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Guía del profesor: Aumento y disminución porcentual

Aprende a calcular el aumento y la disminución porcentual para medir cambios en cantidades.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Porcentajes. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Calcular el aumento porcentual dados los valores original y nuevo
  • Calcular la disminución porcentual dados los valores original y nuevo
  • Encontrar un nuevo valor después de un aumento o disminución porcentual
  • Encontrar el valor original cuando se conoce el nuevo valor y el cambio porcentual
  • Aplicar el cambio porcentual a contextos reales como compras, salarios y crecimiento
Requisitos previos
  • • Conversión entre decimales y porcentajes
  • • Encontrar un porcentaje de un número
  • • Operaciones básicas con fracciones y decimales
Iniciadores de discusión
  • 1. Si una tienda tiene 50% de descuento y luego quita un 20% adicional, ¿es lo mismo que 70% de descuento? ¿Por qué?
  • 2. ¿Por qué las empresas prefieren anunciar '¡25% más gratis!' en lugar de '20% de descuento'?
  • 3. Una acción baja 20% un día y sube 20% al siguiente. ¿Estás de vuelta donde empezaste?
  • 4. Si la inflación es del 3% por año, ¿qué significa eso para el coste de las cosas que compras?
Conceptos erróneos comunes

El aumento y la disminución porcentual son operaciones inversas

Remediación: Usa ejemplos concretos: Empieza con 100. Suma 50% para obtener 150. Resta 50% de 150 para obtener 75, no 100. ¡La base cambia!

El cambio porcentual es el mismo sin importar cuál valor es el 'original'

Remediación: Muestra que ir de 100 a 150 es un aumento del 50%, pero ir de 150 a 100 es solo una disminución del 33,3%.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Usar modelos visuales como diagramas de barras para mostrar el cambio porcentual
  • • Empezar con números simples (múltiplos de 10 y 100)
  • • Enfocarse en un tipo (solo aumento) antes de mezclar con disminución

Para estudiantes de nivel:

  • • Calcular cambios porcentuales con varios escenarios de la vida real
  • • Trabajar hacia atrás para encontrar valores originales
  • • Comparar cambios porcentuales sucesivos

Para estudiantes avanzados:

  • • Explorar cambios porcentuales compuestos (múltiples aumentos/disminuciones)
  • • Calcular qué cambio porcentual único equivale a dos cambios sucesivos
  • • Investigar el cambio porcentual en contextos de crecimiento exponencial
Alineación con estándares
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Usar relaciones proporcionales para resolver problemas de razones y porcentajes de varios pasos

  • 7.EE.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.3)

    Resolver problemas matemáticos y de la vida real de varios pasos con números racionales positivos y negativos

Recursos de la lección
  • visualCalculadora de cambio porcentual

    Herramienta interactiva para visualizar aumentos y disminuciones porcentuales

  • activitySimulación de compras en rebajas

    Calcular precios finales con varios descuentos

  • worksheetCambio porcentual en la vida real

    Problemas con salarios, precios y poblaciones

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El aumento porcentual mide cuánto ha crecido un valor, mientras que la disminución porcentual mide cuánto ha disminuido. Ambos se expresan como un porcentaje del valor original.
Fórmula de cambio porcentual:
Cambio porcentual=Valor nuevo−Valor originalValor original×100%\text{Cambio porcentual} = \frac{\text{Valor nuevo} - \text{Valor original}}{\text{Valor original}} \times 100\%
  • Si el resultado es positivo, es un aumento porcentual
  • Si el resultado es negativo, es una disminución porcentual
Método alternativo - Usando multiplicadores:
  • Para un aumento del 20%: multiplica por 1,201{,}20 (que es 1+0,201 + 0{,}20)
  • Para una disminución del 20%: multiplica por 0,800{,}80 (que es 1−0,201 - 0{,}20)

Ejemplos resueltos

Un par de zapatillas costaba 80 dólares el año pasado. Este año cuesta 100 dólares. ¿Cuál es el aumento porcentual?
1

Identificar los valores

Original = 80 dólares, Nuevo = 100 dólares → Original: 80, Nuevo: 100
2

Encontrar el cambio

100−80=20100 - 80 = 20 dólares → Cambio = 20
3

Dividir por el original

2080=0,25\frac{20}{80} = 0{,}25
4

Convertir a porcentaje

0,25×100%=25%0{,}25 \times 100\% = 25\% → Aumento del 25%

Errores comunes

Usar el valor nuevo en lugar del valor original en el denominador

Por qué está mal: El cambio porcentual siempre es relativo al punto de partida, no al resultado final.

Correcto: Siempre divide por el valor ORIGINAL: CambioOriginal×100%\frac{\text{Cambio}}{\text{Original}} \times 100\%

Pensar que un aumento del 50% seguido de una disminución del 50% devuelve al original

Por qué está mal: Después de un aumento del 50%, la nueva base es mayor. Una disminución del 50% de un número mayor quita más.

Correcto: Ejemplo: 100 aumenta 50% a 150. Luego 150 disminuye 50% a 75, ¡no vuelve a 100!

Confundir el aumento porcentual con el nuevo total

Por qué está mal: Un aumento del 20% no significa que el nuevo valor es 20% - significa que AÑADES 20% al 100%.

Correcto: Para un aumento del 20%, multiplica por 1,20 (no 0,20). El nuevo valor es 120% del original.

Olvidar convertir el decimal a porcentaje

Por qué está mal: 0,15 y 15% se ven diferentes pero representan la misma cantidad. Olvidar multiplicar por 100 da un formato de respuesta incorrecto.

Correcto: Después de dividir, multiplica por 100 para expresar como porcentaje: 0,15×100%=15%0{,}15 \times 100\% = 15\%

Por qué es importante

El cambio porcentual está en todas partes de la vida diaria:
  • Compras: Una camisa de 40 dólares ahora tiene 25% de descuento. ¿Cuál es el precio rebajado?
  • Salario: Tu salario por hora aumenta de 15 a 18 dólares. ¿Qué porcentaje de aumento es?
  • Inversiones: Una acción sube de 50 dólares a 65 dólares. ¿Cuál es la ganancia porcentual?
  • Población: Una ciudad crece de 10.000 a 12.500 habitantes. ¿Cuál es la tasa de crecimiento?
  • Calificaciones: Tu nota del examen mejoró de 70 a 84. ¿Cuánto mejoraste?
¡Entender el cambio porcentual te ayuda a tomar decisiones financieras inteligentes e interpretar datos en las noticias!

Aplicaciones del mundo real

Compras y descuentos

Las tiendas usan la disminución porcentual para mostrar cuánto ahorras durante las ofertas.

Ejemplo:

Un descuento del 40% en un artículo de 90 dólares significa que pagas 90×0,60=5490 \times 0{,}60 = 54 dólares.

1Inténtalo tú mismo

Una tienda anuncia '¡30% de descuento en todo!' Quieres comprar auriculares con precio original de 80 dólares.

¿Cuánto pagarás?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula el precio rebajado:

Salarios y sueldos

Empleadores y empleados usan el aumento porcentual para discutir aumentos y ajustes por coste de vida.

Ejemplo:

Un aumento del 5% sobre un salario de 50.000 dólares significa un nuevo salario de 50.000×1,05=52.50050.000 \times 1{,}05 = 52.500 dólares.

2Inténtalo tú mismo

Tu salario mensual es de 3.000 dólares. Recibes un aumento del 8%.

¿Cuál es tu nuevo salario mensual?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula el nuevo salario:

Crecimiento poblacional

Los demógrafos usan el cambio porcentual para rastrear cómo las poblaciones crecen o disminuyen.

Ejemplo:

Una ciudad con 500.000 habitantes que crece un 4% tendrá 500.000×1,04=520.000500.000 \times 1{,}04 = 520.000 habitantes.

3Inténtalo tú mismo

Una ciudad tenía 25.000 residentes el año pasado. Este año tiene 27.500 residentes.

¿Cuál es el aumento porcentual de la población?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula el cambio porcentual:

Puntos clave

  • 1Cambio porcentual = Nuevo−OriginalOriginal×100%\frac{\text{Nuevo} - \text{Original}}{\text{Original}} \times 100\%
  • 2Resultado positivo = aumento porcentual; Resultado negativo = disminución porcentual
  • 3Para un aumento del X%, multiplica por (1+X/100)(1 + X/100). Ejemplo: aumento del 15% usa multiplicador 1,15
  • 4Para una disminución del X%, multiplica por (1−X/100)(1 - X/100). Ejemplo: disminución del 15% usa multiplicador 0,85
  • 5Siempre usa el valor ORIGINAL como base para los cálculos

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre aumento porcentual y porcentaje de?

Porcentaje DE encuentra una parte de algo (ej: 20% de 50 = 10). Aumento PORCENTUAL añade esa cantidad al original (ej: 50 aumentado en 20% = 50 + 10 = 60).

¿Puede la disminución porcentual ser más del 100%?

No, una disminución porcentual no puede exceder el 100% porque no puedes perder más de lo que tienes. Una disminución del 100% significa que el valor se convierte en cero.

¿Por qué un aumento del 25% seguido de una disminución del 25% no devuelve el original?

Porque la disminución del 25% se aplica al valor AUMENTADO, no al original. Ejemplo: 100 aumentado un 25% da 100×1,25=125100 \times 1{,}25 = 125. Luego 125 disminuido un 25% da 125×0,75=93,75125 \times 0{,}75 = 93{,}75, no 100.

Glosario

Aumento porcentual
Un cambio porcentual positivo que indica crecimiento desde el valor original
Disminución porcentual
Un cambio porcentual negativo que indica reducción desde el valor original
Multiplicador
Un decimal usado para calcular directamente el nuevo valor (ej: 1,20 para un aumento del 20%)
Valor original
El valor inicial antes de que se aplique cualquier cambio porcentual
Recargo
Un aumento porcentual añadido al coste para determinar el precio de venta
Descuento
Una disminución porcentual del precio regular

Tarjeta de fórmulas

Cambio porcentual

Cambio porcentual=Nuevo−OriginalOriginal×100%\text{Cambio porcentual} = \frac{\text{Nuevo} - \text{Original}}{\text{Original}} \times 100\%

Calcula el aumento (positivo) o disminución (negativo) porcentual

Multiplicador de aumento

Valor nuevo=Original×(1+Porcentaje100)\text{Valor nuevo} = \text{Original} \times (1 + \frac{\text{Porcentaje}}{100})

Encuentra el nuevo valor después de un aumento porcentual

Multiplicador de disminución

Valor nuevo=Original×(1−Porcentaje100)\text{Valor nuevo} = \text{Original} \times (1 - \frac{\text{Porcentaje}}{100})

Encuentra el nuevo valor después de una disminución porcentual

Encontrar el original

Original=Valor nuevoMultiplicador\text{Original} = \frac{\text{Valor nuevo}}{\text{Multiplicador}}

Trabaja hacia atrás desde el nuevo valor para encontrar el original

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