Resolver sistemas por el método gráfico

Aprende a resolver sistemas de ecuaciones lineales graficando ambas rectas y encontrando su punto de intersección.

Intermedio25 minLección
Ficha imprimible

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables. Para resolver un sistema gráficamente:
  1. 1.Grafica cada ecuación en el mismo plano cartesiano
  2. 2.Encuentra el punto donde las rectas se intersecan
  3. 3.El punto de intersección (x,y)(x, y) es la solución
{y=2x+1y=−x+4\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}
La solución satisface ambas ecuaciones simultáneamente.

Pruébalo ahora

Si dos rectas son paralelas, ¿cuántas soluciones tiene el sistema?

Ejemplos resueltos

Resuelve el sistema gráficamente:
{y=x+1y=−x+5\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}
1

Grafica la primera recta y=x+1y = x + 1

Ordenada al origen: (0,1)(0, 1). Pendiente: 11 (1 arriba, 1 derecha). Puntos: (0,1)(0, 1), (1,2)(1, 2), (2,3)(2, 3) → Recta 1 graficada
2

Grafica la segunda recta y=−x+5y = -x + 5

Ordenada al origen: (0,5)(0, 5). Pendiente: −1-1 (1 abajo, 1 derecha). Puntos: (0,5)(0, 5), (1,4)(1, 4), (2,3)(2, 3) → Recta 2 graficada
3

Encuentra dónde se intersecan las rectas

Ambas rectas pasan por (2,3)(2, 3) → Intersección: (2,3)(2, 3)
4

Verifica la solución

Verifica y=x+1y = x + 1: 3=2+13 = 2 + 1 \checkmark Verifica y=−x+5y = -x + 5: 3=−2+53 = -2 + 5 \checkmark → Solución verificada

Errores comunes

Leer incorrectamente el punto de intersección de la gráfica

Por qué está mal: Las gráficas pueden ser imprecisas, especialmente cuando la intersección tiene coordenadas no enteras.

Correcto: Siempre verifica tu respuesta sustituyendo en AMBAS ecuaciones originales.

Olvidar verificar la solución en ambas ecuaciones

Por qué está mal: Un punto podría satisfacer una ecuación pero no la otra.

Correcto: La solución debe funcionar en AMBAS ecuaciones. Verifica cada una por separado.

Asumir que las rectas paralelas tienen solución

Por qué está mal: Rectas con la misma pendiente pero diferentes ordenadas al origen nunca se intersecan.

Correcto: Si las pendientes son iguales y las ordenadas al origen diferentes, NO hay solución (sistema incompatible).

Errores de graficación por cálculo incorrecto de la pendiente

Por qué está mal: La pendiente debe aplicarse correctamente. Una pendiente de −2-2 significa 2 abajo, 1 derecha.

Correcto: Para pendiente positiva: sube y ve a la derecha. Para pendiente negativa: baja y ve a la derecha.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-4-202468-4-202468xy(2; 3)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = x + 1y = mx + b
  • Punto de intersección: (2; 3)

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = x + 1

m=1, b=1

y = -x + 5

m=-1, b=5

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
¿Qué representa la solución de un sistema de ecuaciones en una gráfica?

Por qué es importante

Resolver sistemas de ecuaciones gráficamente te ayuda a visualizar soluciones y entender relaciones entre ecuaciones:
  • Negocios: ¿Dónde los ingresos igualan los costos? (punto de equilibrio)
  • Física: ¿Cuándo se encuentran dos objetos en movimiento?
  • Economía: ¿Dónde la oferta iguala la demanda? (precio de equilibrio)
  • Planificación: ¿Cuándo coinciden dos horarios o presupuestos?
¡Ver la intersección hace que el álgebra abstracta sea concreta!

Aplicaciones del mundo real

Análisis del punto de equilibrio

Las empresas usan sistemas para encontrar cuándo los ingresos igualan los costos.

Ejemplo:

Los costos de una empresa son y=500+2xy = 500 + 2x (500 euros fijos + 2 euros por artículo) y los ingresos son y=5xy = 5x (5 euros por artículo vendido). El punto de equilibrio es donde estas rectas se cruzan.

1Inténtalo tú mismo

Ecuación de costos: y=200+3xy = 200 + 3x. Ecuación de ingresos: y=8xy = 8x.

¿A qué cantidad los costos igualan los ingresos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Iguala las ecuaciones: 200+3x=8x200 + 3x = 8x

Problema del punto de encuentro

Determina cuándo y dónde se encontrarán dos objetos en movimiento.

Ejemplo:

El auto A comienza 10 km adelante y viaja a 60 km/h. El auto B comienza en el origen y viaja a 80 km/h. Sus posiciones son y=60x+10y = 60x + 10 y y=80xy = 80x. ¿Dónde se encuentran?

2Inténtalo tú mismo

Tren A: y=50x+20y = 50x + 20 (comienza 20 km adelante, 50 km/h). Tren B: y=70xy = 70x (comienza en el origen, 70 km/h).

¿Después de cuántas horas el tren B alcanzará al tren A?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Iguala las posiciones: 50x+20=70x50x + 20 = 70x

Oferta y demanda

Los economistas encuentran el equilibrio donde la oferta iguala la demanda.

Ejemplo:

Oferta: y=2x+10y = 2x + 10 (el precio aumenta con la cantidad). Demanda: y=−x+40y = -x + 40 (el precio disminuye con la cantidad). El equilibrio es donde estas curvas se cruzan.

3Inténtalo tú mismo

Oferta: y=3x+5y = 3x + 5. Demanda: y=−2x+30y = -2x + 30.

¿Cuáles son el precio y la cantidad de equilibrio?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Iguala oferta y demanda: 3x+5=−2x+303x + 5 = -2x + 30

Puntos clave

  • 1Para resolver un sistema gráficamente, grafica ambas rectas y encuentra su intersección
  • 2El punto de intersección (x,y)(x, y) es la solución que satisface AMBAS ecuaciones
  • 3Si las rectas son paralelas (misma pendiente, diferentes ordenadas): SIN solución (incompatible)
  • 4Si las rectas coinciden: INFINITAS soluciones (dependiente)
  • 5Siempre verifica sustituyendo la solución en ambas ecuaciones originales

Preguntas frecuentes

La graficación puede ser imprecisa para soluciones no enteras. En tales casos, los métodos algebraicos (sustitución o eliminación) dan respuestas exactas. Sin embargo, puedes estimar desde la gráfica y verificar algebraicamente.
La graficación puede ser imprecisa para soluciones no enteras. En tales casos, los métodos algebraicos (sustitución o eliminación) dan respuestas exactas. Sin embargo, puedes estimar desde la gráfica y verificar algebraicamente.
Compara las pendientes. Si ambas ecuaciones tienen la misma pendiente (coeficiente de xx en la forma y=mx+by = mx + b) pero diferentes ordenadas al origen, las rectas son paralelas.
No. Dos rectas pueden intersecarse como máximo una vez. Un sistema de ecuaciones lineales tiene 0, 1, o infinitas soluciones.

Glosario

Sistema de ecuaciones
Dos o más ecuaciones con las mismas variables que se resuelven juntas
Solución de un sistema
Un par ordenado (x,y)(x, y) que hace verdaderas TODAS las ecuaciones del sistema
Sistema compatible
Un sistema que tiene al menos una solución (las rectas se intersecan o coinciden)
Sistema incompatible
Un sistema sin solución (rectas paralelas que nunca se encuentran)
Sistema dependiente
Un sistema donde ambas ecuaciones representan la misma recta (infinitas soluciones)
Sistema independiente
Un sistema con exactamente una solución (dos rectas distintas que se intersecan)
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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