Potencia de una potencia

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Simplifica $(x^3)^4$ .
1. a) $x^{7}$
2. b) $x^{81}$
3. c) $x^{12}$
4. d) $4x^{3}$
Respuesta: $x^{12}$
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ . La respuesta $x^7$ sale de sumar los exponentes, que es la regla para $x^3 \cdot x^4$ .
2.
$(2^3)^2 = 2^{\square}$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 6
$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$ . Comprobación: $8^2 = 64$ y $2^6 = 64$ .
3.
Simplifica $(a^5)^2$ escribiéndolo primero como un producto.
Respuesta: a^10
1. ¿Cuántos factores $a^5$ hay en $(a^5)^2$ ? 2
2. $a^5 \cdot a^5 = a^{?}$ (suma los exponentes) 10
3. Comprueba con el atajo: $5 \cdot 2 = ?$ 10
4.
Calcula $(3^2)^2$ .
Respuesta: 81
$(3^2)^2 = 9^2 = 81$ . Con la regla: $3^{2 \cdot 2} = 3^4 = 81$ .
5.
¿Qué expresión es igual a $(5y)^2$ ?
1. a) $25y^2$
2. b) $25y$
3. c) $10y^2$
4. d) $5y^2$
Respuesta: $25y^2$
$(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$ . En $5y^2$ se olvida elevar el $5$ al cuadrado, y $10y^2$ multiplica $5$ por $2$ en lugar de elevarlo al cuadrado.
6.
Compara $(2^2)^3$ y $(2^3)^2$ .
Respuesta: 64
1. $(2^2)^3 = 2^{?}$ 6
2. $(2^3)^2 = 2^{?}$ 6
3. Los dos son $2^6$ . ¿Cuánto es $2^6$ ? 64
7.
$(2x^3)^4 = \square \, x^{12}$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 16
Cada factor recibe el exponente: $(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12}$ .
8.
¿Cuál es el valor de $2^{3^2}$ (sin paréntesis)?
1. a)512
2. b)128
3. c)36
4. d)64
Respuesta: 512
Sin paréntesis, el exponente de arriba va primero: $3^2 = 9$ , así que $2^{3^2} = 2^9 = 512$ . El valor $64$ corresponde a $(2^3)^2 = 2^6$ .
9.
Simplifica $(3x^2)^3$ .
Respuesta: 27x^6
1. Eleva el coeficiente: $3^3 = ?$ 27
2. $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
3. Comprueba con $x = 1$ : $(3 \cdot 1^2)^3 = ?$ 27
10.
Simplifica $\left(\frac{x^2}{3}\right)^3$ .
Respuesta: x^6/27
1. Numerador: $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
2. Denominador: $3^3 = ?$ 27
3. Comprueba con $x = 3$ : $\frac{3^6}{27} = \frac{729}{27} = ?$ 27
11.
$(10^2)^3 \cdot 10^4 = 10^{\square}$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 10
$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$ , y $10^6 \cdot 10^4 = 10^{6+4} = 10^{10}$ .
12.
¿Qué afirmación es cierta para todos los números $a$ y $b$ ?
1. a) $(2a)^3 = 2a^3$
2. b) $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
3. c) $(ab)^2 = a^2 b^2$
4. d) $(a^2)^3 = a^5$
Respuesta: $(ab)^2 = a^2 b^2$
Solo $(ab)^2 = a^2 b^2$ es siempre cierta. En realidad, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , $(a^2)^3 = a^6$ y $(2a)^3 = 8a^3$ .
13.
Demuestra con números que $(3 + 4)^2 \neq 3^2 + 4^2$ .
Respuesta: 24
1. $(3 + 4)^2 = 7^2 = ?$ 49
2. $3^2 + 4^2 = ?$ 25
3. ¿Cuánto falta? $49 - 25 = ?$ 24
14.
Simplifica $\frac{(x^4)^3 \cdot x^2}{(x^3)^4}$ .
Respuesta: x^2
1. $(x^4)^3 = x^{?}$ 12
2. $x^{12} \cdot x^2 = x^{?}$ 14
3. $(x^3)^4 = x^{?}$ 12
4. $\frac{x^{14}}{x^{12}} = x^{?}$ 2
15.
$(2a^2b^3)^4 = 16a^8 b^{\square}$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 12
$(2a^2b^3)^4 = 2^4 \cdot a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = 16a^8b^{12}$ . Cada uno de los tres factores se eleva a la potencia.
16.
Simplifica $(2x^2y)^3 \cdot (xy^2)^2$ .
Respuesta: 8x^8y^7
1. Coeficiente de $(2x^2y)^3$ : $2^3 = ?$ 8
2. Exponente de $x$ en $(2x^2y)^3$ 6
3. Exponente de $y$ en $(xy^2)^2$ 4
4. Exponente total de $x$ tras multiplicar: $x^6 \cdot x^2 = x^{?}$ 8
5. Exponente total de $y$ tras multiplicar: $y^3 \cdot y^4 = y^{?}$ 7
17.
Simplifica $\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3$ .
1. a) $\frac{6x^9}{y^6}$
2. b) $\frac{2x^9}{y^6}$
3. c) $\frac{8x^6}{y^5}$
4. d) $\frac{8x^9}{y^6}$
Respuesta: $\frac{8x^9}{y^6}$
$\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3 = \frac{2^3 \cdot x^{3 \cdot 3}}{y^{2 \cdot 3}} = \frac{8x^9}{y^6}$ . $6x^9$ multiplica $2$ por $3$ , $x^6$ e $y^5$ suman los exponentes, y $2x^9$ olvida el coeficiente.
18.
Un cubo tiene aristas de $3 \cdot 10^2$ cm, así que su volumen es $(3 \cdot 10^2)^3$ cm³. Calcula el volumen.
Respuesta: 27000000
1. $3^3 = ?$ 27
2. $(10^2)^3 = 10^{?}$ 6
3. Escribe el volumen $27 \cdot 10^6$ cm³ como un número normal (solo cifras) 27000000