Guía del profesor: Comparar números en notación científica

Aprende a comparar y ordenar números en notación científica: primero los exponentes, luego los coeficientes, y cuántas veces es mayor un número.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Notación Científica. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Comparar dos números en notación científica por sus exponentes
Comparar los coeficientes cuando los exponentes son iguales
Normalizar un número antes de compararlo
Comparar y ordenar números con exponentes negativos
Estimar cuántas veces es mayor un número que otro usando potencias de diez

Requisitos previos

• Bases de la notación científica: la forma $a \times 10^n$ (lección Notación científica)
• Escribir números en notación científica (lección Escribir números en notación científica)
• Comparar números negativos en la recta numérica
• Comparar decimales como 4,5 y 4,6

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué puedes comparar $3{,}1 \times 10^6$ y $9{,}8 \times 10^5$ sin escribir ni un cero?
2. ¿Cuál es mayor, $9{,}99 \times 10^5$ o $1 \times 10^6$ ? ¿Cómo convencerías a un amigo?
3. ¿Por qué $10^{-3}$ es mayor que $10^{-5}$ , aunque $5 > 3$ ?
4. Una astrónoma dice que una estrella es tres órdenes de magnitud más brillante que otra. ¿Qué significa eso en números?

Conceptos erróneos comunes

El número con el coeficiente mayor es el mayor

Remediación: Escribe $9{,}8 \times 10^5$ y $3{,}1 \times 10^6$ uno al lado del otro en notación decimal: $980.000$ y $3.100.000$ . Pregunta en qué posición empieza cada número.

Un exponente negativo con mayor valor absoluto da un número mayor

Remediación: Coloca $10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ como $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ en una recta numérica y deja que vean cómo los valores disminuyen cuando baja el exponente.

Números como $45 \times 10^3$ se pueden comparar directamente por sus exponentes

Remediación: Muestra que $45 \times 10^3$ y $4{,}5 \times 10^4$ son el mismo número. Haz que "primero normaliza" sea la primera línea de cada comparación.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con parejas que tengan el mismo coeficiente y exponentes distintos
• Dejar que escriban los dos números en notación decimal para comprobar cada comparación
• Usar una escalera de potencias de diez para situar cada número antes de comparar

Para estudiantes de nivel:

• Comparar parejas con exponentes negativos y con exponentes iguales
• Normalizar números como $38 \times 10^5$ o $0{,}7 \times 10^{-3}$ antes de comparar
• Ordenar listas de cuatro a seis medidas reales

Para estudiantes avanzados:

• Estimar cuántas veces es mayor una cantidad, también con coeficientes distintos
• Averiguar qué parejas de tamaños reales (átomo, célula, Tierra, Sol) se diferencian en más de diez órdenes de magnitud
• Explicar por qué un número normalizado con exponente $n$ siempre está entre $10^n$ y $10^{n+1}$

Alineación con estándares

8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Usar números de la forma una cifra por una potencia entera de 10 para estimar cantidades muy grandes o muy pequeñas y expresar cuántas veces es una mayor que otra
8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Operar con números en notación científica e interpretar la notación científica que muestra la calculadora

Recursos de la lección

visualComparador de notación científica
Normalizar, comparar exponentes y luego coeficientes, y ordenar tamaños del universo en una escalera de potencias de diez
activityCuerda de tamaños del universo
El alumnado ordena tarjetas con tamaños desde átomos hasta galaxias, escritos en notación científica, a lo largo de una cuerda en la pared
worksheetComparar y ordenar
Parejas y listas para comparar, con números que hay que normalizar primero y exponentes negativos

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Para comparar números en notación científica

a \times 10^n

(con

1 \le a < 10

), casi nunca necesitas escribir todos los ceros. Sigue tres pasos:

1.Normaliza los dos números, de modo que cada coeficiente esté entre $1$ y $10$ . Por ejemplo, $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ .
2.Compara los exponentes. El número con el exponente mayor es el número mayor: $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ , porque $6 > 5$ .
3.Si los exponentes son iguales, compara los coeficientes: $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$ , porque $4{,}7 > 4{,}2$ .

El exponente decide primero porque cada paso hacia arriba en el exponente multiplica el número por

10

, y un coeficiente nunca puede compensarlo: incluso

9{,}99 \times 10^5

es menor que

1 \times 10^6

Los exponentes negativos siguen la misma regla, simplemente los comparas como números negativos:

-3 > -5

, así que

10^{-3} > 10^{-5}

(

0{,}001 > 0{,}00001

¿Cuántas veces mayor? Cuando los coeficientes son iguales, divide las potencias de diez restando los exponentes:

\frac{10^8}{10^5} = 10^{8-5} = 10^3 = 1000

Cada diferencia de

1

en el exponente es un orden de magnitud (un factor

10

Ejemplos resueltos

¿Cuál es mayor:

3{,}1 \times 10^6

9{,}8 \times 10^5

Comprueba que los dos están normalizados

Los dos coeficientes,

3{,}1

9{,}8

, están entre

1

10

→ Listos para comparar

Compara los exponentes

6 > 5

→

10^6

es diez veces

10^5

Decide (aquí los coeficientes no importan)

3{,}1 \times 10^6 = 3.100.000

9{,}8 \times 10^5 = 980.000

→

3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5

Respuesta: $3{,}1 \times 10^6$ es mayor, aunque su coeficiente sea menor.

Errores comunes

Comparar primero los coeficientes: pensar que $9{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6$ porque $9{,}8 > 3{,}1$

Por qué está mal: La potencia de diez decide el tamaño. $10^6$ es diez veces $10^5$ , y ningún coeficiente menor que $10$ puede compensarlo.

Correcto: Compara primero los exponentes: $6 > 5$ , así que $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ . Mira los coeficientes solo cuando los exponentes son iguales.

Comparar sin normalizar: pensar que $45 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4$ porque $45 > 4{,}6$

Por qué está mal: $45 \times 10^3$ no está en notación científica, así que su exponente no dice su tamaño real.

Correcto: Normaliza primero: $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ . Entonces $4{,}5 < 4{,}6$ , así que $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$ .

Pensar que $10^{-5} > 10^{-3}$ porque $5 > 3$

Por qué está mal: Los exponentes negativos se comparan como números negativos: $-5$ es menor que $-3$ .

Correcto: $10^{-5} = 0{,}00001$ y $10^{-3} = 0{,}001$ , así que $10^{-3} > 10^{-5}$ . Gana el exponente más cercano a cero.

Pensar que $10^6$ es el doble de $10^3$ , o $3$ más que $10^3$

Por qué está mal: Los exponentes se diferencian en $3$ , pero cada paso del exponente multiplica por $10$ , no suma.

Correcto: $\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3$ , así que $10^6$ es $1000$ veces $10^3$ .

Por qué es importante

La ciencia está llena de números demasiado grandes o demasiado pequeños para compararlos a simple vista:

Espacio: la Tierra mide unos $1{,}27 \times 10^7$ m de ancho, mientras que la distancia de la Tierra al Sol es de unos $1{,}5 \times 10^{11}$ m. Los exponentes te dicen enseguida que la distancia es unas $10^4$ (diez mil) veces mayor.
Biología: un glóbulo rojo ( $7 \times 10^{-6}$ m) es mucho más grande que un átomo de hidrógeno ( $1 \times 10^{-10}$ m), porque $-6 > -10$ .
Informática: un terabyte ( $10^{12}$ bytes) guarda $1000$ veces más que un gigabyte ( $10^9$ bytes).
Medicina: dosis y concentraciones como $5 \times 10^{-4}$ g u $8 \times 10^{-6}$ g nunca deben confundirse.

Comparar primero los exponentes es rápido y seguro. Contar los ceros de

0{,}0000070

0{,}00000001

es lento y es fácil equivocarse.

Aplicaciones del mundo real

Biología: bacterias y virus

Los microbiólogos comparan longitudes diminutas escritas con exponentes negativos para elegir el microscopio adecuado.

Ejemplo:

Un microscopio óptico muestra objetos de hasta unos $2 \times 10^{-7}$ m. Una bacteria de $2 \times 10^{-6}$ m es mayor ( $-6 > -7$ ), así que se puede ver. La mayoría de los virus son más pequeños y para verlos hace falta un microscopio electrónico.

1Inténtalo tú mismo

Una bacteria mide $2 \times 10^{-6}$ m de largo. Un virus mide $1 \times 10^{-7}$ m de diámetro.

¿Cuántas veces más larga es la bacteria que el virus?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Compara las potencias de diez y después incluye los coeficientes:

Informática: tamaños de almacenamiento

El almacenamiento se mide en bytes: un gigabyte son $10^9$ bytes y un terabyte $10^{12}$ bytes. Comparar exponentes te dice cuántos archivos caben.

Ejemplo:

Una foto de $3 \times 10^6$ bytes es mucho más pequeña que un vídeo de $3 \times 10^9$ bytes: mismo coeficiente, y los exponentes se diferencian en $3$ , así que el vídeo es $1000$ veces mayor.

2Inténtalo tú mismo

Un disco duro guarda $2 \times 10^{12}$ bytes. Un archivo de película ocupa $2 \times 10^9$ bytes.

¿Cuántas películas caben en el disco?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Los coeficientes son iguales, así que compara solo las potencias de diez:

Física: longitudes de onda de los láseres

Las longitudes de onda de la luz son diminutas y a menudo se escriben de formas distintas, por ejemplo en nanómetros ($10^{-9}$ m). Para compararlas, primero normaliza.

Ejemplo:

La luz azul tiene una longitud de onda de unos $4{,}5 \times 10^{-7}$ m y la luz roja de unos $7 \times 10^{-7}$ m. Mismo exponente, así que $7 > 4{,}5$ muestra que la luz roja tiene la longitud de onda mayor.

3Inténtalo tú mismo

Una hoja de laboratorio indica un láser rojo de $650 \times 10^{-9}$ m y un láser verde de $5{,}3 \times 10^{-7}$ m.

¿Qué láser tiene la longitud de onda mayor?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Normaliza $650 \times 10^{-9}$ y después compara:

Puntos clave

1Primero normaliza: cada coeficiente debe cumplir $1 \le a < 10$ (por ejemplo $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ )
2Compara primero los exponentes: el exponente mayor da el número mayor
3Solo cuando los exponentes son iguales, compara los coeficientes
4Los exponentes negativos se comparan como números negativos: $10^{-3} > 10^{-5}$ porque $-3 > -5$
5Para ordenar una lista, ordena por exponente y, con el mismo exponente, por coeficiente
6Con coeficientes iguales, $10^m$ es $10^{m-n}$ veces $10^n$ : cada paso del exponente es un orden de magnitud

Preguntas frecuentes

¿Por qué el exponente importa más que el coeficiente?

Un coeficiente normalizado siempre es menor que

10

, mientras que un paso más en el exponente multiplica por

10

. Por eso

9{,}99 \times 10^5 = 999.000

sigue siendo menor que

1 \times 10^6 = 1.000.000

¿Y si un número no está bien escrito en notación científica?

Normalízalo antes de comparar. Mueve la coma hasta que el coeficiente esté entre

1

10

y ajusta el exponente:

0{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4

45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4

¿Un número con exponente negativo es siempre menor que uno con exponente positivo?

Sí, para números positivos. Un número normalizado con exponente negativo es menor que

1

(por ejemplo

9{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99

), y uno con exponente

0

o mayor vale al menos

1

¿Qué significa "dos órdenes de magnitud mayor"?

Significa unas

10^2 = 100

veces mayor. El orden de magnitud es aproximadamente el exponente, así que una diferencia de

2

entre los exponentes significa un factor de unos

100

Glosario

Notación científica: Un número escrito como $a \times 10^n$ con $1 \le a < 10$ y $n$ un número entero
Coeficiente: El número $a$ delante de la potencia de diez, por ejemplo $4{,}6$ en $4{,}6 \times 10^4$
Exponente: La potencia $n$ en $10^n$ ; es lo primero que se compara
Normalizar: Reescribir un número para que su coeficiente esté entre $1$ y $10$ : $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$
Orden de magnitud: Un factor $10$ ; los números cuyos exponentes se diferencian en $3$ se diferencian en unos tres órdenes de magnitud ( $10^3$ )

Tarjeta de fórmulas

Orden para comparar

\text{normalizar} \rightarrow \text{exponentes} \rightarrow \text{coeficientes}

Asegúrate de que $1 \le a < 10$, compara los exponentes y compara los coeficientes solo si los exponentes son iguales.

Cuántas veces mayor

\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}

Con coeficientes iguales, el número mayor es $10^{m-n}$ veces el menor.

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Aplicaciones del mundo real

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Orden para comparar

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