Leitfaden für Lehrer: Kehrwert-Identitäten
Lerne die Kehrwert-Winkelfunktionen (Kosekans, Sekans, Kotangens) und ihre Beziehungen zu Sinus, Kosinus und Tangens.
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10 Fragen zu Trigonometrische Identitäten. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.
Für Lehrer
- Kosekans, Sekans und Kotangens als Kehrwerte von Sinus, Kosinus und Tangens definieren
- Kehrwertfunktionen für besondere Winkel auswerten
- Ausdrücke mit Kehrwert-Identitäten vereinfachen
- Erkennen, wann Kehrwertfunktionen undefiniert sind
- Kehrwert-Identitäten anwenden, um andere trigonometrische Identitäten zu beweisen
- • Verständnis von Sinus, Kosinus und Tangens
- • Kenntnis der Werte besonderer Winkel (30°, 45°, 60°)
- • Vertrautheit mit dem Einheitskreis
- • Grundlegende Bruchrechenoperationen einschließlich Division
- 1. Warum haben Mathematiker wohl eigene Namen für Kehrwertfunktionen erfunden, anstatt einfach Brüche zu schreiben?
- 2. Kannst du dir eine Situation vorstellen, in der der Wert von zwischen -1 und 1 liegt?
- 3. Wenn sehr klein aber positiv ist, was kannst du über sagen?
- 4. Wie hängen die Graphen von und zusammen?
Glauben, dass immer der Kehrwert des ähnlich klingenden Winkels ist (denken, sec bezieht sich auf sin)
Denken, dass Kehrwertfunktionen denselben Definitionsbereich haben wie ihre Gegenstücke
Für Schüler mit Schwierigkeiten:
- • Konzentriere dich zunächst nur auf die drei grundlegenden Kehrwertbeziehungen
- • Verwende nur besondere Winkel (30°, 45°, 60°) mit exakten Werten
- • Stelle eine Referenzkarte mit allen Kehrwert-Identitäten bereit
Für Schüler auf Niveau:
- • Werte Kehrwertfunktionen an verschiedenen Einheitskreiswinkeln aus
- • Vereinfache Ausdrücke mit mehreren Kehrwertfunktionen
- • Beweise einfache Identitäten mit Kehrwertbeziehungen
Für fortgeschrittene Schüler:
- • Zeichne Kehrwertfunktionen und analysiere Asymptoten
- • Beweise komplexere Identitäten mit Kehrwertbeziehungen
- • Erkunde die Ableitungen von Kehrwertfunktionen (Vorschau auf Analysis)
- HSF-TF.C.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.8)
Die pythagoreische Identität beweisen und sie verwenden, um trigonometrische Verhältnisse zu finden
- HSF-TF.B.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.7)
Umkehrfunktionen verwenden, um trigonometrische Gleichungen zu lösen
- visualGraphen der Kehrwertfunktionen
Vergleiche die Graphen von sin/csc, cos/sec, tan/cot
- activityZuordnungsspiel
Ordne Winkelfunktionswerte ihren Kehrwerten zu
- worksheetVereinfachungsübungen
Vereinfache Ausdrücke mit Kehrwert-Identitäten
Lektionsinhalt
Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.
Lektionsinhalt
Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.
Definition
Die Kehrwertfunktionen
Warum Kehrwert?
Im rechtwinkligen Dreieck
Lösungsbeispiele
Berechne und
Erinnere dich an
→
Wende die Kehrwert-Identität an
→
Erinnere dich an
→
Wende die Kehrwert-Identität an
→
Antwort: und
Häufige Fehler
Verwechslung von mit
Warum es falsch ist: Die Abkürzungen sehen ähnlich aus, aber es sind völlig verschiedene Funktionen. Kosekans ist der Kehrwert von Sinus, nicht direkt mit Kosinus verwandt.
Richtig: Merke: (Ko-sekans) bezieht sich auf (seine Ko-Funktion). Denke: csc = 1/sin
Denken, dass
Warum es falsch ist: Das Präfix Ko bedeutet nicht bei allen Funktionen bezogen auf Kosinus. Kotangens ist speziell der Kehrwert von Tangens.
Richtig:
Vergessen, dass Kehrwertfunktionen undefiniert sind, wenn ihre Gegenstücke null sind
Warum es falsch ist: Division durch null ist undefiniert. Wenn , existiert nicht.
Richtig: ist undefiniert bei (wo )
Warum es wichtig ist
- Vereinfachung von Ausdrücken: Viele komplexe trigonometrische Ausdrücke werden einfacher durch Umschreiben mit Kehrwerten
- Lösen von Gleichungen: Manche trigonometrische Gleichungen sind in Kehrwertform leichter zu lösen
- Analysis: Die Ableitungen und Integrale der Kehrwertfunktionen erscheinen häufig
- Physik und Technik: Wellenbewegung, Schwingungen und Signalverarbeitung nutzen diese Funktionen
- Identitäten beweisen: Das Beweisen trigonometrischer Identitäten erfordert oft das Umwandeln zwischen Formen
Anwendungen im echten Leben
Elektrotechnik
Kehrwert-Winkelfunktionen erscheinen bei der Analyse von Wechselstromkreisen, besonders bei der Berechnung von Impedanz und Phasenwinkeln in RLC-Schaltkreisen.
Beispiel:
In der Schaltungsanalyse beschreibt die Kotangensfunktion die Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom in bestimmten reaktiven Schaltkreisen.
Physik - Wurfbewegung
Bei der Analyse von Reichweite und Flugbahn von Projektilen erscheinen Sekans und Kosekans in Formeln mit Abwurfwinkeln.
Beispiel:
Die maximale Höhe eines Projektils kann enthalten, wenn bestimmte Beziehungen hergeleitet werden.
Navigation und Vermessung
Vermesser und Navigatoren verwenden Kehrwertfunktionen bei der Berechnung von Entfernungen und Winkeln, die indirekt leichter zu messen sind.
Beispiel:
Bei der Messung der Höhe eines hohen Gebäudes kann erscheinen, wenn mit dem gemessenen Winkel aus bekannter Entfernung gearbeitet wird.
Wichtige Erkenntnisse
- 1 (Kosekans ist der Kehrwert von Sinus)
- 2 (Sekans ist der Kehrwert von Kosinus)
- 3 (Kotangens ist der Kehrwert von Tangens)
- 4Kehrwertfunktionen sind undefiniert, wenn ihre Gegenstücke null sind
- 5Merke: sin-csc, cos-sec, tan-cot sind Kehrwertpaare
Häufig gestellte Fragen
Warum brauchen wir Kehrwertfunktionen, wenn wir bereits sin, cos und tan haben?
Wie merke ich mir, welche Funktion der Kehrwert von welcher ist?
Wann ist undefiniert?
Glossar
- Kehrwert
- Das multiplikative Inverse einer Zahl; für ist der Kehrwert
- Kosekans ()
- Der Kehrwert von Sinus:
- Sekans ()
- Der Kehrwert von Kosinus:
- Kotangens ()
- Der Kehrwert von Tangens:
- Identität
- Eine Gleichung, die für alle gültigen Werte der Variable wahr ist
Formelkarte
Kosekans
Der Kehrwert von Sinus
Sekans
Der Kehrwert von Kosinus
Kotangens
Der Kehrwert von Tangens
Kotangens (alt)
Als Verhältnis ausgedrückt