Kosinusverhältnis (CAH)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels gleich:
1. a)Hypotenuse / Ankathete
2. b)Gegenkathete / Ankathete
3. c)Ankathete / Hypotenuse
4. d)Gegenkathete / Hypotenuse
Lösung: Ankathete / Hypotenuse
CAH steht für Kosinus = Ankathete / Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist immer das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.
2.
Was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Dies ist ein spezieller Winkelwert aus dem 30-60-90-Dreieck. Beachte, dass , weil dies Komplementwinkel sind.
3.
Was ist ?
Lösung: 1
. Dies ist der Maximalwert des Kosinus. Bei 0 Grad ist die Ankathete gleich der Hypotenuse, was uns gibt.
4.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete und die Hypotenuse ist . Was ist ?
Lösung: 0,8
.
5.
Was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. In einem 30-60-90-Dreieck ist die dem 30-Grad-Winkel anliegende Seite mal die kurze Kathete. Außerdem gilt .
6.
Ein Kabel ist Meter lang und bildet einen -Winkel mit dem Boden. Wie weit von der Basis ist das Kabel verankert? (Benutze cos(50) = 0,643, runde auf 1 Dezimalstelle)
Lösung: 7,7
Ankathete = Hypotenuse x cos(50) = 12 x 0,643 = 7,716 Meter, gerundet 7,7 Meter.
7.
Eine Rampe überbrückt eine horizontale Distanz von Metern und bildet einen -Winkel mit dem Boden. Wie lang ist die Rampe? (Benutze cos(15) = 0,966)
Lösung: 8,28
1. Was ist die Ankathete (horizontale Distanz)? 8
2. Was ist die gesuchte Unbekannte? Hypotenuse
3. Schreibe die Formel: Hypotenuse = Ankathete / cos(theta). Was ist 8 / 0,966? 8,28
8.
Ein Hubschrauber fliegt km in einem Steigwinkel von . Wie viel horizontale Distanz legt er zurück? (Benutze cos(25) = 0,906)
Lösung: 2,72
1. Was ist die Hypotenuse (Flugbahnentfernung)? 3
2. Was suchen wir? (die horizontale Distanz) Ankathete
3. Berechne: Ankathete = 3 x 0,906 = ? 2,72
9.
Welche Formel würdest du verwenden, um die Hypotenuse zu finden, wenn du die Ankathete und den Winkel kennst?
1. a)Hypotenuse = cos(theta) / Ankathete
2. b)Hypotenuse = Ankathete + cos(theta)
3. c)Hypotenuse = Ankathete x cos(theta)
4. d)Hypotenuse = Ankathete / cos(theta)
Lösung: Hypotenuse = Ankathete / cos(theta)
Ausgehend von cos(theta) = Ankathete/Hypotenuse, multipliziere beide Seiten mit Hypotenuse: Hypotenuse x cos(theta) = Ankathete. Dann teile beide Seiten durch cos(theta): Hypotenuse = Ankathete / cos(theta).
10.
Eine Leiter ist Meter lang und ihre Basis ist Meter von der Wand entfernt. Welchen Winkel bildet die Leiter mit dem Boden? (Runde auf den nächsten Grad)
Lösung: 71
1. Berechne cos(theta) = Ankathete/Hypotenuse = 2/6 = ? 0,333
2. Um den Winkel zu finden, verwende den Arkuskosinus: theta = cos^-1(0,333). Was ist das Ergebnis in Grad? 71
11.
Ein Stützdraht für einen Turm ist Meter lang und bildet einen -Winkel mit dem Boden. Wie weit vom Turmfuß ist der Draht verankert? (Benutze cos(55) = 0,574, runde auf 1 Dezimalstelle)
Lösung: 14,4
Entfernung = 25 x cos(55) = 25 x 0,574 = 14,35 Meter, gerundet 14,4 Meter.
12.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete cm und die Hypotenuse ist cm. Finde den Winkel theta. (Runde auf den nächsten Grad)
Lösung: 53
1. Berechne cos(theta) = Ankathete/Hypotenuse = 9/15 = ? 0,6
2. Finde theta = cos^-1(0,6). Was ist der Winkel in Grad? 53
13.
Was ist der Wert von ? (Gib deine Antwort als Dezimalzahl mit 3 Nachkommastellen an)
Lösung: 0,707
. Dieser Wert kommt von einem gleichschenklig-rechtwinkligen 45-45-90-Dreieck. Beachte: cos(45) = sin(45).
14.
Wenn , was ist der Wert von theta?
1. a)30 Grad
2. b)90 Grad
3. c)60 Grad
4. d)45 Grad
Lösung: 60 Grad
. Das liegt daran, dass . Merke: .
15.
Ein Dach hat eine horizontale Spannweite von Metern. Wenn das Dach einen -Winkel zur Horizontalen hat, wie lang ist die schräge Dachoberfläche? (Benutze cos(20) = 0,940, runde auf 2 Dezimalstellen)
Lösung: 12,77
1. Was ist die Ankathete (horizontale Spannweite)? 12
2. Was ist die Unbekannte (schräge Dachoberfläche)? Hypotenuse
3. Berechne Hypotenuse = Ankathete / cos(20) = 12 / 0,940 = ? 12,77