Sinus- und Kosinusfunktionen aus Graphen aufstellen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Eine Sinuskurve hat ein Maximum von $8$ und ein Minimum von $2$ . Wo liegt ihre Mittellinie?
1. a) $y = 10$
2. b) $y = 6$
3. c) $y = 3$
4. d) $y = 5$
Lösung: $y = 5$
$D = \frac{8 + 2}{2} = 5$ , die Mittellinie ist also $y = 5$ . ( $3$ ist die Amplitude und $6$ die gesamte Höhe.)
2.
Eine Welle geht von einem Minimum von $1$ bis zu einem Maximum von $9$ . Wie groß ist ihre Amplitude?
Lösung: 4
$A = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ . Die Amplitude ist die Hälfte der gesamten Höhe.
3.
Eine Sinuswelle hat die Periode $4\pi$ . Wie groß ist $B$ in $y = \sin(Bx)$ ?
Lösung: 1/2
$B = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ . Eine lange Periode ergibt ein kleines $B$ .
4.
Eine Welle hat bei $x = 0$ ein Maximum. Welche Form beschreibt sie mit $C = 0$ ?
1. a) $y = A\cos(Bx) + D$
2. b) $y = A\sin(Bx) + D$
3. c) $y = Ax + D$
4. d) $y = A\tan(Bx) + D$
Lösung: $y = A\cos(Bx) + D$
$\cos(0) = 1$ ist der größte Kosinuswert, der Kosinus beginnt also im Maximum. Der Sinus beginnt auf der Mittellinie, Tangens und Gerade schwingen nicht zwischen Maximum und Minimum.
5.
Eine Welle hat ein Maximum von $6$ und ein Minimum von $-2$ . Bestimme die Mittellinie $D$ und die Amplitude $A$ .
Lösung: $D = 2$ , $A = 4$
1. Wo liegt die Mittellinie $D$ ? 2
2. Wie groß ist die Amplitude $A$ ? 4
6.
Der Wasserstand in einem Hafen wiederholt sich alle $12$ Stunden. Wie groß ist $B$ im Modell $y = A\cos(B(x - C)) + D$ mit $x$ in Stunden? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. pi/4.)
Lösung: pi/6
$B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ . Nicht $12$ : Die Periode steht im Nenner.
7.
Eine Welle hat Amplitude $2$ , Mittellinie $y = 0$ , Periode $2\pi$ und ein Maximum bei $x = \frac{\pi}{3}$ . Welche Gleichung passt?
1. a) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2. b) $y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
3. c) $y = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right)$
4. d) $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
Lösung: $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
$y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ ergibt bei $x = \frac{\pi}{3}$ den Wert $2\cos(0) = 2$ . Mit $(x + \frac{\pi}{3})$ liegt das Maximum bei $-\frac{\pi}{3}$ , die Sinusversion ist dort auf der Mittellinie, und die letzte hat Amplitude $1$ und Periode $\pi$ .
8.
Eine Welle hat ein Maximum von $5$ bei $x = \frac{\pi}{6}$ , ein Minimum von $-1$ und die Periode $\frac{2\pi}{3}$ . Schreibe sie als $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Lösung: $y = 3\cos\left(3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 2$
1. Wie groß ist $D$ ? 2
2. Wie groß ist $A$ ? 3
3. Wie groß ist $B$ ? 3
4. Wie groß ist $C$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.) pi/6
9.
Eine Welle schneidet ihre Mittellinie $y = 0$ steigend bei $x = \frac{\pi}{4}$ , hat ein Maximum von $3$ und die Periode $\pi$ . Schreibe sie als $y = A\sin(B(x - C)) + D$ .
Lösung: $y = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$
1. Wie groß ist $A$ ? 3
2. Wie groß ist $D$ ? 0
3. Wie groß ist $B$ ? 2
4. Wie groß ist $C$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.) pi/4
10.
Welche Gleichung zeichnet NICHT denselben Graphen wie $y = 2\cos(x)$ ?
1. a) $y = 2\cos(x - 2\pi)$
2. b) $y = -2\cos(x - \pi)$
3. c) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
4. d) $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$
Lösung: $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
Bei $x = 0$ : $2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$ , $-2\cos(-\pi) = 2$ , $2\cos(-2\pi) = 2$ , aber $2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -2$ . Der letzte Graph ist die gespiegelte Welle $y = -2\cos(x)$ .
11.
Der Graph von $y = 4\sin(2x) + 1$ lässt sich auch als $y = 4\cos(2(x - C)) + 1$ schreiben. Was ist das kleinste positive $C$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. pi/3.)
Lösung: pi/4
$\sin(2x)$ ist am größten, wenn $2x = \frac{\pi}{2}$ , also $x = \frac{\pi}{4}$ . Das ist ein Viertel der Periode $\pi$ . Also $C = \frac{\pi}{4}$ .
12.
Ein Riesenrad hat $30$ m Durchmesser, sein Mittelpunkt liegt $18$ m über dem Boden, und es dreht sich einmal in $6$ Minuten. Du steigst bei $t = 0$ unten ein. Verwende $h(t) = A\cos(Bt) + D$ .
Lösung: 33
1. Wie groß ist $D$ in m? 18
2. Du startest unten, also ist $A$ negativ. Wie groß ist $A$ ? -15
3. Wie groß ist $B$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.) pi/3
4. Wie hoch bist du nach $3$ Minuten (in m)? 33
13.
Eine Welle hat ein Maximum bei $(1, 7)$ und das nächste Minimum bei $(4, 1)$ . Schreibe sie als $y = A\cos(B(x - C)) + D$ .
Lösung: $y = 3\cos\left(\frac{\pi}{3}(x - 1)\right) + 4$
1. Wie lang ist die Periode? 6
2. Wie groß ist $B$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.) pi/3
3. Wie groß ist $A$ ? 3
4. Wie groß ist $D$ ? 4
5. Wie groß ist $C$ ? 1
14.
In einem Hafen ist das Hochwasser um 4:00 Uhr $9$ m und das nächste Niedrigwasser um 10:00 Uhr $1$ m tief. Beschreibe die Tiefe mit $y = A\cos(B(x - C)) + D$ ( $x$ in Stunden nach Mitternacht) und bestimme die Tiefe um 6:00 Uhr.
Lösung: 7
1. Wie lang ist die Periode in Stunden? 12
2. Wie groß ist $A$ ? 4
3. Wie groß ist $D$ ? 5
4. Wie groß ist $B$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.) pi/6
5. Wie tief ist das Wasser um 6:00 Uhr (in m)? 7
15.
Eine Welle hat ein Maximum von $10$ bei $x = 3$ und das nächste Minimum von $2$ bei $x = 7$ . Was ist in $y = A\sin(B(x - C)) + D$ mit $A > 0$ das kleinste positive $C$ ?
Lösung: 1
Halbe Periode $= 7 - 3 = 4$ , die Periode ist also $8$ und eine Viertelperiode $2$ . Die Welle schneidet die Mittellinie steigend bei $x = 3 - 2 = 1$ , also $C = 1$ .
16.
Ein Gewicht an einer Feder startet bei $t = 0$ an seinem tiefsten Punkt, $2$ cm über dem Boden. Sein höchster Punkt liegt bei $12$ cm, und eine volle Schwingung dauert $4$ Sekunden. Welches Modell stimmt?
1. a) $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
2. b) $h = -7\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 5$
3. c) $h = 5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
4. d) $h = -5\cos(4t) + 7$
Lösung: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$
$D = \frac{12 + 2}{2} = 7$ , Amplitude $= \frac{12 - 2}{2} = 5$ , $B = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ , und $A = -5$ , weil es unten startet: $h = -5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 7$ . Probe: $t = 0$ ergibt $-5 + 7 = 2$ .
17.
Ein Graph hat ein Minimum von $-5$ bei $x = 0$ , ein Maximum von $3$ und die Periode $4\pi$ . Schreibe ihn als $y = A\cos(Bx) + D$ (also $C = 0$ ).
Lösung: $y = -4\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 1$
1. Wie groß ist $D$ ? -1
2. Wie groß ist die Amplitude? 4
3. Der Graph beginnt im Minimum. Wie groß ist $A$ ? -4
4. Wie groß ist $B$ ? 1/2
18.
Eine Stadt hat am längsten Tag (Tag $172$ ) $17$ Stunden Tageslicht und am kürzesten $7$ Stunden. Das Muster wiederholt sich alle $365$ Tage. Bestimme $A$ , $D$ , $B$ und $C$ in $y = A\cos(B(d - C)) + D$ .
Lösung: $y = 5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$
1. Wie groß ist $A$ in Stunden? 5
2. Wie groß ist $D$ in Stunden? 12
3. Wie groß ist $B$ ? (Tippe pi für $\pi$ , z. B. 3pi/4.) 2pi/365
4. Wie groß ist $C$ ? 172