Leitfaden für Lehrer: Verschiebung in y-Richtung

Lerne, wie die Konstante D in y = A sin(x) + D eine Sinus- oder Kosinuskurve nach oben oder unten verschiebt, die Mittellinie festlegt und Maximum, Minimum und Wertebereich bestimmt.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Trigonometrische Graphen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Beschreiben, wie die Konstante D in $y = A\sin(x) + D$ und $y = A\cos(x) + D$ den Graphen verschiebt
Die Mittellinie $y = D$ aus einer Gleichung oder einem Graphen ablesen
Maximum, Minimum und Wertebereich einer verschobenen Sinus- oder Kosinusfunktion bestimmen
D und |A| aus gegebenem Maximum und Minimum berechnen
Einfache Sinusmodelle für Gezeiten, Riesenräder und Tagestemperaturen aufstellen

Voraussetzungen

• Den Graphen von $y = \sin(x)$ zeichnen (Lektion Die Sinusfunktion grafisch darstellen)
• Den Graphen von $y = \cos(x)$ zeichnen (Lektion Zeichnen der Kosinusfunktion)
• Amplitude $|A|$ und Periode $\frac{2\pi}{|B|}$ (Lektion Amplitude und Periode)
• Betrag und Intervallschreibweise

Diskussionsstarter

1. Warum ist die Mittellinie der Höhenfunktion eines Riesenrads die Höhe seiner Nabe?
2. Wenn du nur die höchste und die tiefste Temperatur eines Tages kennst, was weißt du dann über das Modell, und was fehlt noch?
3. Was verändert den Wertebereich stärker: A zu verdoppeln oder 2 zu D zu addieren? Erkläre an einem Beispiel.
4. Können zwei verschiedene Gleichungen der Form $y = A\sin(x) + D$ denselben Wertebereich haben? Was haben sie gemeinsam?

Häufige Missverständnisse

Die Amplitude ist der größte Wert (bei $y = 2\sin(x) + 5$ wäre die Amplitude 7)

Abhilfe: Zuerst die Mittellinie einzeichnen und dann die Amplitude mit dem Lineal von ihr aus messen. Vergleiche $y = 2\sin(x)$ und $y = 2\sin(x) + 5$ : gleiche Höhe der Welle, andere Lage.

Ein negatives A macht das Maximum zu $D + A$

Abhilfe: Zeichne $y = -3\sin(x) + 1$ neben $y = 3\sin(x) + 1$ und lass beide Maxima am Bild ablesen. Sie sind gleich, also muss die Formel $|A|$ verwenden.

$\sin(x + 2)$ und $\sin(x) + 2$ sind dieselbe Verschiebung

Abhilfe: Erstelle eine Wertetabelle für beide bei $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ . Nur $\sin(x) + 2$ addiert 2 zu jedem Funktionswert, die andere verschiebt die Kurve seitlich.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit $A = 1$ beginnen und nur D verändern, im Zielkurven-Modus sieht man die ganze Kurve gleiten
• Die Mittellinie immer zuerst gestrichelt einzeichnen, dann Maximum und Minimum markieren
• Eine zweizeilige Tabelle nutzen: Mittellinie, dann Mittellinie plus und minus Amplitude

Für Schüler auf Niveau:

• A und D aus Maximum und Minimum bestimmen und am Graphen überprüfen
• Ein Riesenrad mit gegebenem Durchmesser und Plattformhöhe modellieren
• Den Wertebereich verschobener Funktionen in Intervallschreibweise angeben

Für fortgeschrittene Schüler:

• Aus einer echten Gezeitentabelle ein vollständiges Modell $y = A\sin(Bt) + D$ samt Periode aufstellen
• Alle Werte von D finden, für die $y = 3\sin(x) + D$ die x-Achse nie berührt
• Ein Sinus- und ein Kosinusmodell für dasselbe Riesenrad vergleichen

Standardausrichtung

HSF.TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Trigonometrische Funktionen wählen, um periodische Vorgänge mit gegebener Amplitude, Frequenz und Mittellinie zu modellieren
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Die Wirkung auf den Graphen beschreiben, wenn f(x) durch f(x) + k ersetzt wird, für bestimmte Werte von k
HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Trigonometrische Funktionen zeichnen und Periode, Mittellinie und Amplitude zeigen

Lektionsressourcen

visualTriff die Zielkurve
Die Lernenden bewegen die Regler A und D, bis ihre Sinuskurve eine gestrichelte Zielkurve überdeckt
activityGezeitendetektive
Die Lernenden lesen in einer echten Gezeitentabelle Hoch- und Niedrigwasser ab und stellen ein Modell mit A und D auf
worksheetMittellinie, Maximum, Minimum
Zwölf Gleichungen: Mittellinie, Extremwerte und Wertebereich bestimmen, dann den Graphen skizzieren

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Wenn du zu einer Sinus- oder Kosinusfunktion eine Konstante

D

addierst, wird die ganze Kurve nach oben oder unten verschoben. Das nennt man eine Verschiebung in y-Richtung:

y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D

Ist $D > 0$ , wird der Graph um $D$ Einheiten nach oben verschoben.
Ist $D < 0$ , wird der Graph um $|D|$ Einheiten nach unten verschoben.
Form, Amplitude und Periode ändern sich nicht.

Die Mittellinie

Die Mittellinie ist die waagerechte Gerade, um die die Kurve schwingt. Bei

y = \sin(x)

ist es die x-Achse (

y = 0

). Nach der Verschiebung gilt

\text{Mittellinie: } y = D

Maximum, Minimum und Wertebereich

Die Kurve reicht

|A|

Einheiten über und unter die Mittellinie:

Merkmal	Formel
Mittellinie	$y = D$
Maximum (Hochpunkt)	$D +	A
Minimum (Tiefpunkt)	$D -	A
Wertebereich	$[D -	A	,\ D +	A	]$

Rückwärts: A und D aus Daten

Kennst du den größten und den kleinsten Wert, liegt die Mittellinie genau in der Mitte dazwischen, und die Amplitude ist die halbe Differenz:

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

In der allgemeinen Form

y = A\sin(B(x - C)) + D

ist die Verschiebung in y-Richtung immer der letzte Buchstabe,

D

. In dieser Lektion gilt

B = 1

und

C = 0

, außer eine echte Situation braucht eine andere Periode.

Lösungsbeispiele

Bestimme für

y = 3\sin(x) + 2

die Mittellinie, das Maximum, das Minimum und den Wertebereich.

A und D bestimmen

Vergleiche mit

y = A\sin(x) + D

→

A = 3

D = 2

Mittellinie angeben

Die Mittellinie ist

y = D

→

y = 2

Maximum und Minimum berechnen

D + |A| = 2 + 3

und

D - |A| = 2 - 3

→ Maximum

5

, Minimum

-1

Wertebereich angeben

Alle y-Werte vom Minimum bis zum Maximum →

[-1, 5]

Antwort: Mittellinie $y = 2$ , Maximum $5$ , Minimum $-1$ , Wertebereich $[-1, 5]$ .

Häufige Fehler

Das Maximum von $y = -3\sin(x) + 1$ als $1 + (-3) = -2$ angeben

Warum es falsch ist: Die Kurve reicht um die Amplitude über und unter die Mittellinie, und die Amplitude ist immer positiv. Das Vorzeichen von $A$ spiegelt die Kurve nur.

Richtig: Maximum $= D + |A| = 1 + 3 = 4$ , Minimum $= D - |A| = 1 - 3 = -2$ .

$y = \sin(x) - 2$ als Verschiebung um 2 nach oben lesen

Warum es falsch ist: In $y = A\sin(x) + D$ ist die Verschiebung $D$ mit Vorzeichen. Hier ist $D = -2$ .

Richtig: $y = \sin(x) - 2$ verschiebt die Kurve um 2 Einheiten nach unten, die Mittellinie ist $y = -2$ .

Das Maximum für die Amplitude halten: bei $y = 2\sin(x) + 5$ sei die Amplitude 7

Warum es falsch ist: Die Amplitude wird von der Mittellinie aus gemessen, nicht von der x-Achse. Die Verschiebung hebt die Kurve an, macht sie aber nicht höher.

Richtig: Die Amplitude ist $|A| = 2$ . Das Maximum ist $5 + 2 = 7$ .

Das Halbieren vergessen: Amplitude $= \text{max} - \text{min}$

Warum es falsch ist: $\text{max} - \text{min}$ ist die ganze Höhe vom tiefsten zum höchsten Punkt, also zwei Amplituden.

Richtig: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ und $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ . Für Maximum 9 und Minimum 3: $|A| = 3$ , $D = 6$ .

Warum es wichtig ist

Die meisten echten Schwingungen pendeln nicht um null. Sie pendeln um einen typischen Wert, und dieser Wert ist die Verschiebung in y-Richtung:

Gezeiten: Das Wasser in einem Hafen steigt und fällt um eine mittlere Tiefe, zum Beispiel zwischen 1 m und 5 m um die Mittellinie 3 m.
Riesenräder: Eine Gondel bewegt sich um die Höhe der Radnabe auf und ab und kommt nie unter die Einstiegsplattform.
Tagestemperatur: Die Temperatur schwankt um den Tagesmittelwert, zum Beispiel zwischen 12°C und 24°C um 18°C.
Blutdruck und Herzschlag: Der Druck pulsiert etwa zwischen 80 und 120 um die Mittellinie 100.
Tageslänge: Die Länge des Tages schwankt über das Jahr um etwa 12 Stunden.

Mit der Formel

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

machst du aus zwei Messwerten ein brauchbares Modell, und am Wertebereich siehst du sofort, ob ein Modell sinnvoll ist.

Anwendungen im echten Leben

Riesenräder

Die Höhe einer Gondel im Riesenrad steigt und fällt wie eine Kosinuskurve. Die Mittellinie ist die Höhe der Radnabe.

Beispiel:

Ein Rad mit 40 m Durchmesser, dessen tiefste Gondel 2 m über dem Boden ist, lässt sich durch $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ beschreiben (t in Minuten): Amplitude 20, Mittellinie 22, Wertebereich $[2, 42]$ .

1Probiere es selbst

Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von 40 m. Sein tiefster Punkt liegt 2 m über dem Boden.

In welcher Höhe liegt die Mittellinie der Höhenfunktion (die Radnabe), in Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bilde den Mittelwert aus größter und kleinster Höhe:

Gezeiten

Hafenmeister und Segler beschreiben den Wasserstand mit einer Sinus- oder Kosinuskurve, deren Mittellinie der mittlere Wasserstand ist.

Beispiel:

Ist der Wasserstand bei Flut 5{,}2 m und bei Ebbe 0{,}8 m, dann ist der mittlere Wasserstand $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, also hat das Modell $D = 3$ .

2Probiere es selbst

In einem Hafen beträgt der Wasserstand bei Flut 5{,}2 m und bei Ebbe 0{,}8 m.

Wie groß ist die Amplitude des Gezeitenmodells, in Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nimm die halbe Differenz zwischen Flut und Ebbe:

Temperatur im Tagesverlauf

Wetterforscher beschreiben die Temperatur über 24 Stunden mit einer Kosinuskurve um die mittlere Tagestemperatur.

Beispiel:

Das Modell $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ , mit t in Stunden nach 3:00 Uhr, ist um 3:00 Uhr am kältesten und 12 Stunden später am wärmsten.

3Probiere es selbst

Die Temperatur in einer Stadt wird durch $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ in °C beschrieben.

Wie hoch ist die höchste Temperatur des Tages, in °C?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere die Amplitude zur Mittellinie:

Wichtige Erkenntnisse

1Bei $y = A\sin(x) + D$ und $y = A\cos(x) + D$ verschiebt die Konstante $D$ die Kurve nach oben ( $D > 0$ ) oder nach unten ( $D < 0$ )
2Die Mittellinie ist die waagerechte Gerade $y = D$ , genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum
3Maximum $= D + |A|$ und Minimum $= D - |A|$ , immer mit dem Betrag von $A$
4Der Wertebereich ist $[D - |A|,\ D + |A|]$
5Aus Daten: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ und $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
6Eine Verschiebung in y-Richtung ändert weder Amplitude noch Periode, nur die Lage der ganzen Kurve

Häufig gestellte Fragen

Ändert die Verschiebung in y-Richtung die Periode oder die Amplitude?

Nein.

D

verschiebt jeden Punkt des Graphen um denselben Betrag nach oben oder unten, also behält die Kurve ihre Höhe und ihre Breite. Nur Mittellinie, Maximum, Minimum und Wertebereich ändern sich.

Ist die Verschiebung in y-Richtung dasselbe wie die Mittellinie?

Beide kommen von derselben Zahl. Die Verschiebung ist die Bewegung (zum Beispiel 3 Einheiten nach oben), und die Mittellinie ist die Gerade, auf der die Mitte der Kurve danach liegt (

y = 3

Warum verschiebt $\sin(x) + 2$ nach oben, $\sin(x + 2)$ aber nicht?

Eine Zahl, die außerhalb der Funktion addiert wird, ändert den Funktionswert, also bewegt sich der Graph senkrecht. Eine Zahl, die innen zu

x

addiert wird, ändert die Eingabe, also bewegt sich der Graph seitlich. Diese seitliche Bewegung ist die Phasenverschiebung (Lektion Phasenverschiebung).

Kann eine verschobene Sinuskurve ganz oberhalb der x-Achse bleiben?

Ja, wenn

D > |A|

ist. Dann ist das Minimum

D - |A|

positiv. Zum Beispiel kommt

y = 2\sin(x) + 5

nie unter

3

. Riesenradhöhen und Wassertiefen verhalten sich so.

Glossar

Verschiebung in y-Richtung: Den ganzen Graphen nach oben oder unten bewegen, indem man eine Konstante $D$ zur Funktion addiert
Mittellinie: Die waagerechte Gerade $y = D$ genau in der Mitte zwischen dem größten und dem kleinsten Wert einer Schwingung
Maximum: Der größte y-Wert der Kurve, $D + |A|$ (am Hochpunkt)
Minimum: Der kleinste y-Wert der Kurve, $D - |A|$ (am Tiefpunkt)
Wertebereich: Alle y-Werte, die die Funktion annimmt: $[D - |A|,\ D + |A|]$ bei verschobenem Sinus oder Kosinus
Sinusmodell: Eine Sinus- oder Kosinusfunktion, die eine sich wiederholende reale Situation beschreibt, etwa Gezeiten oder Temperatur

Formelkarte

Verschobener Sinus und Kosinus

y = A\sin(x) + D

y = A\cos(x) + D

D verschiebt die Kurve nach oben (D > 0) oder nach unten (D < 0)

Mittellinie

y = D

Die Gerade, um die die Kurve schwingt

Maximum und Minimum

D + |A|

und

D - |A|

Größter und kleinster Wert der Kurve

Wertebereich

[D - |A|,\ D + |A|]

Alle Funktionswerte

Aus Daten

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Mittellinie und Amplitude aus größtem und kleinstem Wert

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Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Die Mittellinie

Maximum, Minimum und Wertebereich

Rückwärts: A und D aus Daten

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Riesenräder

Gezeiten

Temperatur im Tagesverlauf

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Verschobener Sinus und Kosinus

Mittellinie

Maximum und Minimum

Wertebereich

Aus Daten

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Zeichnen der Kosinusfunktion

Amplitude und Periode