Leitfaden für Lehrer: Sinus- und Kosinusfunktionen aus Graphen aufstellen

Lies Maximum, Minimum, Periode und einen Startpunkt an einer Welle ab und stelle daraus y = A sin(B(x - C)) + D oder eine Kosinusgleichung auf.

Lektion präsentieren In Classroom teilen Schülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Trigonometrische Graphen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Maximum, Minimum, Periode und einen Startpunkt am Graphen einer Sinuskurve ablesen
A, B, C und D berechnen und die Gleichung in Sinus- oder Kosinusform aufstellen
Mehrere gleichwertige Gleichungen für denselben Graphen aufstellen und prüfen, dass sie übereinstimmen
Sinusförmige Modelle aus echten Daten aufstellen (Riesenrad, Gezeiten, Tageslicht, Federn) und damit Werte vorhersagen

Voraussetzungen

• Graphen von $y = \sin(x)$ und $y = \cos(x)$ zeichnen (Lektionen zur Sinus- und zur Kosinusfunktion)
• Amplitude und Periode: $|A|$ und $\frac{2\pi}{|B|}$ (Lektion Amplitude und Periode)
• Phasenverschiebung und Verschiebung in y-Richtung (Lektionen Phasenverschiebung, Verschiebung in y-Richtung und Transformationen von Sinus- und Kosinusgraphen)
• Exakte Sinus- und Kosinuswerte bei Vielfachen von $\frac{\pi}{6}$ und $\frac{\pi}{4}$

Diskussionsstarter

1. Zwei Mitschüler haben für denselben Graphen verschiedene Gleichungen aufgestellt. Wie kannst du ohne Zeichnen entscheiden, wer recht hat?
2. Warum ergibt ein Riesenrad, das unten startet, ein negatives A in einem Kosinusmodell?
3. Ist die Tageslänge wirklich eine perfekte Sinuswelle? Wo könnte das Modell danebenliegen?
4. Wenn du nur zwei benachbarte Maxima einer Welle kennst, was brauchst du noch, um ihre Gleichung aufzustellen?

Häufige Missverständnisse

Zu einem Graphen gibt es genau eine richtige Gleichung

Abhilfe: Lass die halbe Klasse eine Sinus- und die andere Hälfte eine Kosinusgleichung zum selben Graphen aufstellen, dann beide im Funktionsplotter zeichnen und sehen, dass sie aufeinanderliegen.

Die Amplitude ist der größte Wert

Abhilfe: Zeige eine Welle mit Mittellinie $y = 5$ , die von $3$ bis $7$ geht. Frage, wie weit der Hochpunkt von der Mittellinie entfernt ist, nicht von der x-Achse.

B ist die Periode

Abhilfe: Vergleiche $\sin(2x)$ und $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ am Bildschirm: Ein größeres B staucht die Welle. Leite dann $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$ aus $\text{Periode} = \frac{2\pi}{B}$ her.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit Wellen, die bei $x = 0$ ein Maximum haben, sodass nur A, B und D neu sind
• Gib eine Tabelle mit den Spalten Max, Min, Periode und Start vor, die vor dem Aufstellen ausgefüllt wird
• Nutze das Regler-Bild mit eingeschalteten Tipps

Für Schüler auf Niveau:

• Zu jedem Graphen eine Sinus- und eine Kosinusgleichung aufstellen
• Gezeiten und Riesenräder aus Textbeschreibungen modellieren
• Jede Gleichung prüfen, indem ein Maximum und ein Minimum eingesetzt werden

Für fortgeschrittene Schüler:

• Echte Daten sammeln (Tageslicht in der eigenen Stadt, Monatstemperaturen) und ein Modell anpassen
• Alle Werte von C zwischen $0$ und einer Periode finden, die für einen Graphen passen
• Mit dem Modell bestimmen, wann ein Wert zum ersten Mal erreicht wird (trigonometrische Gleichung lösen)

Standardausrichtung

HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Trigonometrische Funktionen wählen, um periodische Vorgänge mit gegebener Amplitude, Frequenz und Mittellinie zu modellieren
HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Trigonometrische Funktionen zeichnen und dabei Periode, Mittellinie und Amplitude zeigen
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Die Wirkung von f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) auf den Graphen erkennen

Lektionsressourcen

visualTriff die Welle
Die Lernenden lesen eine Zielwelle ab und verschieben die Regler A, B, C und D, bis ihre Kurve darauf liegt
activityRiesenrad aus einem Pappteller
Die Lernenden drehen ein Pappteller-Rad, notieren die Höhe nach jeder Achtelumdrehung, zeichnen die Punkte und stellen die Gleichung auf
worksheetVom Graphen zur Gleichung
Zwölf Graphen und Datensätze, die in Sinus- und Kosinusgleichungen übersetzt werden, mit je zwei Lösungen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

In den vorigen Lektionen bist du von der Gleichung zum Graphen gegangen. Jetzt geht es umgekehrt: Du siehst eine Welle (oder liest eine Beschreibung) und stellst ihre Gleichung auf.

Jede Sinus- oder Kosinuswelle lässt sich in einer dieser Formen schreiben:

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

Du brauchst nur vier Angaben aus dem Graphen: das Maximum, das Minimum, die Periode und einen Startpunkt.

Buchstabe	Bedeutung	So findest du ihn
$D$	Mittellinie (Verschiebung in y-Richtung)	$D = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}$
$A$	Amplitude	$A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
$B$	wie schnell sich die Welle wiederholt	$B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$
$C$	Phasenverschiebung (Verschiebung in x-Richtung)	wo eine Periode beginnt

**So wählst du

C

:**

Kosinus beginnt in einem Maximum (Hochpunkt): $C$ = die $x$ -Stelle eines Maximums.
Sinus beginnt auf der Mittellinie und steigt: $C$ = die $x$ -Stelle, an der der Graph die Mittellinie steigend schneidet.

Zu einem Graphen gibt es viele richtige Gleichungen. Du kannst bei jedem Maximum starten (eine ganze Periode zu

C

addieren oder abziehen), zwischen Sinus und Kosinus wechseln (

C

um eine Viertelperiode verschieben) oder ein negatives

A

nehmen (dann beginnt der Kosinus in einem Minimum). Alle zeichnen dieselbe Welle.

Lösungsbeispiele

Ein Graph hat ein Maximum von

5

bei

x = 0

, ein Minimum von

1

und die Periode

2\pi

. Stelle seine Gleichung auf.

Bestimme die Mittellinie D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Bestimme die Amplitude A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Bestimme B aus der Periode

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Wähle die Form und C

Die Welle beginnt bei

x = 0

in einem Maximum, also Kosinus mit

C = 0

Antwort: $y = 2\cos(x) + 3$

Häufige Fehler

Das Maximum als Amplitude nehmen (Max $7$ , Min $3$ , also $A = 7$ )

Warum es falsch ist: Die Amplitude wird von der Mittellinie aus gemessen, nicht von der x-Achse. Die Welle liegt nur $2$ Einheiten über ihrer Mittellinie $y = 5$ .

Richtig: $A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , und die $5$ gehört zu $D$ .

Die Periode als B schreiben (Periode $12$ , also $B = 12$ )

Warum es falsch ist: B ist nicht die Periode. Ein größeres B lässt die Welle schneller wiederholen, die Periode wird also kürzer.

Richtig: $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Das Vorzeichen von C falsch: Maximum bei $x = 2$ als $\cos(B(x + 2))$ geschrieben

Warum es falsch ist: In der Klammer hat die Verschiebung das umgekehrte Vorzeichen. $(x + 2)$ verschiebt die Welle nach links.

Richtig: Ein Maximum bei $x = 2$ bedeutet $\cos(B(x - 2))$ . Probe: Bei $x = 2$ ist die Klammer $0$ und $\cos(0) = 1$ .

Sinus nehmen und C an das Maximum setzen

Warum es falsch ist: Der Sinus beginnt nicht im Maximum. Bei $x = C$ liegt die Sinuswelle auf der Mittellinie und steigt.

Richtig: Beim Sinus nimmst du den steigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie, eine Viertelperiode vor dem Maximum. Oder du nimmst den Kosinus und das Maximum.

Warum es wichtig ist

Alles, was sich gleichmäßig wiederholt, lässt sich mit einer Sinus- oder Kosinusgleichung beschreiben, und im echten Leben bekommst du fast nie zuerst die Gleichung. Du bekommst Daten: einen höchsten Wert, einen niedrigsten Wert und die Dauer eines Durchgangs.

Riesenräder: Deine Höhe über dem Boden steigt und fällt bei jeder Umdrehung
Gezeiten: Der Wasserstand wechselt etwa alle 12 Stunden zwischen Hoch- und Niedrigwasser
Tageslicht: Die Tageslänge ist im Sommer am größten und wiederholt sich alle 365 Tage
Federn und Pendel: Ein Gewicht schwingt in fester Zeit auf und ab
Temperatur: Die durchschnittliche Tagestemperatur folgt einer Jahreswelle

Sobald du die Gleichung aufstellen kannst, kannst du vorhersagen: die Höhe nach 2 Minuten, den Wasserstand um 6:00 Uhr, das Tageslicht an deinem Geburtstag.

Anwendungen im echten Leben

Länge des Tageslichts

Astronomen und Solartechniker beschreiben die Tageslänge mit einer Kosinuswelle, die sich jedes Jahr wiederholt.

Beispiel:

In einer nördlichen Stadt hat der längste Tag (Tag $172$ , um den 21. Juni) $16$ Stunden Tageslicht und der kürzeste $8$ . Ein Modell ist $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Probiere es selbst

Eine andere Stadt hat am längsten Tag $15$ Stunden Tageslicht und am kürzesten $9$ Stunden. Das Muster wiederholt sich alle $365$ Tage.

Welcher Wert für B gehört in das Modell $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$ :

Riesenräder

Fahrgeschäft-Planer nutzen die Höhengleichung, um zu prüfen, wie schnell die Gäste steigen und wie lange sie oben bleiben.

Beispiel:

Ein Rad mit $50$ m Durchmesser und Mittelpunkt in $30$ m Höhe dreht sich einmal in $12$ Minuten. Mit Einstieg ganz unten gilt $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Probiere es selbst

Du steigst bei $t = 0$ ganz unten in das Rad von oben ein ( $50$ m Durchmesser, Mittelpunkt in $30$ m Höhe, eine Umdrehung in $12$ Minuten).

Wie hoch bist du nach $2$ Minuten (in m)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $t = 2$ in $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ ein:

Ein Gewicht an einer Feder

Ingenieure beschreiben Schwingungen (Autofederung, Brücken, Sensoren) mit denselben Gleichungen wie ein Gewicht, das an einer Feder schwingt.

Beispiel:

Ein Gewicht schwingt zwischen $4$ cm und $16$ cm über einem Tisch und braucht für eine volle Schwingung $2$ Sekunden.

3Probiere es selbst

Das Gewicht von oben wird bei $t = 0$ an seinem höchsten Punkt ( $16$ cm) losgelassen. Eine volle Schwingung dauert $2$ Sekunden, der tiefste Punkt liegt bei $4$ cm.

Wie hoch ist das Gewicht nach $\frac{1}{3}$ Sekunde (in cm)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $y = 6\cos(\pi t) + 10$ mit $t = \frac{1}{3}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Mittellinie: $D = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}$ ; Amplitude: $A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
2Aus der Periode: $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$ (von einem Maximum zum nächsten Minimum ist eine halbe Periode)
3Kosinus: $C$ ist die $x$ -Stelle eines Maximums; Sinus: $C$ ist die Stelle, an der die Welle die Mittellinie steigend schneidet
4Eine Welle, die in einem Minimum beginnt, ist ein Kosinus mit negativem $A$
5Ein Graph hat viele richtige Gleichungen: ganze Perioden zu $C$ addieren, um eine Viertelperiode verschieben, um zwischen Sinus und Kosinus zu wechseln, oder das Vorzeichen von $A$ umkehren und um eine halbe Periode verschieben
6Prüfe in deiner fertigen Gleichung immer einen Punkt (ein Maximum oder ein Minimum)

Häufig gestellte Fragen

Soll ich Sinus oder Kosinus nehmen?

Beides ist richtig. Nimm, was

C

am einfachsten macht: Kosinus, wenn du ein Maximum gut ablesen kannst, Sinus, wenn du siehst, wo die Welle die Mittellinie steigend schneidet.

Meine Lösung sieht anders aus als die im Buch. Ist sie falsch?

Nicht unbedingt. Prüfe ein Maximum und ein Minimum in beiden Gleichungen. Wenn sie an derselben Stelle

x

dieselben Werte liefern, zeichnen sie dieselbe Welle. Zum Beispiel sind

y = 3\sin(2x) + 1

und

y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1

derselbe Graph.

Wie finde ich die Periode, wenn ich nur einen Teil der Welle sehe?

Miss den waagerechten Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima (eine ganze Periode) oder zwischen einem Maximum und dem nächsten Minimum (eine halbe Periode) und verdopple ihn.

Was, wenn die Aufgabe Zeit in Stunden oder Tagen statt Bogenmaß verwendet?

Das Vorgehen bleibt gleich:

B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}

, mit der Periode in derselben Einheit wie

x

. Gezeiten mit Periode

12

Stunden haben

B = \frac{\pi}{6}

, ein Jahresmuster hat

B = \frac{2\pi}{365}

Glossar

Mittellinie: Die waagerechte Gerade $y = D$ genau zwischen Maximum und Minimum der Welle
Amplitude: Der Abstand von der Mittellinie zu einem Maximum: $\frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
Periode: Die waagerechte Länge einer vollen Schwingung; $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$
Phasenverschiebung: Die Verschiebung $C$ in x-Richtung: wo eine Periode der einfachen Sinus- oder Kosinuswelle beginnt
Sinusförmiges Modell: Eine Gleichung $y = A\sin(B(x - C)) + D$ oder $y = A\cos(B(x - C)) + D$ , die eine echte, sich wiederholende Größe beschreibt

Formelkarte

Allgemeine Formen

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Jede Sinus- oder Kosinuswelle passt in eine dieser Formen

Mittellinie

D = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}

Der Mittelwert aus größtem und kleinstem Wert

Amplitude

A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}

Die Hälfte der gesamten Höhe der Welle

B aus der Periode

B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}

Die Periode ist der Abstand zwischen zwei Maxima

Startpunkt C

\cos

C = x_{\text{Max}}

;

\sin

C = x_{\text{Mittellinie, steigend}}

Kosinus beginnt im Maximum, Sinus steigend auf der Mittellinie

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: Sinus- und Kosinusfunktionen aus Graphen aufstellen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Länge des Tageslichts

Riesenräder

Ein Gewicht an einer Feder

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Allgemeine Formen

Mittellinie

Amplitude

B aus der Periode

Startpunkt C

Mehr zu diesem Thema

Die Sinusfunktion grafisch darstellen

Kotangens-Graphen

Zeichnen der Kosinusfunktion

Amplitude und Periode