Leitfaden für Lehrer: Additionstheoreme

Lerne die Additionstheoreme für Sinus, Kosinus und Tangens, berechne exakte Werte wie sin 75° und verbinde Winkel aus verschiedenen Quadranten.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Trigonometrische Identitäten. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Additionstheoreme für Sinus, Kosinus und Tangens angeben
Exakte Werte für Winkel wie 15°, 75°, 105° und 165° aus besonderen Winkeln bestimmen
sin(A + B), cos(A + B) und tan(A + B) aus gegebenen Werten mit den Vorzeichen der Quadranten berechnen
Einen ausmultiplizierten Term wie sin 70° cos 20° + cos 70° sin 20° erkennen und vereinfachen
Die Doppelwinkelformeln aus den Additionstheoremen herleiten

Voraussetzungen

• Exakte Werte von sin, cos und tan für 30°, 45°, 60° und der Einheitskreis
• Pythagoreische Identitäten: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen in den vier Quadranten
• Komplementbeziehungen sowie gerade und ungerade Identitäten
• Brüche mit Quadratwurzeln vereinfachen

Diskussionsstarter

1. Warum kann sin 30° + sin 60° nicht der Sinus irgendeines Winkels sein?
2. Warum wechselt die Kosinusformel das Vorzeichen, die Sinusformel aber nicht? Teste A = B = 45°.
3. 75° = 45° + 30° und 75° = 120° - 45°. Ergeben beide denselben exakten Wert? Warum?
4. Wie erhältst du die Doppelwinkelformeln in einem Schritt aus den Additionstheoremen?
5. In welchen echten Situationen addieren sich zwei Winkel, und wo bräuchtest du diese Formeln?

Häufige Missverständnisse

Trigonometrische Funktionen lassen sich über Summen verteilen: $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Abhilfe: Teste mit $A = 30^\circ$ , $B = 60^\circ$ : Die linke Seite ist 1, die rechte etwa 1,366. Nutze dann den Graphen mit Schiebereglern: Die rote Kurve $\sin x + \sin b$ trennt sich für jedes $b$ außer $0^\circ$ von $\sin(x + b)$ .

Die Vorzeichen in allen Formeln entsprechen dem Vorzeichen zwischen A und B

Abhilfe: Lass die Lernenden $\cos(45^\circ + 45^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ mit beiden Vorzeichen testen. Nur die Minus-Version ergibt 0. Zusammenfassung: Sinus behält, Kosinus wechselt, Tangens behält oben und wechselt unten.

Ein mit $\sqrt{1 - \sin^2 A}$ berechneter Wert ist immer positiv

Abhilfe: Vor dem Rechnen den Winkel in seinem Quadranten am Einheitskreis einzeichnen und das Vorzeichen zuerst notieren. Das Endergebnis mit dem Taschenrechner und dem tatsächlichen Winkel vergleichen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Eine Formelkarte und eine Tabelle besonderer Werte geben, zuerst nur Sinus und Kosinus von Summen üben
• Nur exakte Werte (75°, 15°) üben, bevor Quadrantenaufgaben kommen
• Jedes exakte Ergebnis mit dem Taschenrechner prüfen, um Sicherheit zu gewinnen

Für Schüler auf Niveau:

• Alle exakten Werte von 15°, 75°, 105°, 165° für Sinus, Kosinus und Tangens bestimmen
• Quadrantenaufgaben zu sin(A ± B) und cos(A ± B) lösen
• Terme vereinfachen, indem man ein ausmultipliziertes Additionstheorem erkennt

Für fortgeschrittene Schüler:

• Das Additionstheorem für cos(A - B) mit der Abstandsformel am Einheitskreis beweisen
• Die Dreifachwinkelformel sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A aus sin(2A + A) herleiten
• a cos t + b sin t als eine Welle R sin(t + φ) schreiben und R und φ bestimmen

Standardausrichtung

F-TF.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.9)
Die Additions- und Subtraktionsformeln für Sinus, Kosinus und Tangens beweisen und zum Lösen von Aufgaben verwenden
F-TF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.3)
Mit besonderen Dreiecken die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für π/3, π/4 und π/6 geometrisch bestimmen

Lektionsressourcen

visualGraph zum Additionstheorem
Schieberegler für a und b zeigen, dass sin(a + b) gleich sin a cos b + cos a sin b ist, sin a + sin b dagegen nicht
visualBeweise Schritt für Schritt
Leite sin(x + 90°) = cos x, cos(180° - x) = -cos x und tan(x + 45°) Regel für Regel her, mit numerischer Probe
activityJagd nach exakten Werten
Gruppen bauen 15°, 75°, 105°, 165° auf zwei verschiedene Arten aus besonderen Winkeln auf und vergleichen die Ergebnisse
worksheetKombinationen von Quadranten
Gegeben sin A und cos B mit Quadranten: bestimme sin(A ± B), cos(A ± B) und den Quadranten von A + B

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Additionstheoreme liefern Sinus, Kosinus und Tangens von

A + B

oder

A - B

allein aus den Werten von

A

und

B

Sinus

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Kosinus

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangens

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

So merkst du dir die Vorzeichen:

Der Sinus behält das Vorzeichen: $+$ in $A + B$ ergibt $+$ in der Formel, und er mischt Sinus mit Kosinus.
Der Kosinus wechselt das Vorzeichen: $A + B$ ergibt ein Minus, $A - B$ ein Plus, und er paart Kosinus mit Kosinus, Sinus mit Sinus.
Tangens: Der Zähler behält das Vorzeichen, der Nenner wechselt es.

Wichtig:

\sin(A + B)

ist nicht

\sin A + \sin B

. Zum Beispiel ist

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, aber

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Mit den besonderen Winkeln

30^\circ

45^\circ

und

60^\circ

liefern diese Formeln exakte Werte für neue Winkel wie

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

und

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Setzt du

B = A

, erhältst du die Doppelwinkelformeln.

Lösungsbeispiele

Bestimme den exakten Wert von

\sin 75^\circ

Schreibe $75^\circ$ als Summe besonderer Winkel

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Wende das Additionstheorem für den Sinus an

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Zwei Produkte bekannter Werte

Setze die exakten Werte ein

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Prüfe mit dem Taschenrechner

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

und

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ Die Werte stimmen überein

Antwort: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Häufige Fehler

Schreiben von $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Warum es falsch ist: Der Sinus ist keine lineare Funktion, du darfst ihn nicht über eine Summe verteilen. Mit $A = 30^\circ$ und $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , aber $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , und das ist gar kein möglicher Sinuswert.

Richtig: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Bewege die Schieberegler im Graphen: Die rote Kurve $\sin x + \sin b$ löst sich von den beiden anderen.

Das Vorzeichen in der Kosinusformel beibehalten: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Warum es falsch ist: Der Kosinus wechselt das Vorzeichen. Teste mit $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , aber $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Richtig: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ und $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Jeden fehlenden Wert positiv nehmen, z. B. $\cos A = \frac{4}{5}$ , wenn $\sin A = \frac{3}{5}$ und $A$ im II. Quadranten liegt

Warum es falsch ist: Der trigonometrische Pythagoras liefert nur den Betrag. Der Quadrant entscheidet über das Vorzeichen, und ein falsches Vorzeichen verändert das ganze Ergebnis.

Richtig: Nutze den Quadranten: Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ, also $\cos A = -\frac{4}{5}$ . Merke: I. Quadrant alle positiv, II. nur Sinus, III. nur Tangens, IV. nur Kosinus.

Im Nenner von $\tan(A + B)$ die Form $1 + \tan A \tan B$ verwenden

Warum es falsch ist: In der Tangensformel behält der Zähler das Vorzeichen, der Nenner wechselt es, genau wie beim Kosinus.

Richtig: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ und $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Warum es wichtig ist

Die Additionstheoreme sind die Grundformeln, aus denen die meisten anderen trigonometrischen Identitäten entstehen:

Exakte Werte: Der Taschenrechner liefert $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , das Additionstheorem dagegen den exakten Wert $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , den Prüfungen und Beweise brauchen.
Weitere Identitäten: Doppelwinkel, Halbwinkel und die Komplementregeln folgen alle daraus (setze $B = A$ oder $A = 90^\circ$ ).
Wellen und Schall: In der Physik schreibt man $3\sin t + 4\cos t$ als eine einzige Welle $5\sin(t + \varphi)$ , um ihre Amplitude abzulesen.
Drehungen: Jedes Computerspiel und jeder Roboterarm dreht Punkte mit $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ und $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , und das ist genau das Additionstheorem.
Winkel zwischen Geraden: Das Additionstheorem für den Tangens liefert den Winkel zwischen zwei Straßen, Rampen oder Dachlinien direkt aus ihren Steigungen.

Anwendungen im echten Leben

Zwei Wellen zusammenfassen

In Physik und Elektronik beschreibt eine Summe wie $3\sin t + 4\cos t$ zwei überlagerte Wellen. Das Additionstheorem für den Sinus zeigt, dass es eine einzige Welle $R\sin(t + \varphi)$ ist, und $R$ ist ihre Amplitude (wie laut oder wie stark sie ist).

Beispiel:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . Der Vergleich mit $3\sin t + 4\cos t$ ergibt $R\cos\varphi = 3$ und $R\sin\varphi = 4$ .

1Probiere es selbst

Ein Signal ist $3\sin t + 4\cos t$ . Du möchtest es als $R\sin(t + \varphi)$ mit $R > 0$ schreiben.

Wie groß ist die Amplitude $R$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Punkte drehen in Spielen und Robotik

Ein Punkt mit Abstand $r$ und Winkel $\alpha$ hat die Koordinaten $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Eine Drehung um $\beta$ ergibt den Winkel $\alpha + \beta$, und die Additionstheoreme machen daraus die Drehformeln $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ und $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Beispiel:

Drehung von $(1, 0)$ um $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ und $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , der Punkt wandert also nach $(0, 1)$ .

2Probiere es selbst

Ein Roboterarm hält ein Werkzeug im Punkt $(4, 3)$ . Er dreht sich um einen Winkel $\beta$ mit $\cos\beta = 0{,}8$ und $\sin\beta = 0{,}6$ .

Wie lautet die neue $y$ -Koordinate des Werkzeugs?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

Der Winkel zwischen zwei Straßen

Eine Gerade mit Steigung $m$ bildet mit der $x$-Achse einen Winkel $\theta$ mit $\tan\theta = m$. Das Additionstheorem für den Tangens einer Differenz liefert den Winkel zwischen zwei Geraden direkt aus ihren Steigungen, was Planer für Kreuzungen, Rampen und Dachlinien nutzen.

Beispiel:

Geraden mit den Steigungen $1$ und $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , sie schneiden sich also unter $45^\circ$ .

3Probiere es selbst

Auf einer Karte hat eine Straße die Steigung $3$ und eine zweite Straße die Steigung $\frac{1}{2}$ .

Wie groß ist der Winkel zwischen den Straßen in Grad?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ mit $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : Der Sinus behält das Vorzeichen und mischt Sinus mit Kosinus
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : Der Kosinus wechselt das Vorzeichen
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : Der Zähler behält das Vorzeichen, der Nenner wechselt es
4Exakte Werte für $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ entstehen aus Summen und Differenzen von $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (und $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Bei Winkeln in anderen Quadranten bestimmst du den fehlenden Sinus oder Kosinus mit dem trigonometrischen Pythagoras und nimmst das Vorzeichen aus dem Quadranten
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; mit $B = A$ erhältst du die Doppelwinkelformeln

Häufig gestellte Fragen

Warum gibt es keine einfache Regel wie $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ?

Weil der Sinus keine lineare Funktion ist. Verdoppelst du einen Winkel, verdoppelt sich sein Sinus nicht:

\sin 30^\circ = 0{,}5

, aber

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, nicht

1

. Das Additionstheorem ist der richtige Ersatz für diese falsche Regel.

Wie hängen die Additionstheoreme mit den Doppelwinkelformeln zusammen?

Setze

B = A

. Dann ist

\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A

und

\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A

. Die Tangensformel liefert

\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

Welches Paar besonderer Winkel soll ich nehmen?

Jedes Paar, das den Winkel ergibt, funktioniert:

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

oder

60^\circ - 45^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

oder

135^\circ + 30^\circ

. Verschiedene Paare führen zum selben Endwert.

Wann ist $\tan(A + B)$ nicht definiert?

Wenn

1 - \tan A \tan B = 0

ist, also wenn

\tan A \tan B = 1

. Dann ist

A + B

gleich

90^\circ

(oder

270^\circ

), wo der Tangens nicht existiert. Beispiel:

\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1

und

30^\circ + 60^\circ = 90^\circ

Glossar

Additionstheorem (Summe): Eine Formel für eine trigonometrische Funktion von $A + B$ , z. B. $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Additionstheorem (Differenz): Eine Formel für eine trigonometrische Funktion von $A - B$ , z. B. $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Exakter Wert: Ein Wert aus ganzen Zahlen, Brüchen und Wurzeln wie $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ statt einer gerundeten Dezimalzahl
Besondere Winkel: $30^\circ$ , $45^\circ$ und $60^\circ$ (und ihre Verwandten am Einheitskreis), deren Sinus, Kosinus und Tangens exakt bekannt sind
Vorzeichen im Quadranten: Das Vorzeichen eines trigonometrischen Werts in jedem Quadranten: I alle positiv, II Sinus, III Tangens, IV Kosinus

Formelkarte

Sinus einer Summe

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Behält das Vorzeichen, mischt Sinus und Kosinus

Sinus einer Differenz

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Minus zwischen den beiden Produkten

Kosinus einer Summe

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

Das Vorzeichen wechselt zu Minus

Kosinus einer Differenz

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Das Vorzeichen wechselt zu Plus

Tangens einer Summe

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Zähler behält, Nenner wechselt das Vorzeichen

Tangens einer Differenz

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Zähler minus, Nenner plus

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Leitfaden für Lehrer: Additionstheoreme

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Sinus

Kosinus

Tangens

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Zwei Wellen zusammenfassen

Punkte drehen in Spielen und Robotik

Der Winkel zwischen zwei Straßen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Sinus einer Summe

Sinus einer Differenz

Kosinus einer Summe

Kosinus einer Differenz

Tangens einer Summe

Tangens einer Differenz

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