Guía del profesor: Sólidos platónicos

Conoce los cinco sólidos platónicos, cuenta sus caras, aristas y vértices, y descubre por qué nunca puede existir un sexto.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Figuras 3D. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Definir un sólido platónico con sus tres condiciones: caras regulares iguales, el mismo número de caras en cada vértice, convexo
Nombrar los cinco sólidos platónicos e indicar la forma de sus caras y sus $V$ , $A$ y $C$
Explicar con la suma de ángulos en un vértice por qué existen exactamente cinco sólidos platónicos
Calcular aristas y vértices a partir de las caras y comprobar el resultado con la fórmula de Euler
Reconocer las parejas duales y calcular el área total de un sólido platónico a partir de su arista

Requisitos previos

• Caras, aristas y vértices de los cuerpos (Introducción a los cuerpos 3D)
• Fórmula de Euler para poliedros: $V - A + C = 2$
• Ángulos de los polígonos regulares (triángulo $60°$ , cuadrado $90°$ , pentágono $108°$ )
• Área del triángulo y raíces cuadradas

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué crees que hay infinitos polígonos regulares en 2D pero solo cinco sólidos regulares en 3D?
2. ¿Qué le pasa a un vértice cuando intentas colocar 6 triángulos equiláteros alrededor de un punto?
3. ¿Por qué un dado justo necesita que todas las caras tengan la misma forma? ¿Conoces un dado justo que no sea un sólido platónico?
4. El cubo tiene 8 vértices y 6 caras; el octaedro, 6 vértices y 8 caras. ¿Es casualidad?

Conceptos erróneos comunes

Cualquier cuerpo hecho de triángulos equiláteros es un sólido platónico

Remediación: Pedir que construyan una bipirámide triangular con dos tetraedros de papel. Contar las caras en cada vértice (3 en las puntas, 4 alrededor del centro) y compararla con el octaedro, donde cada vértice tiene 4.

Tiene que haber más sólidos regulares, solo que aún no se han encontrado

Remediación: Recorrer paso a paso el argumento de la suma de ángulos. El alumnado coloca polígonos de papel alrededor de un punto y ve que 6 triángulos, 4 cuadrados y 3 hexágonos quedan planos, así que no hay nada más allá de los cinco.

Las aristas se cuentan multiplicando caras por lados

Remediación: Contar las aristas de un cubo de verdad con pegatinas, una por arista. Salen 12, no 24, y se ve que cada arista toca dos caras.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar maquetas o desarrollos ya plegados para contar caras, aristas y vértices con las manos
• Dar la tabla de ángulos (60°, 90°, 108°, 120°) en lugar de deducir el ángulo del pentágono
• Empezar solo con el tetraedro, el cubo y el octaedro

Para estudiantes de nivel:

• Completar la tabla V, A, C de los cinco sólidos y comprobar la fórmula de Euler en cada uno
• Demostrar con la suma de ángulos en un vértice que solo existen cinco sólidos
• Encontrar las parejas duales y explicar por qué $A$ no cambia

Para estudiantes avanzados:

• Calcular el defecto angular en cada vértice ( $360°$ menos la suma de ángulos) y mostrar que el total es $720°$ en los cinco sólidos
• Deducir el volumen del tetraedro, $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$ , a partir de un cubo cortado en piezas
• Investigar los sólidos arquimedianos (como el balón de fútbol) y qué condición dejan de cumplir

Alineación con estándares

6.G.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.G.A.4)
Representar cuerpos mediante desarrollos planos formados por rectángulos y triángulos, y usarlos para hallar su área total
7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)
Usar propiedades de los ángulos suplementarios, complementarios, opuestos por el vértice y adyacentes en problemas de varios pasos para plantear y resolver ecuaciones de un ángulo desconocido
7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)
Resolver problemas reales y matemáticos de área, volumen y área total de figuras y cuerpos formados por triángulos, cuadriláteros, polígonos, cubos y prismas rectos
HSG.MG.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.MG.A.1)
Usar figuras geométricas, sus medidas y sus propiedades para describir objetos

Recursos de la lección

visualVisor interactivo de sólidos platónicos
Girar los cinco sólidos, tocar las caras para contarlas y desplegar cada uno en su desarrollo plano
activityConstruir los cinco con desarrollos planos
El alumnado recorta y pliega desarrollos de papel e intenta (sin éxito) construir un sexto sólido con 6 triángulos o 4 cuadrados en un vértice
worksheetTabla V, A, C y duales
Completar la tabla de los cinco sólidos, encontrar las parejas duales y calcular áreas totales

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un sólido platónico (o poliedro regular) es un cuerpo que cumple tres condiciones:

1.Todas sus caras son el mismo polígono regular (todos los lados y todos los ángulos iguales).
2.En cada vértice se juntan el mismo número de caras.
3.Es convexo: sin hundimientos, cada vértice apunta hacia fuera.

Hay exactamente cinco:

Tetraedro: 4 triángulos equiláteros, 3 en cada vértice. $V = 4$ , $A = 6$ , $C = 4$
Cubo (hexaedro): 6 cuadrados, 3 en cada vértice. $V = 8$ , $A = 12$ , $C = 6$
Octaedro: 8 triángulos equiláteros, 4 en cada vértice. $V = 6$ , $A = 12$ , $C = 8$
Dodecaedro: 12 pentágonos regulares, 3 en cada vértice. $V = 20$ , $A = 30$ , $C = 12$
Icosaedro: 20 triángulos equiláteros, 5 en cada vértice. $V = 12$ , $A = 30$ , $C = 20$

Los cinco cumplen la fórmula de Euler

V - A + C = 2

(en inglés se escribe

V - E + F = 2

). Solo hay cinco por la suma de ángulos en un vértice: los ángulos de las caras que se juntan en un vértice deben sumar menos de

360°

; si no, no hay vértice: con

360°

justos las caras quedan planas y con más de

360°

no caben alrededor del punto.

\text{(caras en un vértice)} \times \text{(un ángulo de la cara)} < 360°

Ejemplos resueltos

Un octaedro tiene 8 caras, cada una un triángulo equilátero, y en cada vértice se juntan 4 caras. Halla el número de aristas y de vértices.

Cuenta todos los lados de los triángulos

8 \text{ caras} \times 3 \text{ lados} = 24

→ 24 lados en total

Cada arista la comparten 2 caras

A = 24 \div 2

→

A = 12

Cuenta todas las esquinas de los triángulos: cada vértice reúne 4

8 \times 3 = 24

esquinas,

V = 24 \div 4

→

V = 6

Comprueba con la fórmula de Euler

V - A + C = 6 - 12 + 8

→

2

, correcto

Respuesta: El octaedro tiene $12$ aristas y $6$ vértices.

Errores comunes

Llamar sólido platónico a cualquier cuerpo con caras iguales

Por qué está mal: La bipirámide triangular (dos tetraedros pegados) tiene 6 triángulos equiláteros iguales, pero en dos de sus vértices se juntan 3 caras y en los otros tres se juntan 4.

Correcto: Comprueba las dos condiciones: el mismo polígono regular en todas las caras Y el mismo número de caras en cada vértice.

Contar las aristas del cubo como $6 \times 4 = 24$

Por qué está mal: Cada arista pertenece a dos caras, así que al contar los lados de todas las caras cuentas cada arista dos veces.

Correcto: Divide entre 2: $A = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ . En general $A = \frac{C \times n}{2}$ , donde $n$ es el número de lados de una cara.

Creer que 6 triángulos o 4 cuadrados en un vértice forman un sólido nuevo

Por qué está mal: $6 \times 60° = 360°$ y $4 \times 90° = 360°$ : las caras completan la vuelta entera alrededor del punto y quedan planas, como baldosas.

Correcto: La suma de ángulos en un vértice tiene que ser estrictamente menor que $360°$ .

Creer que todos los dados de juego son sólidos platónicos

Por qué está mal: El dado de diez caras (d10) tiene caras con forma de cometa, que no son polígonos regulares, y sus vértices no son todos iguales.

Correcto: Solo los d4, d6, d8, d12 y d20 son sólidos platónicos. Aun así el d10 es justo, porque todas sus caras tienen la misma forma y la misma posición.

Por qué es importante

Los sólidos platónicos fascinan a la humanidad desde hace más de 2000 años, y todavía los encuentras por todas partes:

Juegos: los dados d4, d6, d8, d12 y d20 son exactamente los cinco sólidos platónicos. Como todas las caras son iguales y están colocadas igual, cada número tiene la misma probabilidad.
Biología: muchos virus (como el virus del herpes y el adenovirus) construyen su envoltura de proteínas con forma de icosaedro, porque 20 triángulos iguales forman una envoltura resistente y cerrada a partir de muchas copias de la misma pieza pequeña.
Química y cristales: una molécula de metano tiene forma de tetraedro, la sal común y la pirita crecen como cubos, y la fluorita y el diamante a menudo como octaedros.
Arquitectura: las cúpulas geodésicas parten de un icosaedro cuyas caras se dividen en triángulos más pequeños.
Historia: Platón relacionó cuatro sólidos con el fuego, la tierra, el aire y el agua, y el dodecaedro con el universo entero. Euclides demostró que solo hay cinco, y Johannes Kepler (1596) intentó explicar las órbitas de los planetas encajando los sólidos unos dentro de otros.

La demostración de que solo hay cinco es uno de los razonamientos más antiguos y bonitos de las matemáticas, y puedes seguirla solo con ángulos.

Aplicaciones del mundo real

Dados justos para juegos de mesa

Los juegos de rol usan los cinco sólidos platónicos como dados. Como cada cara es el mismo polígono regular y cada vértice es igual, ninguna cara sale arriba más a menudo que otra.

Ejemplo:

En un d20 (icosaedro) cada número tiene probabilidad $\frac{1}{20} = 0{,}05$ , así que sacar 15 o más (del 15 al 20, seis números) tiene probabilidad $\frac{6}{20} = 0{,}3$ .

1Inténtalo tú mismo

Lanzas un dado justo de 12 caras (un dodecaedro) numerado del 1 al 12.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un número mayor que 9?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Casos favorables entre casos posibles:

Envolturas de virus

Muchos virus guardan sus genes en una envoltura (cápside) con forma de icosaedro. La naturaleza la usa porque 20 triángulos iguales se cierran en una envoltura resistente hecha con muchas copias de la misma proteína pequeña.

Ejemplo:

Una cápside icosaédrica tiene 12 vértices donde se juntan 5 triángulos. Los científicos describen la estructura con estos 12 puntos de simetría de orden cinco.

2Inténtalo tú mismo

Un museo de ciencias construye una maqueta gigante de la cápside de un virus con 20 paneles triangulares unidos por barras metálicas a lo largo de las aristas.

¿Cuántas barras (aristas) necesita la maqueta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cuenta todos los lados de los paneles y recuerda que cada barra se comparte:

Lámparas de papel y maquetas

Los diseñadores pliegan lámparas, cajas de regalo y adornos a partir de desarrollos planos de sólidos platónicos. El área total les dice cuánto papel o material necesitan.

Ejemplo:

Una lámpara cúbica de 20 cm de arista necesita $6 \times 20^2 = 2400$ cm² de papel (más las pestañas para pegar).

3Inténtalo tú mismo

Pliegas una lámpara con forma de octaedro de papel. Cada arista mide 10 cm.

¿Cuánto papel cubren las 8 caras? Redondea a una cifra decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $A_T = 2\sqrt{3}\,a^2$ :

Puntos clave

1Un sólido platónico tiene caras que son polígonos regulares iguales, el mismo número de caras en cada vértice y ningún hundimiento (convexo)
2Hay exactamente cinco: tetraedro (4 triángulos), cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos), icosaedro (20 triángulos)
3Solo existen cinco porque los ángulos de las caras en un vértice deben sumar menos de $360°$ : 3, 4 o 5 triángulos, 3 cuadrados o 3 pentágonos
4Las aristas y los vértices se deducen de las caras: $A = \frac{C \times n}{2}$ y $V = \frac{C \times n}{k}$ ( $n$ lados por cara, $k$ caras por vértice), y $V - A + C = 2$
5Los duales intercambian $V$ y $C$ : cubo y octaedro, dodecaedro e icosaedro; el tetraedro es dual de sí mismo
6Área total para la arista $a$ : tetraedro $\sqrt{3}a^2$ , cubo $6a^2$ , octaedro $2\sqrt{3}a^2$ , icosaedro $5\sqrt{3}a^2$

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llaman sólidos platónicos?

El filósofo griego Platón los describió hacia el 360 a. C. en su diálogo Timeo. Relacionó el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el universo. Ya se conocían antes de él, y más tarde Euclides demostró que hay exactamente cinco.

¿El dado de diez caras (d10) es un sólido platónico?

No. Sus caras son cometas, no polígonos regulares, y en algunos vértices se juntan 3 caras mientras que en las dos puntas se juntan 5. Aun así es justo, porque todas sus caras son iguales y están colocadas del mismo modo.

¿Qué sólido es el dual del tetraedro?

El propio tetraedro. Tiene

V = 4

C = 4

, así que al intercambiar vértices y caras vuelves a obtener un tetraedro (puesto boca abajo).

¿Hay sólidos regulares en más dimensiones?

Sí. En cuatro dimensiones hay seis figuras regulares (llamadas politopos), y en cinco o más dimensiones solo quedan tres. Nuestro mundo en 3D tiene cinco.

Glosario

Sólido platónico (poliedro regular): Un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares iguales, con el mismo número de caras en cada vértice
Polígono regular: Un polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales, como un triángulo equilátero, un cuadrado o un pentágono regular
Convexo: Sin hundimientos: el segmento entre dos puntos cualesquiera del cuerpo queda dentro del cuerpo
Suma de ángulos en un vértice: La suma de los ángulos de las caras que se juntan en un vértice; en un cuerpo debe ser menor que $360°$
Sólido dual: El cuerpo que se obtiene al poner un vértice en el centro de cada cara; vértices y caras se intercambian
Desarrollo plano: Un dibujo plano con todas las caras que se pliega para formar el cuerpo

Tarjeta de fórmulas

Condición en un vértice

k \times \alpha < 360°

$k$ = caras en un vértice, $\alpha$ = un ángulo de la cara

Aristas a partir de las caras

A = \frac{C \times n}{2}

$n$ = lados de una cara; cada arista la comparten 2 caras

Vértices a partir de las caras

V = \frac{C \times n}{k}

$k$ = caras que se juntan en cada vértice

Fórmula de Euler

V - A + C = 2

Se cumple en los cinco sólidos platónicos

Áreas totales (arista $a$)

\sqrt{3}a^2,\ 6a^2,\ 2\sqrt{3}a^2,\ 5\sqrt{3}a^2

Tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro

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Lámparas de papel y maquetas

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Tarjeta de fórmulas

Condición en un vértice

Aristas a partir de las caras

Vértices a partir de las caras

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