Kehrwert-Identitäten

Lerne die Kehrwert-Winkelfunktionen (Kosekans, Sekans, Kotangens) und ihre Beziehungen zu Sinus, Kosinus und Tangens.

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Definition

Die Kehrwert-Identitäten definieren drei zusätzliche Winkelfunktionen als Kehrwerte von Sinus, Kosinus und Tangens.

Die Kehrwertfunktionen

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Warum Kehrwert?

Ein Kehrwert ist das, womit man eine Zahl multipliziert, um 1 zu erhalten. Der Kehrwert von xx ist 1x\frac{1}{x}.
Da sin⁡θ⋅csc⁡θ=1\sin\theta \cdot \csc\theta = 1, ist der Kosekans der Kehrwert des Sinus.

Im rechtwinkligen Dreieck

Wenn sin⁡θ=GegenkatheteHypotenuse\sin\theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}, dann:
csc⁡θ=HypotenuseGegenkathete\csc\theta = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}
Entsprechend:
  • sec⁡θ=HypotenuseAnkathete\sec\theta = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}
  • cot⁡θ=AnkatheteGegenkathete\cot\theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}

Probier es gleich aus

Was ist die Kehrwert-Identität für Kosekans?

Lösungsbeispiele

Berechne csc⁡30°\csc 30° und sec⁡60°\sec 60°
1

Erinnere dich an sin⁡30°\sin 30°

sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}
2

Wende die Kehrwert-Identität an

csc⁡30°=1sin⁡30°=112\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → csc⁡30°=2\csc 30° = 2
3

Erinnere dich an cos⁡60°\cos 60°

cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}
4

Wende die Kehrwert-Identität an

sec⁡60°=1cos⁡60°=112\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → sec⁡60°=2\sec 60° = 2

Häufige Fehler

Verwechslung von csc⁡θ\csc\theta mit cos⁡θ\cos\theta

Warum es falsch ist: Die Abkürzungen sehen ähnlich aus, aber es sind völlig verschiedene Funktionen. Kosekans ist der Kehrwert von Sinus, nicht direkt mit Kosinus verwandt.

Richtig: Merke: csc⁡\csc (Ko-sekans) bezieht sich auf sin⁡\sin (seine Ko-Funktion). Denke: csc = 1/sin

Denken, dass cot⁡θ=1cos⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\cos\theta}

Warum es falsch ist: Das Präfix Ko bedeutet nicht bei allen Funktionen bezogen auf Kosinus. Kotangens ist speziell der Kehrwert von Tangens.

Richtig: cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Vergessen, dass Kehrwertfunktionen undefiniert sind, wenn ihre Gegenstücke null sind

Warum es falsch ist: Division durch null ist undefiniert. Wenn sin⁡θ=0\sin\theta = 0, existiert csc⁡θ\csc\theta nicht.

Richtig: csc⁡θ\csc\theta ist undefiniert bei θ=0°,180°,360°,...\theta = 0°, 180°, 360°, ... (wo sin⁡θ=0\sin\theta = 0)

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -360x = -180x = 0x = 180x = 360x = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270x = -360x = -180x = 0x = 180x = 360

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

  • sin(a) · csc(a) = 1
  • cos(a) · sec(a) = 1
  • tan(a) · cot(a) = 1
  • csc(a) = 2
  • sec(a) = 1,15
  • cot(a) = 1,73

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Einheitskreis

Grad

0°

Bogenmaß

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Koordinaten (cos, sin)

(1, 0)

Klicke und ziehe, um den Winkel im Einheitskreis zu drehen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was ist die Kehrwert-Identität für Kosekans?

Warum es wichtig ist

Kehrwert-Identitäten sind wichtig für:
  • Vereinfachung von Ausdrücken: Viele komplexe trigonometrische Ausdrücke werden einfacher durch Umschreiben mit Kehrwerten
  • Lösen von Gleichungen: Manche trigonometrische Gleichungen sind in Kehrwertform leichter zu lösen
  • Analysis: Die Ableitungen und Integrale der Kehrwertfunktionen erscheinen häufig
  • Physik und Technik: Wellenbewegung, Schwingungen und Signalverarbeitung nutzen diese Funktionen
  • Identitäten beweisen: Das Beweisen trigonometrischer Identitäten erfordert oft das Umwandeln zwischen Formen

Anwendungen im echten Leben

Elektrotechnik

Kehrwert-Winkelfunktionen erscheinen bei der Analyse von Wechselstromkreisen, besonders bei der Berechnung von Impedanz und Phasenwinkeln in RLC-Schaltkreisen.

Beispiel:

In der Schaltungsanalyse beschreibt die Kotangensfunktion die Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom in bestimmten reaktiven Schaltkreisen.

Physik - Wurfbewegung

Bei der Analyse von Reichweite und Flugbahn von Projektilen erscheinen Sekans und Kosekans in Formeln mit Abwurfwinkeln.

Beispiel:

Die maximale Höhe eines Projektils kann csc⁡2θ\csc^2\theta enthalten, wenn bestimmte Beziehungen hergeleitet werden.

Navigation und Vermessung

Vermesser und Navigatoren verwenden Kehrwertfunktionen bei der Berechnung von Entfernungen und Winkeln, die indirekt leichter zu messen sind.

Beispiel:

Bei der Messung der Höhe eines hohen Gebäudes kann csc⁡θ\csc\theta erscheinen, wenn mit dem gemessenen Winkel aus bekannter Entfernung gearbeitet wird.

Wichtige Erkenntnisse

  • 1csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} (Kosekans ist der Kehrwert von Sinus)
  • 2sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} (Sekans ist der Kehrwert von Kosinus)
  • 3cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} (Kotangens ist der Kehrwert von Tangens)
  • 4Kehrwertfunktionen sind undefiniert, wenn ihre Gegenstücke null sind
  • 5Merke: sin-csc, cos-sec, tan-cot sind Kehrwertpaare

Häufig gestellte Fragen

Kehrwertfunktionen vereinfachen viele Berechnungen. csc⁡θ\csc\theta zu schreiben ist sauberer als 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, und viele Formeln werden eleganter. In der Analysis haben die Ableitungen dieser Funktionen eigene Muster, die es wert sind, gelernt zu werden.
Kehrwertfunktionen vereinfachen viele Berechnungen. csc⁡θ\csc\theta zu schreiben ist sauberer als 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, und viele Formeln werden eleganter. In der Analysis haben die Ableitungen dieser Funktionen eigene Muster, die es wert sind, gelernt zu werden.
Beachte, dass Funktionen ohne Ko mit Funktionen gepaart sind, die Ko haben: Sinus paart sich mit Ko-sekans, und Ko-sinus paart sich mit Sekans. Tangens paart sich mit Ko-tangens.
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} ist undefiniert, wenn cos⁡θ=0\cos\theta = 0, was bei θ=90°,270°\theta = 90°, 270° (oder π2,3π2\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} im Bogenmaß) auftritt.

Glossar

Kehrwert
Das multiplikative Inverse einer Zahl; für xx ist der Kehrwert 1x\frac{1}{x}
Kosekans (csc⁡\csc)
Der Kehrwert von Sinus: csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
Sekans (sec⁡\sec)
Der Kehrwert von Kosinus: sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
Kotangens (cot⁡\cot)
Der Kehrwert von Tangens: cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}
Identität
Eine Gleichung, die für alle gültigen Werte der Variable wahr ist

Formelkarte

Kosekans

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

Der Kehrwert von Sinus

Sekans

sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

Der Kehrwert von Kosinus

Kotangens

cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

Der Kehrwert von Tangens

Kotangens (alt)

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Als Verhältnis ausgedrückt

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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