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Mathorio

Lösungen

Additionstheoreme

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

  1. 1.
    Welcher Term ist gleich sin⁡(A+B)\sin(A + B)?
    1. a)sin⁡Asin⁡B+cos⁡Acos⁡B\sin A \sin B + \cos A \cos B
    2. b)cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B
    3. c)sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B + \cos A \sin B
    4. d)sin⁡A+sin⁡B\sin A + \sin B

    Lösung: sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B + \cos A \sin B

    sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B. Die Option sin⁡A+sin⁡B\sin A + \sin B ist der klassische Fehler, und cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B ist cos⁡(A+B)\cos(A + B).

  2. 2.
    Vereinfache ohne Taschenrechner: sin⁡70∘cos⁡20∘+cos⁡70∘sin⁡20∘\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ

    Lösung: 1

    Das ist das Additionstheorem für den Sinus rückwärts: sin⁡(70∘+20∘)=sin⁡90∘=1\sin(70^\circ + 20^\circ) = \sin 90^\circ = 1.

  3. 3.
    Berechne cos⁡(90∘−30∘)\cos(90^\circ - 30^\circ) mit dem Additionstheorem für den Kosinus einer Differenz.

    Lösung: 12\frac{1}{2}

    1. Was ist cos⁡90∘\cos 90^\circ? 0
    2. Was ist sin⁡90∘\sin 90^\circ? 1
    3. Berechne cos⁡90∘cos⁡30∘+sin⁡90∘sin⁡30∘\cos 90^\circ \cos 30^\circ + \sin 90^\circ \sin 30^\circ. 1/2
  4. 4.
    Welcher Term ist gleich cos⁡(A−B)\cos(A - B)?
    1. a)sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B - \cos A \sin B
    2. b)cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B
    3. c)cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B + \sin A \sin B
    4. d)cos⁡A−cos⁡B\cos A - \cos B

    Lösung: cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B + \sin A \sin B

    cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. Mit Minuszeichen wäre es cos⁡(A+B)\cos(A + B), und sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B - \cos A \sin B ist sin⁡(A−B)\sin(A - B).

  5. 5.
    Vereinfache ohne Taschenrechner: cos⁡50∘cos⁡10∘−sin⁡50∘sin⁡10∘\cos 50^\circ \cos 10^\circ - \sin 50^\circ \sin 10^\circ

    Lösung: 1/2

    cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B), also ist der Term cos⁡(50∘+10∘)=cos⁡60∘=12\cos(50^\circ + 10^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.

  6. 6.
    Berechne sin⁡105∘\sin 105^\circ mit 105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.

    Lösung: 6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    1. Berechne sin⁡60∘cos⁡45∘=32⋅22\sin 60^\circ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (exakt, etwa sqrt(6)/4, oder auf 4 Nachkommastellen). 0.6124
    2. Berechne cos⁡60∘sin⁡45∘=12⋅22\cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (exakt oder auf 4 Nachkommastellen). 0.3536
    3. Addiere die exakten Produkte 64+24\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} und runde erst am Ende (die gerundeten Produkte ergeben 0,9660). Gib sin⁡105∘\sin 105^\circ auf 4 Nachkommastellen gerundet an. 0.9659
  7. 7.
    Was ist der exakte Wert von sin⁡75∘\sin 75^\circ?
    1. a)3+14\frac{\sqrt{3} + 1}{4}
    2. b)12+22\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
    3. c)6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
    4. d)6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    Lösung: 6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=64+24=6+24≈0,9659\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659. Die Option 12+22\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} ist sin⁡30∘+sin⁡45∘≈1,21\sin 30^\circ + \sin 45^\circ \approx 1{,}21, größer als 1, also kein Sinuswert.

  8. 8.
    Berechne tan⁡15∘\tan 15^\circ über tan⁡(45∘−30∘)\tan(45^\circ - 30^\circ) mit tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 und tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}. Runde auf 4 Nachkommastellen.

    Lösung: 0.2679

    tan⁡15∘=1−331+33=3−33+3=2−3≈0,2679\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}2679.

  9. 9.
    sin⁡A=513\sin A = \frac{5}{13} mit AA im I. Quadranten und cos⁡B=−35\cos B = -\frac{3}{5} mit BB im II. Quadranten. Bestimme sin⁡(A+B)\sin(A + B).

    Lösung: 3365\frac{33}{65}

    1. Was ist cos⁡A\cos A? 12/13
    2. Was ist sin⁡B\sin B? 4/5
    3. Berechne sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B als Bruch. 33/65
  10. 10.
    Berechne cos⁡75∘\cos 75^\circ mit 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ.

    Lösung: 6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

    1. Berechne cos⁡45∘cos⁡30∘=22⋅32\cos 45^\circ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (exakt oder auf 4 Nachkommastellen). 0.6124
    2. Berechne sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅12\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} (exakt oder auf 4 Nachkommastellen). 0.3536
    3. Subtrahiere das zweite Produkt vom ersten. Gib cos⁡75∘\cos 75^\circ auf 4 Nachkommastellen gerundet an. 0.2588
  11. 11.
    Welcher Wert ist gleich cos⁡80∘cos⁡20∘+sin⁡80∘sin⁡20∘\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ?
    1. a)cos⁡60∘\cos 60^\circ
    2. b)sin⁡100∘\sin 100^\circ
    3. c)cos⁡100∘\cos 100^\circ
    4. d)sin⁡60∘\sin 60^\circ

    Lösung: cos⁡60∘\cos 60^\circ

    cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A−B)\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B), also ist der Term cos⁡(80∘−20∘)=cos⁡60∘\cos(80^\circ - 20^\circ) = \cos 60^\circ. Wer cos⁡100∘\cos 100^\circ wählt, hat das Vorzeichen fälschlich beibehalten.

  12. 12.
    sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5} und cos⁡B=1213\cos B = \frac{12}{13}, mit AA und BB im I. Quadranten. Bestimme cos⁡(A+B)\cos(A + B) als Bruch.

    Lösung: 16/65

    cos⁡(A+B)=35⋅1213−45⋅513=3665−2065=1665\cos(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{16}{65}.

  13. 13.
    tan⁡A=2\tan A = 2 und tan⁡B=3\tan B = 3, wobei AA und BB spitze Winkel sind. Bestimme tan⁡(A+B)\tan(A + B) und den Winkel A+BA + B.

    Lösung: tan⁡(A+B)=−1\tan(A + B) = -1, A+B=135∘A + B = 135^\circ

    1. Was ist der Zähler tan⁡A+tan⁡B\tan A + \tan B? 5
    2. Was ist der Nenner 1−tan⁡Atan⁡B1 - \tan A \tan B? -5
    3. Was ist tan⁡(A+B)\tan(A + B)? -1
    4. A+BA + B liegt zwischen 0∘0^\circ und 180∘180^\circ. Welcher Winkel dort hat den Tangens −1-1? (in Grad) 135
  14. 14.
    sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} mit AA im I. Quadranten. Nutze cos⁡(A+B)\cos(A + B) mit B=AB = A, um cos⁡2A\cos 2A zu bestimmen.

    Lösung: 725\frac{7}{25}

    1. Was ist cos⁡A\cos A? 4/5
    2. Was ist cos⁡Acos⁡A\cos A \cos A? 16/25
    3. Was ist sin⁡Asin⁡A\sin A \sin A? 9/25
    4. Was ist cos⁡2A=cos⁡Acos⁡A−sin⁡Asin⁡A\cos 2A = \cos A \cos A - \sin A \sin A? 7/25
  15. 15.
    Was ist der exakte Wert von cos⁡165∘\cos 165^\circ? (Tipp: 165∘=120∘+45∘165^\circ = 120^\circ + 45^\circ)
    1. a)6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
    2. b)6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
    3. c)2−64\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
    4. d)−6+24-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    Lösung: −6+24-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    cos⁡165∘=cos⁡120∘cos⁡45∘−sin⁡120∘sin⁡45∘=−24−64=−6+24≈−0,9659\cos 165^\circ = \cos 120^\circ \cos 45^\circ - \sin 120^\circ \sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx -0{,}9659. Der Wert muss negativ und nahe bei −1-1 sein, weil 165∘165^\circ nahe bei 180∘180^\circ liegt.

  16. 16.
    cos⁡A=−35\cos A = -\frac{3}{5} mit AA im II. Quadranten und sin⁡B=−513\sin B = -\frac{5}{13} mit BB im III. Quadranten. Bestimme sin⁡(A−B)\sin(A - B) als Bruch.

    Lösung: -63/65

    sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5} und cos⁡B=−1213\cos B = -\frac{12}{13}. sin⁡(A−B)=45⋅(−1213)−(−35)⋅(−513)=−4865−1565=−6365\sin(A - B) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65}.

  17. 17.
    cos⁡A=−45\cos A = -\frac{4}{5} mit AA im III. Quadranten und sin⁡B=1213\sin B = \frac{12}{13} mit BB im II. Quadranten. Bestimme cos⁡(A+B)\cos(A + B).

    Lösung: 5665\frac{56}{65}

    1. Was ist sin⁡A\sin A? -3/5
    2. Was ist cos⁡B\cos B? -5/13
    3. Berechne cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B als Bruch. 56/65
  18. 18.
    Berechne tan⁡105∘\tan 105^\circ mit 105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.

    Lösung: −2−3-2 - \sqrt{3}

    1. Was ist der Zähler tan⁡60∘+tan⁡45∘\tan 60^\circ + \tan 45^\circ? (exakt, etwa sqrt(3)+1, oder auf 4 Nachkommastellen) 2.7321
    2. Was ist der Nenner 1−tan⁡60∘tan⁡45∘1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ (exakt oder auf 4 Nachkommastellen)? -0.7321
    3. Teile die exakten Werte 3+11−3\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} und runde erst am Ende (mit den gerundeten Werten kommt -3,7319 heraus). Gib tan⁡105∘\tan 105^\circ auf 4 Nachkommastellen gerundet an. -3.7321
Interaktive Lektion mit Schritt-für-Schritt-Lösungen und mehr Übungen (kostenlos): mathorio.com/de/learn/trigonometry/identities/sum-difference-identities
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche