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Guía del profesor: Multiplicar y dividir números enteros

Aprende las reglas de los signos para multiplicar y dividir números positivos y negativos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Números Negativos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Aplicar las reglas de signos para multiplicar enteros correctamente
  • Aplicar las reglas de signos para dividir enteros correctamente
  • Determinar el signo de un producto o cociente antes de calcular
  • Resolver problemas del mundo real que involucren multiplicación y división de enteros
Requisitos previos
  • • Comprensión de los números negativos y la recta numérica
  • • Suma y resta de enteros
  • • Conocimientos básicos de multiplicación y división
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué crees que los matemáticos decidieron que negativo por negativo debería ser positivo?
  • 2. ¿Puedes pensar en una situación de la vida real donde multipliques un negativo por un negativo?
  • 3. ¿Qué patrones notas al multiplicar tres o más números negativos?
  • 4. ¿Cómo puedes saber rápidamente si un producto de varios enteros será positivo o negativo?
Conceptos erróneos comunes

Dos negativos siempre dan un positivo

Remediación: Aclara que esto solo aplica a la multiplicación y división, NO a la suma. (−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7 sigue siendo negativo.

Las reglas de división para los signos son diferentes de la multiplicación

Remediación: Enfatiza que las mismas reglas de signos se aplican a ambas operaciones. Crea una tabla de reglas de signos unificada.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Usa codificación por colores: verde para resultados positivos, rojo para negativos
  • • Comienza solo con enteros de un dígito
  • • Proporciona una tarjeta de referencia de reglas de signos para cada problema

Para estudiantes de nivel:

  • • Incluye problemas mixtos de multiplicación y división
  • • Agrega problemas de palabras con contextos de temperatura y dinero
  • • Practica con productos de dos y tres enteros

Para estudiantes avanzados:

  • • Explora patrones con cadenas más largas de multiplicación
  • • Introduce la división con resto
  • • Desafía con expresiones algebraicas usando variables
Alineación con estándares
  • 7.NS.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.2)

    Aplicar y extender las comprensiones previas de multiplicación y división y de fracciones para multiplicar y dividir números racionales

  • 7.NS.A.2a (CCSS.MATH.CONTENT.7.NS.A.2a)

    Comprender que la multiplicación se extiende de las fracciones a los números racionales requiriendo que las operaciones continúen satisfaciendo las propiedades de las operaciones

Recursos de la lección
  • visualTabla de reglas de signos

    Referencia codificada por colores que muestra todas las combinaciones de signos

  • activityJuego del producto de enteros

    Relaciona expresiones con sus productos correctos

  • worksheetProblemas de temperatura

    Aplica operaciones con enteros a escenarios reales

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Al multiplicar o dividir números enteros, el signo del resultado depende de los signos de los números involucrados.
Las reglas de los signos:
OperaciónResultado
(+)×(+)(+) \times (+)Positivo
(−)×(−)(-) \times (-)Positivo
(+)×(−)(+) \times (-)Negativo
(−)×(+)(-) \times (+)Negativo
¡Las mismas reglas se aplican a la división!
Regla simple:
  • Signos iguales → Resultado positivo
  • Signos diferentes → Resultado negativo
(−3)×(−4)=12(signos iguales = positivo)(-3) \times (-4) = 12 \quad \text{(signos iguales = positivo)}
(−3)×4=−12(signos diferentes = negativo)(-3) \times 4 = -12 \quad \text{(signos diferentes = negativo)}

Ejemplos resueltos

Calcula: (−6)×(−4)(-6) \times (-4)
1

Identifica los signos

Ambos números son negativos: (−6)(-6) y (−4)(-4) → Signos iguales
2

Aplica la regla de signos

Signos iguales → resultado positivo → El resultado será positivo
3

Multiplica los valores absolutos

6×4=246 \times 4 = 24
4

Aplica el signo

Resultado positivo → +24+24

Errores comunes

Pensar que (−3)×(−4)=−12(-3) \times (-4) = -12

Por qué está mal: Los estudiantes olvidan que multiplicar dos negativos da un resultado positivo.

Correcto: Signos iguales → positivo: (−3)×(−4)=+12(-3) \times (-4) = +12

Confundir (−5)×3(-5) \times 3 con 5×(−3)5 \times (-3)

Por qué está mal: ¡Ambos dan el mismo resultado! Signos diferentes → negativo en ambos casos.

Correcto: (−5)×3=−15(-5) \times 3 = -15 y 5×(−3)=−155 \times (-3) = -15. El orden no importa.

Olvidar el signo cuando el resultado es positivo

Por qué está mal: Cuando dos negativos se multiplican, los estudiantes a veces escriben −12-12 por costumbre.

Correcto: Siempre verifica: signos iguales = positivo, signos diferentes = negativo.

Por qué es importante

La multiplicación y división de enteros aparece en todas partes:
  • Cambios de temperatura: Si la temperatura baja 3 grados por hora durante 5 horas, el cambio total es (−3)×5=−15(-3) \times 5 = -15 grados
  • Finanzas: Un pago mensual de deuda de 200 dólares durante 6 meses significa (−200)×6=−1200(-200) \times 6 = -1200 dólares en total
  • Videojuegos: Perder 5 puntos por respuesta incorrecta en 4 preguntas da (−5)×4=−20(-5) \times 4 = -20 puntos
  • Elevación: Descender 10 metros por minuto durante 8 minutos significa (−10)×8=−80(-10) \times 8 = -80 metros
¡Estas operaciones nos ayudan a calcular ganancias o pérdidas repetidas con precisión!

Aplicaciones del mundo real

Cambios de temperatura en el tiempo

Los meteorólogos calculan los cambios de temperatura usando la multiplicación de enteros.

Ejemplo:

Si la temperatura baja 2 grados cada hora, después de 6 horas el cambio es (−2)×6=−12(-2) \times 6 = -12 grados.

1Inténtalo tú mismo

Un congelador enfría los alimentos bajando 5 grados cada 10 minutos. ¿Cuánto cambia la temperatura en 40 minutos?

¿Cuál es el cambio total de temperatura?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: (−5)×(-5) \times número de períodos de 10 minutos

Cambios en la bolsa de valores

Los inversores siguen las ganancias y pérdidas diarias durante varios días.

Ejemplo:

Una acción pierde 3 dólares por día durante 5 días: (−3)×5=−15(-3) \times 5 = -15 dólares de pérdida total.

2Inténtalo tú mismo

Un inversor revierte una mala operación. Anula una pérdida de 8 dólares que ocurrió 3 veces. ¿Cuál es el efecto neto?

¿Cuál es el cambio total al revertir estas pérdidas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Revertir una pérdida es como: (−1)×(−8)×3(-1) \times (-8) \times 3

Puntos clave

  • 1Signos iguales (ambos positivos o ambos negativos) → resultado positivo
  • 2Signos diferentes (uno positivo, uno negativo) → resultado negativo
  • 3Estas reglas funcionan tanto para la multiplicación COMO para la división
  • 4Al multiplicar varios enteros: número impar de negativos → negativo, par → positivo
  • 5Siempre calcula primero con los valores absolutos, luego aplica la regla de signos

Preguntas frecuentes

¿Por qué negativo por negativo es igual a positivo?

Piénsalo como revertir una reversión. Si ir hacia atrás (−-) es negativo, entonces ir hacia atrás mientras miras hacia atrás (−×−- \times -) significa que realmente vas hacia adelante (positivo).

¿Importa el orden al multiplicar enteros?

¡No! La multiplicación es conmutativa. (−3)×5=5×(−3)=−15(-3) \times 5 = 5 \times (-3) = -15. Las reglas de signos dan el mismo resultado de cualquier manera.

¿Qué pasa con el cero?

Cero multiplicado por cualquier entero es cero: 0×(−5)=00 \times (-5) = 0. El cero no tiene signo, así que el resultado es simplemente 00.

Glosario

Entero
Un número sin decimales que puede ser positivo, negativo o cero
Valor absoluto
La distancia desde cero, siempre positiva. ∣−7∣=7|-7| = 7
Producto
El resultado de una multiplicación
Cociente
El resultado de una división
Regla de signos
La regla que determina si el resultado es positivo o negativo según los signos de los operandos

Tarjeta de fórmulas

Positivo × Positivo

(+)×(+)=+(+) \times (+) = +

Positivo por positivo es igual a positivo

Negativo × Negativo

(−)×(−)=+(-) \times (-) = +

Negativo por negativo es igual a positivo

Positivo × Negativo

(+)×(−)=−(+) \times (-) = -

Positivo por negativo es igual a negativo

Negativo × Positivo

(−)×(+)=−(-) \times (+) = -

Negativo por positivo es igual a negativo

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