Guía del profesor: Potencia de una potencia

Aprende por qué elevar una potencia a otra potencia significa multiplicar los exponentes, y cómo elevar productos, cocientes y coeficientes a una potencia.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Potencias y Raíces. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar por qué $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ usando la multiplicación repetida y el producto de potencias de igual base
Simplificar potencias de potencias, de productos y de cocientes
Elevar correctamente expresiones con coeficiente, como $(3x^2)^3$
Combinar las reglas de las potencias con el producto y el cociente de potencias en una misma expresión
Distinguir $(2^3)^2$ de $2^{3^2}$ y reconocer que $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

Requisitos previos

• Introducción a los Exponentes: base, exponente y cálculo de potencias como $2^5$
• Producto de potencias de igual base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Cociente de potencias de igual base: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Escribir productos con variables, como $3 \cdot x \cdot x = 3x^2$

Iniciadores de discusión

1. Escribe $(x^2)^3$ sin el exponente de fuera. ¿Cuántos factores $x$ ves?
2. ¿Por qué $(2x)^3$ da $8x^3$ y no $2x^3$ ?
3. ¿Es $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ? Pruébalo con $a = 3$ y $b = 4$ y explica qué pasa.
4. ¿Qué es mayor, $(2^3)^2$ o $2^{3^2}$ ? Primero haz una predicción y después calcula.

Conceptos erróneos comunes

Sumar los exponentes en una potencia de una potencia ( $(x^3)^4 = x^7$ )

Remediación: Pide que escriban $(x^3)^4$ como $x^3 \cdot x^3 \cdot x^3 \cdot x^3$ y cuenten los factores. Pon las tres reglas una al lado de otra: multiplicar potencias, sumar; dividir potencias, restar; potencia de una potencia, multiplicar.

Repartir el exponente sobre una suma ( $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ )

Remediación: Probar con números ( $(3 + 4)^2 = 49$ , pero $9 + 16 = 25$ ) y dibujar el cuadrado de lado $a + b$ : en $a^2 + b^2$ faltan los dos rectángulos $ab$ .

El exponente solo afecta a la variable, no al número de delante ( $(3x^2)^3 = 3x^6$ )

Remediación: Escribir el coeficiente como un factor aparte: $(3 \cdot x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3$ . Comprobar con $x = 1$ : $(3 \cdot 1)^3 = 27$ , no $3$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Desarrollar siempre primero: escribir $(a^m)^n$ como $n$ copias de $a^m$ antes de usar el atajo
• Empezar con bases numéricas y comprobar cada resultado con la calculadora, como $(2^3)^2 = 64 = 2^6$
• Usar una tarjeta resumen con las tres reglas y un ejemplo de cada una

Para estudiantes de nivel:

• Simplificar potencias de productos y de cocientes con coeficientes, como $(2x^3y)^4$
• Combinar las reglas de las potencias con el producto y el cociente de potencias en una misma expresión
• Elevar al cuadrado y al cubo números en notación científica, como $(3 \cdot 10^8)^2$

Para estudiantes avanzados:

• Encontrar el exponente que falta: $(x^{\square})^4 = x^{20}$ , $(2a^3)^{\square} = 16a^{12}$
• Demostrar que $(a^m)^n = (a^n)^m$ y explicar por qué $2^{3^2} \neq (2^3)^2$
• Investigar cómo cambia el volumen de un cubo cuando su arista se multiplica por $10^k$

Alineación con estándares

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Conocer y aplicar las propiedades de los exponentes enteros para generar expresiones numéricas equivalentes
8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Realizar operaciones con números expresados en notación científica
HSA.SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla

Recursos de la lección

visualFactores y paréntesis
El alumnado ve $(2^3)^2$ como dos grupos de $2 \cdot 2 \cdot 2$ , cuenta seis factores ( $2^6 = 64$ ), después calcula $2^{3^2}$ paso a paso y compara
activityDesarrollar y contar
Por parejas escriben $(x^2)^3$ como un producto largo, cuentan los factores $x$ y descubren la regla
worksheetPráctica de las reglas de las potencias
Simplificar potencias de potencias, de productos y de cocientes, y después ejercicios mezclados con todas las reglas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Cuando una potencia se eleva a otra potencia, mantienes la base y multiplicas los exponentes:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Por qué funciona: el exponente de fuera,

n

, dice "usa

a^m

como factor

n

veces". El producto de potencias de igual base (se suman los exponentes) hace el resto:

(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 64

Sumar el exponente

m

un total de

n

veces es lo mismo que

m \cdot n

Dos reglas relacionadas salen de la misma idea:

Potencia de un producto: $(ab)^n = a^n b^n$ . Cada factor dentro del paréntesis recibe el exponente, también el número de delante: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27x^6$
Potencia de un cociente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ (con $b \neq 0$ )

Cuidado con los paréntesis:

(2^3)^2 = 2^6 = 64

, pero

2^{3^2} = 2^9 = 512

. Sin paréntesis, primero se calcula el exponente de arriba.

En esta lección todos los exponentes son números enteros positivos.

Ejemplos resueltos

Simplifica $(5^2)^4$ .

Identifica la base y los dos exponentes

Base $5$ , exponente de dentro $2$ , exponente de fuera $4$ → Una potencia elevada a otra potencia

Escríbela como un producto

$(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ → $5^8$

Usa el atajo: multiplica los exponentes

$2 \cdot 4 = 8$ → $(5^2)^4 = 5^8$

Respuesta: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Errores comunes

Sumar los exponentes: $(x^3)^4 = x^7$

Por qué está mal: Sumar corresponde al producto de potencias, como $x^3 \cdot x^4$ . Aquí el $4$ de fuera significa cuatro copias de $x^3$ , así que el exponente es $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ .

Correcto: Multiplica los exponentes: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Pensar que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$

Por qué está mal: La regla $(ab)^n = a^n b^n$ es para un producto, no para una suma. Compruébalo con números: $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , pero $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Correcto: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ , así que $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Tratar $(2^3)^2$ y $2^{3^2}$ como si fueran iguales

Por qué está mal: Los paréntesis cambian el orden. $(2^3)^2$ eleva $2^3$ al cuadrado, mientras que en $2^{3^2}$ primero se calcula el exponente de arriba, $3^2 = 9$ .

Correcto: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ , pero $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Olvidar el coeficiente: $(3x^2)^3 = 3x^6$

Por qué está mal: El exponente se aplica a cada factor del paréntesis, y el número $3$ también es un factor.

Correcto: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Por qué es importante

La regla de la potencia de una potencia convierte largas cadenas de multiplicaciones en un solo paso rápido:

Áreas y volúmenes: un cuadrado de lado $10^3$ m tiene un área de $(10^3)^2 = 10^6$ m², y un cubo de arista $2^2$ cm tiene un volumen de $(2^2)^3 = 2^6 = 64$ cm³
Almacenamiento informático: un kilobyte son $2^{10}$ bytes, y $(2^{10})^3 = 2^{30}$ bytes son algo más de mil millones de bytes
Ciencia: en $E = mc^2$ la velocidad de la luz, $3 \cdot 10^8$ m/s, se eleva al cuadrado: $(3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16}$
Álgebra: un cuadrado de lado $3x^2$ tiene un área de $(3x^2)^2 = 9x^4$

Junto con el producto y el cociente de potencias de igual base, te permite simplificar casi cualquier expresión con potencias de la misma base.

Aplicaciones del mundo real

Almacenamiento en el ordenador

Los ordenadores cuentan la memoria en potencias de 2. Cada unidad mayor es $2^{10} = 1024$ veces la anterior.

Ejemplo:

Un kilobyte son $2^{10}$ bytes y un megabyte son $2^{10}$ kilobytes, así que un megabyte son $(2^{10})^2 = 2^{20}$ bytes.

1Inténtalo tú mismo

Un gigabyte son $2^{10}$ megabytes, es decir, $2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10}$ bytes, que es $(2^{10})^3$ bytes.

Escribe el número de bytes de un gigabyte como una sola potencia de 2.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Simplifica $(2^{10})^3$ :

Ampliar una foto

Cuando se amplía una imagen, su ancho y su alto se multiplican por el mismo factor, así que su área (el número de píxeles) crece según el cuadrado de ese factor.

Ejemplo:

Si duplicas el ancho y el alto de una foto, el número de píxeles se multiplica por $2^2 = 4$ .

2Inténtalo tú mismo

Una foto se amplía de modo que su ancho y su alto se multiplican cada uno por $2^3$ .

¿Por qué factor se multiplica el número de píxeles?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

El factor del área es $(2^3)^2$ :

La energía y la velocidad de la luz

La fórmula de Einstein $E = mc^2$ eleva al cuadrado la velocidad de la luz $c$, que es de unos $3 \cdot 10^8$ metros por segundo.

Ejemplo:

Para elevar $3 \cdot 10^8$ al cuadrado, eleva por separado el $3$ y la potencia de diez, porque los dos son factores.

3Inténtalo tú mismo

La velocidad de la luz es de aproximadamente $c = 3 \cdot 10^8$ m/s.

¿Cuánto es $c^2 = (3 \cdot 10^8)^2$ en notación científica?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la potencia de un producto y la potencia de una potencia:

Puntos clave

1Potencia de una potencia: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , se mantiene la base y se multiplican los exponentes
2La regla sale del producto de potencias de igual base: $(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
3Potencia de un producto: $(ab)^n = a^n b^n$ , cada factor recibe el exponente, también el coeficiente: $(3x^2)^3 = 27x^6$
4Potencia de un cociente: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , se elevan el numerador y el denominador
5Los paréntesis importan: $(2^3)^2 = 64$ , pero $2^{3^2} = 512$
6Las reglas solo valen para productos y cocientes: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

Preguntas frecuentes

¿Por qué multiplicamos los exponentes en lugar de sumarlos?

Porque

(a^m)^n

significa

n

copias de

a^m

multiplicadas entre sí. Por el producto de potencias de igual base, sus exponentes se suman:

m + m + \dots + m

(

n

veces), que es

m \cdot n

¿Es $(a^2)^3$ lo mismo que $(a^3)^2$ ?

Sí. Las dos dan

a^6

, porque

2 \cdot 3 = 3 \cdot 2

. Compruébalo con números:

(2^2)^3 = 4^3 = 64

(2^3)^2 = 8^2 = 64

¿Qué significa $2^{3^2}$ sin paréntesis?

Una torre de exponentes se calcula de arriba abajo: primero

3^2 = 9

y después

2^9 = 512

. Si quieres decir

(2^3)^2 = 64

, tienes que escribir los paréntesis.

¿La regla funciona también con una suma, como $(x + 2)^2$ ?

No. El exponente solo se puede repartir entre factores. Una suma hay que desarrollarla:

(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4

Glosario

Potencia de una potencia: Una potencia elevada a otra potencia, como $(a^m)^n$ . Es igual a $a^{m \cdot n}$ .
Potencia de un producto: Un producto elevado a una potencia: $(ab)^n = a^n b^n$ . Cada factor recibe el exponente.
Potencia de un cociente: Una fracción elevada a una potencia: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , con $b \neq 0$ .
Coeficiente: El número que va delante de una variable. En $3x^2$ el coeficiente es $3$ .
Base: El número o la variable que se multiplica. En $(x^2)^3$ la base es $x$ .
Exponente: El número pequeño de arriba que indica cuántas veces se usa la base como factor.

Tarjeta de fórmulas

Potencia de una potencia

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Se mantiene la base y se multiplican los exponentes

Potencia de un producto

(ab)^n = a^n b^n

Cada factor del paréntesis recibe el exponente

Potencia de un cociente

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Se elevan el numerador y el denominador ($b \neq 0$)

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Almacenamiento en el ordenador

Ampliar una foto

La energía y la velocidad de la luz

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Potencia de una potencia

Potencia de un producto

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