Sólidos platónicos

Conoce los cinco sólidos platónicos, cuenta sus caras, aristas y vértices, y descubre por qué nunca puede existir un sexto.

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Definición

Un sólido platónico (o poliedro regular) es un cuerpo que cumple tres condiciones:
  1. 1.Todas sus caras son el mismo polígono regular (todos los lados y todos los ángulos iguales).
  2. 2.En cada vértice se juntan el mismo número de caras.
  3. 3.Es convexo: sin hundimientos, cada vértice apunta hacia fuera.
Hay exactamente cinco:
  • Tetraedro: 4 triángulos equiláteros, 3 en cada vértice. V=4V = 4, A=6A = 6, C=4C = 4
  • Cubo (hexaedro): 6 cuadrados, 3 en cada vértice. V=8V = 8, A=12A = 12, C=6C = 6
  • Octaedro: 8 triángulos equiláteros, 4 en cada vértice. V=6V = 6, A=12A = 12, C=8C = 8
  • Dodecaedro: 12 pentágonos regulares, 3 en cada vértice. V=20V = 20, A=30A = 30, C=12C = 12
  • Icosaedro: 20 triángulos equiláteros, 5 en cada vértice. V=12V = 12, A=30A = 30, C=20C = 20
Los cinco cumplen la fórmula de Euler V−A+C=2V - A + C = 2 (en inglés se escribe V−E+F=2V - E + F = 2). Solo hay cinco por la suma de ángulos en un vértice: los ángulos de las caras que se juntan en un vértice deben sumar menos de 360°360°; si no, no hay vértice: con 360°360° justos las caras quedan planas y con más de 360°360° no caben alrededor del punto.
(caras en un veˊrtice)×(un aˊngulo de la cara)<360°\text{(caras en un vértice)} \times \text{(un ángulo de la cara)} < 360°

Pruébalo ahora

¿Cuál de estos cuerpos NO es un sólido platónico?

Ejemplos resueltos

Un octaedro tiene 8 caras, cada una un triángulo equilátero, y en cada vértice se juntan 4 caras. Halla el número de aristas y de vértices.
1

Cuenta todos los lados de los triángulos

8 caras×3 lados=248 \text{ caras} \times 3 \text{ lados} = 24 → 24 lados en total
2

Cada arista la comparten 2 caras

A=24÷2A = 24 \div 2 → A=12A = 12
3

Cuenta todas las esquinas de los triángulos: cada vértice reúne 4

8×3=248 \times 3 = 24 esquinas, V=24÷4V = 24 \div 4 → V=6V = 6
4

Comprueba con la fórmula de Euler

V−A+C=6−12+8V - A + C = 6 - 12 + 8 → 22, correcto

Errores comunes

Llamar sólido platónico a cualquier cuerpo con caras iguales

Por qué está mal: La bipirámide triangular (dos tetraedros pegados) tiene 6 triángulos equiláteros iguales, pero en dos de sus vértices se juntan 3 caras y en los otros tres se juntan 4.

Correcto: Comprueba las dos condiciones: el mismo polígono regular en todas las caras Y el mismo número de caras en cada vértice.

Contar las aristas del cubo como 6×4=246 \times 4 = 24

Por qué está mal: Cada arista pertenece a dos caras, así que al contar los lados de todas las caras cuentas cada arista dos veces.

Correcto: Divide entre 2: A=6×42=12A = \frac{6 \times 4}{2} = 12. En general A=C×n2A = \frac{C \times n}{2}, donde nn es el número de lados de una cara.

Creer que 6 triángulos o 4 cuadrados en un vértice forman un sólido nuevo

Por qué está mal: 6×60°=360°6 \times 60° = 360° y 4×90°=360°4 \times 90° = 360°: las caras completan la vuelta entera alrededor del punto y quedan planas, como baldosas.

Correcto: La suma de ángulos en un vértice tiene que ser estrictamente menor que 360°360°.

Creer que todos los dados de juego son sólidos platónicos

Por qué está mal: El dado de diez caras (d10) tiene caras con forma de cometa, que no son polígonos regulares, y sus vértices no son todos iguales.

Correcto: Solo los d4, d6, d8, d12 y d20 son sólidos platónicos. Aun así el d10 es justo, porque todas sus caras tienen la misma forma y la misma posición.

Visual interactivo

Los cinco sólidos platónicos: toca para contar las caras

Cuéntalos

Toca el cuerpo o Empezar a contar: cada cara se ilumina una tras otra.

Caras

4

Aristas

6

Vértices

4

Forma de las caras

Triángulo equilátero

Caras en cada vértice

3

Volumen

V = (√2/12)a³

7,54 unidades³

Área de superficie

SA = √3a²

27,71 unidades²

Desarrollos planos de los cinco sólidos platónicos

Desarrollo plano

8 caras iguales

Caras

8

Aristas

12

Vértices

6

Forma de las caras

Triángulo equilátero

Caras en cada vértice

4

Volumen

V = (√2/3)a³

30,17 unidades³

Área de superficie

SA = 2√3a²

55,43 unidades²

Visor de formas 3D

Caras

4

Aristas

6

Vértices

4

Forma de las caras

Triángulo equilátero

Caras en cada vértice

3

Fórmula de Euler: V − A + C = 4 − 6 + 4 = 2

Volumen

V = (√2/12)a³

V = √2/12 · 3³ ≈ 3,18

3,18 cm³

Área de superficie

SA = √3a²

SA = √3 · 3² ≈ 15,59

15,59 cm²

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Problemas de práctica

18 problemas
Problema 1 de 18
Fácil
¿Cuál de estos cuerpos NO es un sólido platónico?

Por qué es importante

Los sólidos platónicos fascinan a la humanidad desde hace más de 2000 años, y todavía los encuentras por todas partes:
  • Juegos: los dados d4, d6, d8, d12 y d20 son exactamente los cinco sólidos platónicos. Como todas las caras son iguales y están colocadas igual, cada número tiene la misma probabilidad.
  • Biología: muchos virus (como el virus del herpes y el adenovirus) construyen su envoltura de proteínas con forma de icosaedro, porque 20 triángulos iguales forman una envoltura resistente y cerrada a partir de muchas copias de la misma pieza pequeña.
  • Química y cristales: una molécula de metano tiene forma de tetraedro, la sal común y la pirita crecen como cubos, y la fluorita y el diamante a menudo como octaedros.
  • Arquitectura: las cúpulas geodésicas parten de un icosaedro cuyas caras se dividen en triángulos más pequeños.
  • Historia: Platón relacionó cuatro sólidos con el fuego, la tierra, el aire y el agua, y el dodecaedro con el universo entero. Euclides demostró que solo hay cinco, y Johannes Kepler (1596) intentó explicar las órbitas de los planetas encajando los sólidos unos dentro de otros.
La demostración de que solo hay cinco es uno de los razonamientos más antiguos y bonitos de las matemáticas, y puedes seguirla solo con ángulos.

Aplicaciones del mundo real

Dados justos para juegos de mesa

Los juegos de rol usan los cinco sólidos platónicos como dados. Como cada cara es el mismo polígono regular y cada vértice es igual, ninguna cara sale arriba más a menudo que otra.

Ejemplo:

En un d20 (icosaedro) cada número tiene probabilidad 120=0,05\frac{1}{20} = 0{,}05, así que sacar 15 o más (del 15 al 20, seis números) tiene probabilidad 620=0,3\frac{6}{20} = 0{,}3.

1Inténtalo tú mismo

Lanzas un dado justo de 12 caras (un dodecaedro) numerado del 1 al 12.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 9?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Casos favorables entre casos posibles:

Envolturas de virus

Muchos virus guardan sus genes en una envoltura (cápside) con forma de icosaedro. La naturaleza la usa porque 20 triángulos iguales se cierran en una envoltura resistente hecha con muchas copias de la misma proteína pequeña.

Ejemplo:

Una cápside icosaédrica tiene 12 vértices donde se juntan 5 triángulos. Los científicos describen la estructura con estos 12 puntos de simetría de orden cinco.

2Inténtalo tú mismo

Un museo de ciencias construye una maqueta gigante de la cápside de un virus con 20 paneles triangulares unidos por barras metálicas a lo largo de las aristas.

¿Cuántas barras (aristas) necesita la maqueta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cuenta todos los lados de los paneles y recuerda que cada barra se comparte:

Lámparas de papel y maquetas

Los diseñadores pliegan lámparas, cajas de regalo y adornos a partir de desarrollos planos de sólidos platónicos. El área total les dice cuánto papel o material necesitan.

Ejemplo:

Una lámpara cúbica de 20 cm de arista necesita 6×202=24006 \times 20^2 = 2400 cm² de papel (más las pestañas para pegar).

3Inténtalo tú mismo

Pliegas una lámpara con forma de octaedro de papel. Cada arista mide 10 cm.

¿Cuánto papel cubren las 8 caras? Redondea a una cifra decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa AT=23 a2A_T = 2\sqrt{3}\,a^2:

Puntos clave

  • 1Un sólido platónico tiene caras que son polígonos regulares iguales, el mismo número de caras en cada vértice y ningún hundimiento (convexo)
  • 2Hay exactamente cinco: tetraedro (4 triángulos), cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos), icosaedro (20 triángulos)
  • 3Solo existen cinco porque los ángulos de las caras en un vértice deben sumar menos de 360°360°: 3, 4 o 5 triángulos, 3 cuadrados o 3 pentágonos
  • 4Las aristas y los vértices se deducen de las caras: A=C×n2A = \frac{C \times n}{2} y V=C×nkV = \frac{C \times n}{k} (nn lados por cara, kk caras por vértice), y V−A+C=2V - A + C = 2
  • 5Los duales intercambian VV y CC: cubo y octaedro, dodecaedro e icosaedro; el tetraedro es dual de sí mismo
  • 6Área total para la arista aa: tetraedro 3a2\sqrt{3}a^2, cubo 6a26a^2, octaedro 23a22\sqrt{3}a^2, icosaedro 53a25\sqrt{3}a^2

Preguntas frecuentes

El filósofo griego Platón los describió hacia el 360 a. C. en su diálogo Timeo. Relacionó el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el universo. Ya se conocían antes de él, y más tarde Euclides demostró que hay exactamente cinco.
El filósofo griego Platón los describió hacia el 360 a. C. en su diálogo Timeo. Relacionó el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el universo. Ya se conocían antes de él, y más tarde Euclides demostró que hay exactamente cinco.
No. Sus caras son cometas, no polígonos regulares, y en algunos vértices se juntan 3 caras mientras que en las dos puntas se juntan 5. Aun así es justo, porque todas sus caras son iguales y están colocadas del mismo modo.
El propio tetraedro. Tiene V=4V = 4 y C=4C = 4, así que al intercambiar vértices y caras vuelves a obtener un tetraedro (puesto boca abajo).
Sí. En cuatro dimensiones hay seis figuras regulares (llamadas politopos), y en cinco o más dimensiones solo quedan tres. Nuestro mundo en 3D tiene cinco.

Glosario

Sólido platónico (poliedro regular)
Un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares iguales, con el mismo número de caras en cada vértice
Polígono regular
Un polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales, como un triángulo equilátero, un cuadrado o un pentágono regular
Convexo
Sin hundimientos: el segmento entre dos puntos cualesquiera del cuerpo queda dentro del cuerpo
Suma de ángulos en un vértice
La suma de los ángulos de las caras que se juntan en un vértice; en un cuerpo debe ser menor que 360°360°
Sólido dual
El cuerpo que se obtiene al poner un vértice en el centro de cada cara; vértices y caras se intercambian
Desarrollo plano
Un dibujo plano con todas las caras que se pliega para formar el cuerpo

Tarjeta de fórmulas

Condición en un vértice

k×α<360°k \times \alpha < 360°

$k$ = caras en un vértice, $\alpha$ = un ángulo de la cara

Aristas a partir de las caras

A=C×n2A = \frac{C \times n}{2}

$n$ = lados de una cara; cada arista la comparten 2 caras

Vértices a partir de las caras

V=C×nkV = \frac{C \times n}{k}

$k$ = caras que se juntan en cada vértice

Fórmula de Euler

V−A+C=2V - A + C = 2

Se cumple en los cinco sólidos platónicos

Áreas totales (arista $a$)

3a2, 6a2, 23a2, 53a2\sqrt{3}a^2,\ 6a^2,\ 2\sqrt{3}a^2,\ 5\sqrt{3}a^2

Tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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