Leitfaden für Lehrer: Quotientenidentitäten

Lerne, warum der Tangens gleich Sinus durch Kosinus und der Kotangens gleich Kosinus durch Sinus ist, wo sie definiert sind und wie du damit Terme vereinfachst.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Trigonometrische Identitäten. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ und $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis herleiten
Angeben, wo Tangens und Kotangens nicht definiert sind, und begründen, warum
$\tan\theta$ und $\cot\theta$ aus gegebenen Werten von $\sin\theta$ und $\cos\theta$ bestimmen, mit den richtigen Vorzeichen in jedem Quadranten
Terme mit $\tan$ , $\cot$ , $\sec$ und $\csc$ in Sinus und Kosinus umschreiben
Kurze trigonometrische Terme mit den Quotientenidentitäten vereinfachen

Voraussetzungen

• Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse)
• Der Einheitskreis: der Punkt $(\cos\theta, \sin\theta)$ und die Vorzeichen in den vier Quadranten
• Kehrwert-Identitäten ( $\csc$ , $\sec$ , $\cot$ )
• Pythagoreische Identitäten, vor allem $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Brüche dividieren und kürzen

Diskussionsstarter

1. Warum verschwindet die Hypotenuse, wenn du $\sin\theta$ durch $\cos\theta$ teilst?
2. Was sagt dir $\tan\theta$ am Einheitskreis über den Radius zum Punkt $(\cos\theta, \sin\theta)$ ?
3. Warum hat $\tan\theta$ bei $90°$ keinen Wert, $\cot 90°$ aber schon?
4. Wenn $\tan\theta$ negativ ist, in welchen Quadranten kann $\theta$ liegen, und warum?
5. Warum ist es oft hilfreich, vor dem Vereinfachen jede Funktion in Sinus und Kosinus umzuschreiben?

Häufige Missverständnisse

Tangens und Kotangens sind eigene Funktionen, die nichts mit Sinus und Kosinus zu tun haben

Abhilfe: Zeichne $y = \tan x$ und $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ gemeinsam und schalte sie ein und aus. Berechne dann beide bei einigen Winkeln mit dem Taschenrechner, zum Beispiel bei $40°$ .

Die Identität gilt für jeden Winkel, auch für $90°$

Abhilfe: Berechne gemeinsam mit der Klasse $\frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0}$ und verbinde das mit der senkrechten Asymptote des Tangensgraphen. Betone die Bedingungen $\cos\theta \neq 0$ und $\sin\theta \neq 0$ .

$\frac{\sin a}{\cos b}$ ist für beliebige zwei Winkel ein Tangens

Abhilfe: Lass die Lernenden $\frac{\sin 40°}{\cos 20°}$ berechnen und mit $\tan 20°$ und $\tan 40°$ vergleichen; keiner der Werte passt.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit einem 3-4-5-Dreieck beginnen und $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ als Seitenverhältnisse berechnen, bevor die Identität verwendet wird
• Zuerst nur Winkel im I. Quadranten und positive Werte verwenden
• Eine Karte mit beiden Quotientenidentitäten und den zwei Definitionsbedingungen ausgeben

Für Schüler auf Niveau:

• $\tan\theta$ und $\cot\theta$ aus $\sin\theta$ und $\cos\theta$ in allen vier Quadranten bestimmen
• Produkte aus zwei oder drei Faktoren wie $\cot\theta\sin\theta\sec\theta$ umschreiben und vereinfachen
• Jede Vereinfachung bei einem Winkel mit dem Taschenrechner nachprüfen

Für fortgeschrittene Schüler:

• $\sin\theta$ und $\cos\theta$ bestimmen, wenn nur $\tan\theta$ und der Quadrant gegeben sind
• Erklären, warum $\tan\theta$ die Steigung des Radius ist, und damit den Winkel einer Ursprungsgeraden bestimmen
• Ausblick auf die Analysis: mit der Quotientenregel auf $\frac{\sin x}{\cos x}$ die Ableitung von $\tan x$ bestimmen

Standardausrichtung

HSF-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)
Den trigonometrischen Pythagoras beweisen und damit sin, cos oder tan aus einem der Werte und dem Quadranten des Winkels bestimmen
HSF-TF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.2)
Erklären, wie der Einheitskreis die trigonometrischen Funktionen auf alle reellen Zahlen erweitert
HSG-SRT.C.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.C.6)
Verstehen, dass Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck die trigonometrischen Verhältnisse für spitze Winkel festlegen

Lektionsressourcen

visualIdentitäten Schritt für Schritt beweisen
Sieh zu, wie $\tan\theta\cos\theta$ , $\cot\theta\sin\theta$ und $\tan\theta\cot\theta$ zu $\sin\theta$ , $\cos\theta$ und $1$ werden, mit einer Zahlenprobe live
visualZwei Graphen, eine Kurve
Schalte $y = \tan x$ und $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ ein und aus und sieh, dass sie samt Asymptoten übereinanderliegen
activityDreiecke vermessen
Die Schülerinnen und Schüler zeichnen rechtwinklige Dreiecke, messen die Seiten und prüfen, dass $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ gleich $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ ist
worksheetIn Sinus und Kosinus umschreiben
Zehn kurze Terme, die mit den Quotienten- und Kehrwert-Identitäten umgeschrieben und vereinfacht werden

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Quotientenidentitäten schreiben Tangens und Kotangens als Quotienten (eine Division) von Sinus und Kosinus desselben Winkels:

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

Woher sie kommen: das rechtwinklige Dreieck

Für einen spitzen Winkel

\theta

in einem rechtwinkligen Dreieck gilt

\sin\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

und

\cos\theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

. Teilst du sie durcheinander, kürzt sich die Hypotenuse weg:

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{Gegenkathete}/\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}/\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \tan\theta

Woher sie kommen: der Einheitskreis

Der Winkel

\theta

trifft den Einheitskreis im Punkt

P = (\cos\theta, \sin\theta)

. Die Steigung des Radius

OP

ist

\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

, und diese Steigung ist

\tan\theta

. Das gilt für jeden Winkel, nicht nur für spitze, deshalb stimmen die Vorzeichen in allen vier Quadranten.

Wo sie definiert sind

$\tan\theta$ ist nicht definiert, wenn $\cos\theta = 0$ ist: bei $90°$ , $270°$ , ... (also $\theta = 90° + k \cdot 180°$ ).
$\cot\theta$ ist nicht definiert, wenn $\sin\theta = 0$ ist: bei $0°$ , $180°$ , $360°$ , ... (also $\theta = k \cdot 180°$ ).

Verbindung zu den Kehrwert-Identitäten

Nach den Kehrwert-Identitäten ist

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

. Den Bruch

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

umzudrehen ergibt

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

, beide Sichtweisen passen also zusammen, und

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

gilt überall dort, wo beide definiert sind.

Lösungsbeispiele

Für einen Winkel

\theta

gilt

\sin\theta = \frac{3}{5}

und

\cos\theta = \frac{4}{5}

. Bestimme

\tan\theta

und

\cot\theta

Schreibe die Quotientenidentität für den Tangens auf

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}

→ Die beiden Brüche dividieren

Dividiere (die Fünftel kürzen sich)

\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

→

\tan\theta = \frac{3}{4}

Verwende die Quotientenidentität für den Kotangens

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}

→

\cot\theta = \frac{4}{3}

Prüfe mit der Kehrwert-Identität

\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1

→ Stimmt

Antwort: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ und $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Häufige Fehler

$\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ schreiben

Warum es falsch ist: Der Bruch steht auf dem Kopf: Das ist der Kotangens. Am Einheitskreis ist der Tangens die Steigung $\frac{y}{x}$ , und $y = \sin\theta$ .

Richtig: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (Sinus oben, wie $y$ durch $x$ ) und $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Behaupten, $\tan 90° = 0$ oder $\cot 0° = 0$

Warum es falsch ist: Bei $90°$ ist der Kosinus $0$ , und durch $0$ darfst du nicht teilen. Bei $0°$ ist der Sinus $0$ , also hat der Kotangens den Nenner null.

Richtig: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ ist nicht definiert, und $\cot 0° = \frac{1}{0}$ ist nicht definiert. Der Graph von $\tan$ hat dort senkrechte Asymptoten.

Zwei Winkel mischen: $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ oder $\tan 40°$

Warum es falsch ist: Die Identität gilt nur, wenn Sinus und Kosinus denselben Winkel haben.

Richtig: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$ , aber $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ ist weder $\tan 20° \approx 0{,}364$ noch $\tan 40° \approx 0{,}839$ .

Das Vorzeichen in den Quadranten II, III und IV verlieren

Warum es falsch ist: Oft wird für $\cos\theta$ oder $\sin\theta$ die positive Wurzel genommen, und dann ist $\tan\theta > 0$ überall.

Richtig: Bestimme zuerst die Vorzeichen aus dem Quadranten: Im II. Quadranten ist $\sin > 0$ , $\cos < 0$ , also $\tan\theta < 0$ ; im III. Quadranten sind beide negativ, also $\tan\theta > 0$ .

Warum es wichtig ist

Die Quotientenidentitäten sind die Brücke, mit der du jeden trigonometrischen Term in Sinus und Kosinus umschreibst:

Vereinfachen: $\tan$ und $\cot$ als Brüche aus $\sin$ und $\cos$ zu schreiben ist der erste Schritt fast jeder Vereinfachung und jedes Beweises, die in diesem Thema folgen
Exakte Werte: Kennst du $\sin\theta$ und $\cos\theta$ (vom Einheitskreis oder aus einem Dreieck), bekommst du $\tan\theta$ und $\cot\theta$ mit einer einzigen Division
Steigungen und Winkel: Die Steigung einer Geraden, einer Straße oder einer Rampe ist der Tangens ihres Steigungswinkels
Physik: Ein Körper auf einer schiefen Ebene beginnt zu rutschen, wenn die Reibungszahl kleiner als $\tan\theta$ ist, und Schattenlängen berechnest du mit $\cot\theta$
Analysis: Die Ableitung von $\tan x$ findest du, indem du $\frac{\sin x}{\cos x}$ schreibst und die Quotientenregel anwendest

Anwendungen im echten Leben

Skipisten und Straßensteigungen

Die Steigung eines Hangs (Höhenunterschied durch waagrechte Strecke) ist der Tangens seines Steigungswinkels. Ein Sensor im Handy misst Sinus und Kosinus der Neigung, und die App dividiert sie.

Beispiel:

Ein Hang mit $\sin\theta = 0{,}6$ und $\cos\theta = 0{,}8$ hat $\tan\theta = 0{,}75$ : Er fällt um $75$ m pro $100$ m waagrechter Strecke.

1Probiere es selbst

Ein Neigungssensor auf einer Skipiste misst $\sin\theta = 0{,}6$ und $\cos\theta = 0{,}8$ . Die Abfahrt ist waagrecht gemessen $200$ m lang.

Wie viele Meter Höhenunterschied hat die Abfahrt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Höhenunterschied = $\tan\theta \times$ waagrechte Strecke:

Reibung auf einer Rampe

Eine Kiste auf einer Rampe bleibt liegen, solange die Haftreibungszahl $\mu$ mindestens $\tan\theta$ ist. Ingenieure bestimmen damit, wie steil Förderbänder und Laderampen sein dürfen.

Beispiel:

Auf einer Rampe mit $\tan\theta = 0{,}5$ bleibt eine Kiste mit $\mu = 0{,}6$ liegen, eine Kiste mit $\mu = 0{,}4$ rutscht.

2Probiere es selbst

Eine Laderampe hat $\sin\theta = \frac{9}{41}$ und $\cos\theta = \frac{40}{41}$ . Eine Kunststoffkiste darauf hat die Haftreibungszahl $\mu = 0{,}2$ .

Wie groß ist die kleinste Haftreibungszahl, bei der eine Kiste auf dieser Rampe liegen bleibt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Kleinstes $\mu$ = $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ :

Schattenlängen

Steht die Sonne unter dem Höhenwinkel $\theta$, wirft ein Mast der Höhe $h$ einen Schatten der Länge $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Architekten planen damit Schatten und Sonnenlicht.

Beispiel:

Steht die Sonne bei $45°$ , ist $\cot 45° = 1$ , also wirft jeder Gegenstand einen Schatten, der so lang ist wie er hoch ist.

3Probiere es selbst

Mittags hat der Höhenwinkel der Sonne $\sin\theta = 0{,}96$ und $\cos\theta = 0{,}28$ . Ein Fahnenmast ist $12$ m hoch.

Wie lang ist der Schatten des Fahnenmasts in Metern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schatten = $12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ und $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , immer für denselben Winkel $\theta$
2Im rechtwinkligen Dreieck kürzt sich die Hypotenuse: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
3Am Einheitskreis ist $\tan\theta$ die Steigung $\frac{y}{x}$ des Radius zum Punkt $(\cos\theta, \sin\theta)$ , deshalb gilt sie in jedem Quadranten
4 $\tan\theta$ ist nicht definiert, wo $\cos\theta = 0$ ( $90°$ , $270°$ , ...); $\cot\theta$ ist nicht definiert, wo $\sin\theta = 0$ ( $0°$ , $180°$ , ...)
5 $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ überall dort, wo beide definiert sind
6Zum Vereinfachen schreibst du zuerst alles in $\sin$ und $\cos$ um und kürzt dann gemeinsame Faktoren

Häufig gestellte Fragen

Warum heißen sie Quotientenidentitäten?

Ein Quotient ist das Ergebnis einer Division. Diese Identitäten drücken

\tan

und

\cot

als eine Funktion geteilt durch eine andere aus:

\sin\theta \div \cos\theta

und

\cos\theta \div \sin\theta

Ist $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ eine Quotientenidentität oder eine Kehrwert-Identität?

Beide Sichtweisen führen zum selben Ergebnis. Die Kehrwert-Identität sagt

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

; ersetzt du

\tan\theta

durch

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

und drehst den Bruch um, erhältst du die Quotientenform

\frac{\cos\theta}{\sin\theta}

. Die Quotientenform funktioniert sogar bei

90°

, wo

\tan

nicht definiert ist, aber

\cot 90° = \frac{0}{1} = 0

Warum haben $y = \tan x$ und $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ denselben Graphen?

Weil es dieselbe Funktion ist. Beide haben senkrechte Asymptoten, wo

\cos x = 0

ist (

x = \pm 90°, \pm 270°, ...

), und Nullstellen, wo

\sin x = 0

ist. Schalte im Graphen oben die beiden Kurven ein und aus: Sie liegen genau übereinander.

Kann ich eine Quotientenidentität mit dem Taschenrechner prüfen?

Ja. Gib im Gradmodus

\sin(40) / \cos(40)

und

\tan(40)

ein: Beide ergeben ungefähr

0{,}8391

. Eine Zahlenprobe bei einigen Winkeln ist ein guter Test, aber nur eine algebraische Begründung beweist eine Identität für alle Winkel.

Glossar

Quotient: Das Ergebnis einer Division, zum Beispiel ist $\frac{a}{b}$ der Quotient von $a$ und $b$
Quotientenidentitäten: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ und $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Identität: Eine Gleichung, die für jeden Wert der Variablen gilt, für den beide Seiten definiert sind
Kotangens ( $\cot$ ): Das Verhältnis $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ , der Kehrwert des Tangens
Definitionsmenge: Die Menge der Winkel, für die ein Term definiert ist; für $\tan\theta$ alle Winkel mit $\cos\theta \neq 0$

Formelkarte

Tangens

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Definiert für $\cos\theta \neq 0$

Kotangens

\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Definiert für $\sin\theta \neq 0$

Produkt

\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Wo beide definiert sind

Rechtwinkliges Dreieck

\tan\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Die Hypotenuse kürzt sich in $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Woher sie kommen: das rechtwinklige Dreieck

Woher sie kommen: der Einheitskreis

Wo sie definiert sind

Verbindung zu den Kehrwert-Identitäten

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Skipisten und Straßensteigungen

Reibung auf einer Rampe

Schattenlängen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Tangens

Kotangens

Produkt

Rechtwinkliges Dreieck

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