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Mathorio

Lösungen

Quotientenidentitäten

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

  1. 1.
    Welcher Term ist gleich tan⁡θ\tan\theta?
    1. a)sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
    2. b)sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta
    3. c)1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}
    4. d)cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

    Lösung: sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}: Sinus oben, Kosinus unten. Der Bruch cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta} ist der Kotangens.

  2. 2.
    Welcher Term ist gleich cot⁡θ\cot\theta?
    1. a)sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
    2. b)sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta
    3. c)cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
    4. d)1cos⁡θ\frac{1}{\cos\theta}

    Lösung: cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

    cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. Achtung: 1cos⁡θ\frac{1}{\cos\theta} ist sec⁡θ\sec\theta, nicht cot⁡θ\cot\theta.

  3. 3.
    Für einen Winkel θ\theta gilt sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 und cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. Wie groß ist tan⁡θ\tan\theta?

    Lösung: 0.75

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=0,60,8=68=0,75\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = \frac{6}{8} = 0{,}75.

  4. 4.
    Für einen Winkel θ\theta gilt sin⁡θ=513\sin\theta = \frac{5}{13} und cos⁡θ=1213\cos\theta = \frac{12}{13}. Wie groß ist cot⁡θ\cot\theta? Gib einen Bruch an.

    Lösung: 12/5

    cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=12/135/13=125\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}.

  5. 5.
    Für einen Winkel θ\theta gilt sin⁡θ=817\sin\theta = \frac{8}{17} und cos⁡θ=1517\cos\theta = \frac{15}{17}. Bestimme tan⁡θ\tan\theta und cot⁡θ\cot\theta.

    Lösung: tan⁡θ=815\tan\theta = \frac{8}{15}, cot⁡θ=158\cot\theta = \frac{15}{8}

    1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}. Wie groß ist tan⁡θ\tan\theta als Bruch? 8/15
    2. cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. Wie groß ist cot⁡θ\cot\theta? 15/8
    3. Probe: Was ist tan⁡θ⋅cot⁡θ\tan\theta \cdot \cot\theta? 1
  6. 6.
    Für welchen Winkel ist tan⁡θ\tan\theta nicht definiert?
    1. a)0°0°
    2. b)180°180°
    3. c)90°90°
    4. d)45°45°

    Lösung: 90°90°

    tan⁡90°=sin⁡90°cos⁡90°=10\tan 90° = \frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0} ist nicht definiert. Bei 0°0° und 180°180° ist der Tangens 00, und tan⁡45°=1\tan 45° = 1.

  7. 7.
    Ohne Taschenrechner: Was ist tan⁡37°⋅cot⁡37°\tan 37° \cdot \cot 37°?

    Lösung: 1

    tan⁡37°⋅cot⁡37°=sin⁡37°cos⁡37°⋅cos⁡37°sin⁡37°=1\tan 37° \cdot \cot 37° = \frac{\sin 37°}{\cos 37°} \cdot \frac{\cos 37°}{\sin 37°} = 1, weil sich alles wegkürzt.

  8. 8.
    Vereinfache sin⁡θcot⁡θ\sin\theta \cot\theta und berechne den Wert bei θ=60°\theta = 60°.

    Lösung: sin⁡θcot⁡θ=cos⁡θ\sin\theta\cot\theta = \cos\theta, cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}

    1. Welcher Bruch ersetzt cot⁡θ\cot\theta? cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
    2. Kürze sin⁡θ\sin\theta in sin⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}. Was bleibt übrig? cos⁡θ\cos\theta
    3. Welchen Wert hat der Term bei θ=60°\theta = 60°? 1/2
  9. 9.
    Vereinfache cot⁡θcos⁡θ\frac{\cot\theta}{\cos\theta}.
    1. a)sec⁡θ\sec\theta
    2. b)tan⁡θ\tan\theta
    3. c)sin⁡θ\sin\theta
    4. d)csc⁡θ\csc\theta

    Lösung: csc⁡θ\csc\theta

    cot⁡θcos⁡θ=cos⁡θsin⁡θ⋅1cos⁡θ=1sin⁡θ=csc⁡θ\frac{\cot\theta}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta.

  10. 10.
    Für einen Winkel θ\theta gilt sin⁡θ=−0,8\sin\theta = -0{,}8 und cos⁡θ=0,6\cos\theta = 0{,}6. Wie groß ist tan⁡θ\tan\theta? Gib einen Bruch an.

    Lösung: -4/3

    tan⁡θ=−0,80,6=−86=−43\tan\theta = \frac{-0{,}8}{0{,}6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}. Der Winkel liegt im IV. Quadranten (x>0x > 0, y<0y < 0), wo der Tangens negativ ist.

  11. 11.
    Bestimme mit sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2} und cos⁡30°=32\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} die exakten Werte von tan⁡30°\tan 30° und cot⁡30°\cot 30°.

    Lösung: tan⁡30°=33\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}, cot⁡30°=3\cot 30° = \sqrt{3}

    1. Welcher Wert ist tan⁡30°=1/23/2\tan 30° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} (mit rationalem Nenner)? 33\frac{\sqrt{3}}{3}
    2. Welcher Wert ist cot⁡30°=3/21/2\cot 30° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}? 3\sqrt{3}
    3. Probe: Was ist tan⁡30°⋅cot⁡30°\tan 30° \cdot \cot 30°? 1
  12. 12.
    Vereinfache tan⁡θcsc⁡θ\tan\theta \csc\theta und berechne den Wert bei θ=60°\theta = 60°.

    Lösung: tan⁡θcsc⁡θ=sec⁡θ\tan\theta\csc\theta = \sec\theta, sec⁡60°=2\sec 60° = 2

    1. Welcher Bruch ersetzt tan⁡θ\tan\theta? sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
    2. Welcher Bruch ersetzt csc⁡θ\csc\theta? 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}
    3. Nach dem Kürzen von sin⁡θ\sin\theta bleibt 1cos⁡θ\frac{1}{\cos\theta}. Welche Funktion ist das? sec⁡θ\sec\theta
    4. Welchen Wert hat der Term bei θ=60°\theta = 60°? 2
  13. 13.
    Für 0°≤θ<360°0° \le \theta < 360°: Bei wie vielen Winkeln ist cot⁡θ\cot\theta nicht definiert?

    Lösung: 2

    1. Welcher Wert muss 00 sein, damit cot⁡θ\cot\theta nicht definiert ist? sin⁡θ\sin\theta
    2. Was ist der kleinste solche Winkel in diesem Intervall (in Grad)? 0
    3. Bei welchem anderen Winkel (in Grad) ist sin⁡θ=0\sin\theta = 0? 180
    4. Wie viele Winkel sind das? (360°360° gehört nicht zum Intervall.) 2
  14. 14.
    Der Winkel θ\theta liegt im II. Quadranten und sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}. Wie groß ist tan⁡θ\tan\theta?
    1. a)−43-\frac{4}{3}
    2. b)43\frac{4}{3}
    3. c)34\frac{3}{4}
    4. d)−34-\frac{3}{4}

    Lösung: −34-\frac{3}{4}

    cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}, und im II. Quadranten ist cos⁡θ=−45\cos\theta = -\frac{4}{5}. Also tan⁡θ=3/5−4/5=−34\tan\theta = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}.

  15. 15.
    Der Winkel θ\theta liegt im IV. Quadranten und cos⁡θ=513\cos\theta = \frac{5}{13}. Bestimme tan⁡θ\tan\theta und cot⁡θ\cot\theta.

    Lösung: tan⁡θ=−125\tan\theta = -\frac{12}{5}, cot⁡θ=−512\cot\theta = -\frac{5}{12}

    1. Verwende sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta. Wie groß ist sin⁡2θ\sin^2\theta? 144/169
    2. Wie groß ist sin⁡θ\sin\theta im IV. Quadranten? -12/13
    3. Wie groß ist tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}? -12/5
    4. Wie groß ist cot⁡θ\cot\theta? -5/12
  16. 16.
    Der Winkel θ\theta liegt im III. Quadranten und cos⁡θ=−0,28\cos\theta = -0{,}28. Wie groß ist cot⁡θ\cot\theta? Gib einen Bruch an.

    Lösung: 7/24

    sin⁡2θ=1−0,0784=0,9216\sin^2\theta = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216, also sin⁡θ=−0,96\sin\theta = -0{,}96. Dann ist cot⁡θ=−0,28−0,96=2896=724\cot\theta = \frac{-0{,}28}{-0{,}96} = \frac{28}{96} = \frac{7}{24} (positiv, wie im III. Quadranten).

  17. 17.
    Vereinfache sin⁡θtan⁡θ+cos⁡θcot⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta} + \frac{\cos\theta}{\cot\theta} und berechne den Wert für sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 und cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8.

    Lösung: cos⁡θ+sin⁡θ=75\cos\theta + \sin\theta = \frac{7}{5}

    1. Wozu vereinfacht sich sin⁡θtan⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta}? cos⁡θ\cos\theta
    2. Wozu vereinfacht sich cos⁡θcot⁡θ\frac{\cos\theta}{\cot\theta}? sin⁡θ\sin\theta
    3. Welchen Wert hat der Term für sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 und cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8? 1.4
  18. 18.
    Ein spitzer Winkel θ\theta erfüllt 3sin⁡θ=4cos⁡θ3\sin\theta = 4\cos\theta. Bestimme tan⁡θ\tan\theta, cot⁡θ\cot\theta, cos⁡θ\cos\theta und sin⁡θ\sin\theta.

    Lösung: tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3}, cot⁡θ=34\cot\theta = \frac{3}{4}, cos⁡θ=35\cos\theta = \frac{3}{5}, sin⁡θ=45\sin\theta = \frac{4}{5}

    1. Teile beide Seiten durch 3cos⁡θ3\cos\theta. Wie groß ist tan⁡θ\tan\theta? 4/3
    2. Wie groß ist cot⁡θ\cot\theta? 3/4
    3. Setze sin⁡θ=43cos⁡θ\sin\theta = \frac{4}{3}\cos\theta in sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 ein. Wie groß ist cos⁡θ\cos\theta (θ\theta ist spitz)? 3/5
    4. Wie groß ist sin⁡θ=43cos⁡θ\sin\theta = \frac{4}{3}\cos\theta? 4/5
Interaktive Lektion mit Schritt-für-Schritt-Lösungen und mehr Übungen (kostenlos): mathorio.com/de/learn/trigonometry/identities/quotient-identities
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche