Wertebereich von $y = 2\cos(x) + 3$ ?
1. a) $[3, 5]$
2. b) $[-1, 5]$
3. c) $[-2, 2]$
4. d) $[1, 5]$
Lösung: $[1, 5]$
$D = 3$ und $|A| = 2$ : Minimum $3 - 2 = 1$ , Maximum $3 + 2 = 5$ , also ist der Wertebereich $[1, 5]$ .
6.
Bestimme für $y = 3\cos(x) + 1$ den Wert der Mittellinie, die Amplitude, das Maximum und das Minimum.
Lösung: D = 1, |A| = 3, max = 4, min = -2
1. Wie groß ist D (die Mittellinie ist $y = D$ )? 1
2. Wie groß ist die Amplitude $|A|$ ? 3
3. Wie groß ist das Maximum $D + |A|$ ? 4
4. Wie groß ist das Minimum $D - |A|$ ? -2
7.
Der Graph von $y = \sin(x)$ wird um 3 Einheiten nach unten verschoben. Bestimme die neue Mittellinie, das neue Maximum und das neue Minimum.
Lösung: D = -3, max = -2, min = -4
1. Die neue Funktion ist $y = \sin(x) + D$ . Wie groß ist D? -3
2. Wie groß ist das neue Maximum? -2
3. Wie groß ist das neue Minimum? -4
8.
Wie groß ist das Minimum von $y = -4\cos(x) + 1$ ?
Lösung: -3
$|A| = |-4| = 4$ und $D = 1$ , also ist das Minimum $1 - 4 = -3$ . Es wird bei $x = 0$ erreicht: $-4\cos(0) + 1 = -3$ .
9.
Wie groß ist das Maximum von $y = -3\sin(x) + 1$ ?
1. a) $-4$
2. b) $1$
3. c) $4$
4. d) $-2$
Lösung: $4$
$|A| = 3$ und $D = 1$ , also ist das Maximum $1 + 3 = 4$ . Es wird bei $x = \frac{3\pi}{2}$ erreicht: $-3\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = -3 \cdot (-1) + 1 = 4$ .
10.
Eine Sinuskurve hat das Maximum $8$ und das Minimum $-2$ . Bestimme D und die Amplitude $|A|$ .
Lösung: D = 3, |A| = 5
1. Wie viel ist Maximum + Minimum? 6
2. Wie groß ist $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? 3
3. Wie viel ist Maximum - Minimum? 10
4. Wie groß ist $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 5
11.
Eine Welle schwingt zwischen dem Maximum $10$ und dem Minimum $2$ . Ihre Mittellinie ist $y = \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 6
$D = \frac{10 + 2}{2} = 6$ , also ist die Mittellinie $y = 6$ .
12.
Bestimme den Wertebereich von $y = -2\sin(x) - 1$ .
Lösung: [-3, 1]
1. Wie groß ist D? -1
2. Wie groß ist die Amplitude $|A|$ ? 2
3. Wie groß ist das Maximum? 1
4. Wie groß ist das Minimum? -3
13.
Die Temperatur in einer Stadt wird durch $T(t) = 5\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 15$ in °C beschrieben. Bestimme die mittlere Temperatur, die höchste und die tiefste Temperatur und den Unterschied zwischen ihnen.
Lösung: 15, 20, 10, 10
1. Wie hoch ist die mittlere Temperatur (der Wert der Mittellinie D)? 15
2. Wie hoch ist die höchste Temperatur? 20
3. Wie hoch ist die tiefste Temperatur? 10
4. Wie viele Grad liegen zwischen der höchsten und der tiefsten Temperatur? 10
14.
Eine Welle hat das Maximum $7$ und das Minimum $-1$ . Welche Gleichung kann sie beschreiben?
1. a) $y = 4\sin(x) - 3$
2. b) $y = 8\sin(x) + 3$
3. c) $y = 4\sin(x) + 3$
4. d) $y = 3\sin(x) + 4$
Lösung: $y = 4\sin(x) + 3$
$D = \frac{7 + (-1)}{2} = 3$ und $|A| = \frac{7 - (-1)}{2} = 4$ , also $y = 4\sin(x) + 3$ . Die anderen haben die Wertebereiche $[1, 7]$ , $[-5, 11]$ und $[-7, 1]$ .
15.
Eine Sinuskurve hat die Mittellinie $y = -2$ und das Maximum $3$ . Wie groß ist ihr Minimum?
Lösung: -7
$|A| = 3 - (-2) = 5$ , also ist das Minimum $-2 - 5 = -7$ .
16.
Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von 30 m, seine Nabe liegt 18 m über dem Boden. Eine Gondel startet ganz unten, eine Umdrehung dauert 12 Minuten, also gilt $h(t) = -15\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 18$ . Untersuche das Modell.
Lösung: |A| = 15, D = 18, max = 33, min = 3, h(6) = 33
1. Wie groß ist die Amplitude $|A|$ , in Metern? 15
2. Wie groß ist D, in Metern? 18
3. Wie groß ist die größte Höhe, in Metern? 33
4. Wie groß ist die kleinste Höhe, in Metern? 3
5. Wie groß ist die Höhe nach 6 Minuten, $h(6)$ , in Metern? 33
17.
In einem Hafen beträgt der Wasserstand bei Flut 9{,}4 m und bei Ebbe 1{,}6 m. Bestimme die Mittellinie D und die Amplitude $|A|$ eines Gezeitenmodells.
Lösung: D = 5.5, |A| = 3.9
1. Wie viel ist Flut + Ebbe, in Metern? 11
2. Wie groß ist die Mittellinie $D$ ? 5.5
3. Wie viel ist Flut - Ebbe, in Metern? 7.8
4. Wie groß ist die Amplitude $|A|$ ? 3.9
18.
Die Funktion $y = A\sin(x) + D$ mit $A > 0$ hat den Wertebereich $[-6, 2]$ . Bestimme $D$ und $A$ und dann den Wert von $y$ bei $x = \frac{7\pi}{6}$ .
Lösung: y = 4sin(x) - 2, y = -4
1. Wie groß ist $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? -2
2. Wie groß ist $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 4
3. Wie groß ist $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ ? -0.5
4. Wie groß ist $y = 4\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 2$ ? -4