Introducción a los sistemas de ecuaciones

Aprende qué son los sistemas de ecuaciones y descubre cómo dos ecuaciones pueden trabajar juntas para encontrar una solución única.

Intermedio25 minLección
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Definición

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables. La solución de un sistema es el conjunto de valores que hace que TODAS las ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo.
Por ejemplo, el sistema:
{x+y=5x−y=1\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
tiene la solución x=3x = 3 e y=2y = 2, porque:
  • 3+2=53 + 2 = 5 (primera ecuación verdadera)
  • 3−2=13 - 2 = 1 (segunda ecuación verdadera)
Gráficamente, la solución es el punto donde se intersecan las dos rectas.

Pruébalo ahora

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Ejemplos resueltos

¿Es (x,y)=(4,3)(x, y) = (4, 3) una solución del sistema: x+y=7x + y = 7 y 2x−y=52x - y = 5?
1

Sustituir en la primera ecuación

x+y=4+3=7x + y = 4 + 3 = 7 → Primera ecuación: 7=77 = 7 es VERDADERO
2

Sustituir en la segunda ecuación

2x−y=2(4)−3=8−3=52x - y = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5 → Segunda ecuación: 5=55 = 5 es VERDADERO
3

Verificar si AMBAS se satisfacen

Primera ecuación: VERDADERO, Segunda ecuación: VERDADERO → Ambas ecuaciones están satisfechas

Errores comunes

Verificar solo una ecuación y declarar que es una solución

Por qué está mal: Una solución debe satisfacer TODAS las ecuaciones del sistema, no solo una.

Correcto: Siempre sustituye tu respuesta en cada ecuación para verificar que funciona para todas.

Confundir la solución (3,2)(3, 2) con (2,3)(2, 3)

Por qué está mal: En los pares ordenados, el primer número es xx y el segundo es yy. ¡El orden importa!

Correcto: Siempre escribe las soluciones en el orden correcto: (x,y)(x, y). Etiqueta tu trabajo claramente.

Pensar que las rectas paralelas tienen una solución

Por qué está mal: Las rectas paralelas nunca se intersecan, por lo que no hay ningún punto que esté en ambas.

Correcto: Si dos rectas son paralelas (misma pendiente, diferente ordenada al origen), el sistema no tiene solución.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-202468-202468xy(2; 3)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = x + 1y = -x + 5
  • Punto de intersección: (2; 3)

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = x + 1

m=1, b=1

y = -x + 5

m=-1, b=5

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Por qué es importante

Los sistemas de ecuaciones nos ayudan a resolver problemas con múltiples incógnitas:
  • Negocios: Determinar el precio de artículos cuando se conocen los costos totales de diferentes pedidos
  • Química: Equilibrar ecuaciones químicas y problemas de mezclas
  • Ingeniería: Calcular fuerzas en estructuras con múltiples puntos de apoyo
  • Vida cotidiana: Averiguar cuántos artículos de cada tipo compró alguien cuando se conoce el total y el costo total
¡Siempre que tengas dos incógnitas y dos datos, los sistemas de ecuaciones son la herramienta a usar!

Aplicaciones del mundo real

Problemas de compras

Determinar precios individuales cuando solo se conocen los totales combinados.

Ejemplo:

Si 3 manzanas y 2 naranjas cuestan 11 euros, y 2 manzanas y 3 naranjas cuestan 9 euros, puedes encontrar el precio de cada fruta usando un sistema de ecuaciones.

1Inténtalo tú mismo

Una tienda vende cuadernos y bolígrafos. Emma compra 2 cuadernos y 3 bolígrafos por 13 euros. Tom compra 4 cuadernos y 1 bolígrafo por 17 euros.

¿Cuál es el precio de un cuaderno?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Plantea el sistema: 2c+3b=132c + 3b = 13 y 4c+b=174c + b = 17

Problemas de mezclas

Combinar diferentes sustancias para lograr una concentración o cantidad objetivo.

Ejemplo:

Mezclar una solución de ácido al 10% con una solución de ácido al 30% para crear 100 mL de una solución al 22%.

2Inténtalo tú mismo

Una química necesita 50 litros de una solución de alcohol al 60%. Tiene disponible una solución al 40% y otra al 80%.

¿Cuántos litros de la solución al 80% necesita?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Sea xx = litros al 40%, yy = litros al 80%. Plantea: x+y=50x + y = 50 y 0,4x+0,8y=0,6(50)0,4x + 0,8y = 0,6(50)

Puntos clave

  • 1Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones con las mismas variables
  • 2La solución son los valores que hacen TODAS las ecuaciones verdaderas simultáneamente
  • 3Gráficamente, la solución es el punto de intersección de las rectas
  • 4Para verificar una solución, sustituye los valores en cada ecuación y comprueba
  • 5Los sistemas pueden tener una solución (rectas secantes), ninguna solución (rectas paralelas) o infinitas soluciones (misma recta)

Preguntas frecuentes

Si las rectas son paralelas (misma pendiente pero diferentes ordenadas al origen), nunca se encuentran y el sistema no tiene solución. Lo llamamos un sistema incompatible.
Si las rectas son paralelas (misma pendiente pero diferentes ordenadas al origen), nunca se encuentran y el sistema no tiene solución. Lo llamamos un sistema incompatible.
Si las dos ecuaciones representan la misma recta, entonces cada punto de esa recta es una solución. Esto da infinitas soluciones. Lo llamamos un sistema dependiente o indeterminado.
Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones (toda una recta de puntos). La segunda ecuación lo reduce a un punto específico donde se cumplen ambas condiciones.

Glosario

Sistema de ecuaciones
Un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables y se resuelven juntas
Solución de un sistema
El par ordenado (o pares) que satisface todas las ecuaciones del sistema simultáneamente
Sistema compatible determinado
Un sistema que tiene exactamente una solución
Sistema incompatible
Un sistema sin solución (rectas paralelas)
Sistema compatible indeterminado
Un sistema donde las ecuaciones representan la misma recta, dando infinitas soluciones
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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