Fórmula de Euler para poliedros

Aprende la fórmula de Euler V - A + C = 2, cuenta vértices, aristas y caras de forma ordenada y usa la fórmula para hallar un dato que falta o descubrir un cuerpo imposible.

Avanzado25 minLección
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Definición

Un poliedro es un cuerpo cuya superficie está formada solo por polígonos planos. Todo poliedro tiene tres cantidades:
  • VV = número de vértices (esquinas)
  • AA = número de aristas (segmentos donde se unen dos caras)
  • CC = número de caras (los polígonos planos)
La fórmula de Euler dice que para todo poliedro convexo:
V−A+C=2V - A + C = 2
En un cubo: V=8V = 8, A=12A = 12, C=6C = 6, y 8−12+6=28 - 12 + 6 = 2. También se suele escribir como C+V=A+2C + V = A + 2, que dice lo mismo.
Contar las aristas de forma ordenada: cada arista pertenece exactamente a dos caras. Por eso, si sumas los lados de todas las caras, cada arista se cuenta dos veces:
A=suma de los lados de todas las caras2A = \frac{\text{suma de los lados de todas las caras}}{2}
Los prismas y pirámides cuya base tiene nn lados siguen patrones sencillos:
  • Prisma: V=2nV = 2n, A=3nA = 3n, C=n+2C = n + 2
  • Pirámide: V=n+1V = n + 1, A=2nA = 2n, C=n+1C = n + 1
La fórmula solo vale para cuerpos sin agujeros. Un cuerpo con forma de marco de cuadro (un cuerpo atravesado por un agujero) da V−A+C=0V - A + C = 0 en lugar de 22.

Pruébalo ahora

¿Qué igualdad es la fórmula de Euler para un poliedro convexo?

Ejemplos resueltos

Cuenta los vértices, aristas y caras de un prisma hexagonal y comprueba la fórmula de Euler.
1

Cuenta los vértices por niveles

El hexágono de arriba tiene 66 vértices y el de abajo otros 66 → V=6+6=12V = 6 + 6 = 12
2

Cuenta las aristas por grupos

66 aristas arriba, 66 abajo y 66 aristas verticales que las unen → A=6+6+6=18A = 6 + 6 + 6 = 18
3

Cuenta las caras

22 bases hexagonales y 66 caras laterales rectangulares → C=2+6=8C = 2 + 6 = 8
4

Comprueba la fórmula de Euler

V−A+C=12−18+8V - A + C = 12 - 18 + 8 → 22

Errores comunes

Sumar los lados de todas las caras y tomar ese total como número de aristas

Por qué está mal: Cada arista es la línea donde se juntan dos caras, así que se cuenta una vez por cada una de ellas.

Correcto: Divide entre 2 el total de lados de las caras. Un cubo tiene 6×4=246 \times 4 = 24 lados de caras, pero solo 24÷2=1224 \div 2 = 12 aristas.

Confundir los signos, por ejemplo escribir V+A−C=2V + A - C = 2

Por qué está mal: Las aristas son las que se restan. Con los signos mal, un cubo da 8+12−6=148 + 12 - 6 = 14.

Correcto: Vértices y caras se suman, las aristas se restan: V−A+C=2V - A + C = 2. Compruébalo con un cubo: 8−12+6=28 - 12 + 6 = 2.

Aplicar la fórmula a cilindros, conos, esferas o cuerpos con agujeros

Por qué está mal: Las superficies curvas no son polígonos, y un agujero cambia el resultado (un marco de cuadro da 00).

Correcto: Usa V−A+C=2V - A + C = 2 solo con poliedros sin agujeros: caras poligonales planas, aristas rectas y una única superficie cerrada.

Pensar que tres números cualesquiera con V−A+C=2V - A + C = 2 describen un poliedro real

Por qué está mal: Todo poliedro pasa esta prueba, pero pasarla no basta. Por ejemplo, V=4,5V = 4{,}5, A=7,5A = 7{,}5, C=5C = 5 también da 22.

Correcto: Comprueba además que los números son enteros y que la suma de los lados de las caras es par (2A2A). Cinco triángulos tienen 1515 lados, un número impar, así que ningún poliedro está formado solo por cinco triángulos (un poliedro siempre tiene un número par de caras con un número impar de lados).

Visual interactivo

Cuenta V, A y C: prismas, pirámides y un octaedro

Elige un cuerpo en la tabla y cuenta abajo sus vértices (V), aristas (A) y caras (C). Toca ? para descubrir un número.

CuerpoVACV − A + C
…
…
…
…
…
…
…

Cuéntalos

Toca el cuerpo o Empezar a contar: cada vértice se ilumina uno tras otro.

Recorre las aristas una a una

Cuéntalos

Toca el cuerpo o Empezar a contar: cada arista se ilumina una tras otra.

Caras

8

Aristas

18

Vértices

12

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Qué igualdad es la fórmula de Euler para un poliedro convexo?

Por qué es importante

La fórmula de Euler relaciona tres números que parecen no tener nada que ver, y funciona para todo poliedro convexo, sea cual sea su tamaño o su forma.
  • Comprobar tus conteos: si cuentas VV, AA y CC y no te sale 22, te has equivocado al contar (o el cuerpo tiene un agujero)
  • Hallar un dato que falta: con dos de las cantidades obtienes la tercera sin contar
  • Probar diseños: ingenieros y artistas 3D la usan para comprobar que una malla cerrada no tiene huecos ni agujeros
  • Deporte y ciencia: los paneles de un balón de fútbol clásico, las formas de los cristales y las estructuras de las cúpulas geodésicas la cumplen
Además es tu primer paso hacia la topología, la parte de las matemáticas que estudia lo que no cambia cuando una figura se estira o se dobla.

Aplicaciones del mundo real

Diseñar un balón de fútbol

El balón de fútbol clásico se cose con $12$ pentágonos y $20$ hexágonos. Con los lados de las caras y la fórmula de Euler, los diseñadores saben cuántas costuras y puntos de costura habrá antes de cortar el material.

Ejemplo:

Cada costura une dos paneles, así que el número de costuras es la mitad del número de lados de los paneles.

1Inténtalo tú mismo

Un balón de fútbol tiene 1212 paneles pentagonales y 2020 hexagonales. Las costuras son las aristas y los puntos donde se juntan tres costuras son los vértices.

¿Cuántos vértices tiene el balón?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa V=2+A−CV = 2 + A - C con el número de costuras AA y de paneles CC:

Modelos 3D en videojuegos y animación

Los personajes y objetos de los videojuegos se construyen con mallas cerradas de triángulos. Los programas comprueban la fórmula de Euler para detectar mallas con huecos, vértices duplicados o agujeros accidentales antes de que provoquen fallos gráficos.

Ejemplo:

Una malla cerrada de 44 triángulos (un tetraedro) tiene 66 aristas y 44 vértices: 4−6+4=24 - 6 + 4 = 2.

2Inténtalo tú mismo

Una artista 3D construye un modelo cerrado, sin agujeros, con 500500 triángulos.

¿Cuántos vértices debería tener el modelo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla AA a partir de los lados de los triángulos y luego V=2+A−CV = 2 + A - C:

Cristales en los minerales

Muchos cristales crecen con forma de poliedro. Un cristal de cuarzo pegado a una roca tiene forma de prisma hexagonal con una pirámide hexagonal en su extremo libre, y los mineralogistas describen las formas cristalinas con conteos como estos.

Ejemplo:

Una punta de cuarzo tiene 66 caras laterales rectangulares, 66 caras triangulares en la punta y 11 cara hexagonal apoyada en la roca.

3Inténtalo tú mismo

Un cristal de cuarzo es un prisma hexagonal con una pirámide hexagonal encima. Tiene 1313 caras y 2424 aristas.

¿Cuántos vértices tiene el cristal?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Despeja VV en V−A+C=2V - A + C = 2:

Puntos clave

  • 1Un poliedro es un cuerpo con caras poligonales planas; cuenta sus vértices VV, aristas AA y caras CC
  • 2Fórmula de Euler: V−A+C=2V - A + C = 2 para todo poliedro convexo (y todo poliedro sin agujeros)
  • 3Cuenta ordenadamente por grupos (arriba, abajo, lados) y comprueba tus conteos con la fórmula
  • 4Cada arista pertenece a dos caras, así que AA = (suma de los lados de todas las caras) ÷2\div 2
  • 5Prisma con base de nn lados: V=2nV = 2n, A=3nA = 3n, C=n+2C = n + 2; pirámide: V=n+1V = n + 1, A=2nA = 2n, C=n+1C = n + 1
  • 6Unos datos que no dan 22 no pueden ser de un poliedro convexo; un cuerpo con un agujero da V−A+C=0V - A + C = 0

Preguntas frecuentes

Sí, siempre que el cuerpo no tenga agujeros (se podría inflar como un globo hasta convertirlo en una esfera). Un bloque en forma de L, por ejemplo, sigue dando V−A+C=2V - A + C = 2. Los cuerpos con agujeros, como un marco de cuadro, dan otro valor.
Sí, siempre que el cuerpo no tenga agujeros (se podría inflar como un globo hasta convertirlo en una esfera). Un bloque en forma de L, por ejemplo, sigue dando V−A+C=2V - A + C = 2. Los cuerpos con agujeros, como un marco de cuadro, dan otro valor.
Imagina que quitas una cara y aplastas el resto sobre una mesa. Dividir las caras en triángulos y luego quitar triángulos del borde uno a uno nunca cambia V−A+CV - A + C, y al final queda un solo triángulo (3−3+1=13 - 3 + 1 = 1). Al volver a poner la cara quitada se obtiene 1+1=21 + 1 = 2. El número 22 depende de la forma de esfera de la superficie, no del cuerpo concreto.
No. Tienen superficies curvas, así que no son poliedros, y sus caras y aristas no se cuentan del mismo modo. La fórmula de Euler trata de cuerpos formados solo por polígonos planos.
Leonhard Euler la describió en una carta en 1750 y la publicó en los años siguientes. René Descartes había anotado un resultado muy parecido hacia 1630, pero sus apuntes no se encontraron hasta mucho después.

Glosario

Poliedro
Un cuerpo cuya superficie está formada solo por polígonos planos
Cara
Cada uno de los polígonos planos que forman la superficie de un poliedro
Arista
Un segmento donde se unen dos caras de un poliedro
Vértice
Un punto donde se unen varias aristas (una esquina); plural: vértices
Poliedro convexo
Un poliedro sin entrantes: el segmento que une dos puntos cualesquiera queda dentro de él
Fórmula de Euler
La regla V−A+C=2V - A + C = 2 para todo poliedro convexo

Tarjeta de fórmulas

Fórmula de Euler

V−A+C=2V - A + C = 2

$V$ = vértices, $A$ = aristas, $C$ = caras de un poliedro convexo

Aristas a partir de las caras

A=suma de los lados de las caras2A = \frac{\text{suma de los lados de las caras}}{2}

Cada arista la comparten exactamente dos caras

Prisma con base de n lados

V=2n,  A=3n,  C=n+2V = 2n,\; A = 3n,\; C = n + 2

$n$ = número de lados de la base

Pirámide con base de n lados

V=n+1,  A=2n,  C=n+1V = n + 1,\; A = 2n,\; C = n + 1

$n$ = número de lados de la base

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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