Sólidos platónicos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál de estos cuerpos NO es un sólido platónico?
1. a)Pirámide cuadrangular
2. b)Icosaedro
3. c)Cubo
4. d)Octaedro
Respuesta: Pirámide cuadrangular
Una pirámide cuadrangular tiene una cara cuadrada y cuatro caras triangulares. Las caras no son todas el mismo polígono, así que no es un sólido platónico.
2.
¿Cuántas caras tiene un icosaedro?
Respuesta: 20
Un icosaedro tiene $20$ caras, todas triángulos equiláteros, y en cada vértice se juntan 5.
3.
Halla el número de aristas de un cubo contando los lados de sus caras.
Respuesta: 12
1. ¿Cuántas caras tiene un cubo? 6
2. ¿Cuántos lados tiene cada cara (un cuadrado)? 4
3. ¿Cuántos lados de caras son en total? 24
4. Cada arista la comparten 2 caras. ¿Cuántas aristas hay? 12
4.
¿Qué forma tienen las caras de un dodecaedro?
1. a)Triángulos equiláteros
2. b)Pentágonos regulares
3. c)Hexágonos regulares
4. d)Cuadrados
Respuesta: Pentágonos regulares
Un dodecaedro tiene 12 pentágonos regulares, 3 en cada vértice. Los hexágonos son imposibles, porque $3 \times 120° = 360°$ queda plano.
5.
Un tetraedro tiene 4 caras, cada una un triángulo equilátero. ¿Cuántas aristas tiene?
Respuesta: 6
$4 \times 3 = 12$ lados de triángulos, y cada arista la comparten dos caras: $12 \div 2 = 6$ aristas.
6.
¿Cuál es el mayor número de cuadrados que pueden juntarse en un vértice de un cuerpo?
Respuesta: 3
1. ¿Cuántos grados mide un ángulo de un cuadrado? 90
2. ¿Cuánto suman los ángulos de 3 cuadrados en un vértice? 270
3. ¿Cuánto suman los ángulos de 4 cuadrados en un vértice? 360
4. La suma debe ser menor que 360°. ¿Cuál es el mayor número de cuadrados? 3
7.
Lanzas un dado justo de 8 caras (un octaedro) numerado del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par?
Respuesta: 1/2
1. ¿Cuántas caras (casos posibles) tiene el dado? 8
2. ¿Cuántos de los números del 1 al 8 son pares? 4
3. ¿Cuál es la probabilidad como fracción irreducible? 1/2
8.
¿Por qué nunca pueden juntarse 6 triángulos equiláteros en un vértice de un sólido platónico?
1. a)El cuerpo tendría demasiadas aristas
2. b)Los triángulos serían demasiado pequeños
3. c)La fórmula de Euler no permite 6 caras
4. d)Sus ángulos suman 360°, así que quedan planos
Respuesta: Sus ángulos suman 360°, así que quedan planos
$6 \times 60° = 360°$ , una vuelta completa. Los seis triángulos llenan el plano alrededor del punto (como un hexágono), así que no hay vértice que sobresalga.
9.
En cada vértice de un dodecaedro se juntan 3 pentágonos regulares. Cada ángulo de un pentágono regular mide $108°$ . ¿Cuánto suman los ángulos en un vértice, en grados?
Respuesta: 324
$3 \times 108° = 324°$ , que es menor que $360°$ , así que los pentágonos forman un vértice de verdad. Con 4 pentágonos serían $432°$ , demasiado.
10.
Demuestra que en un vértice de un cuerpo pueden juntarse como mucho 3 pentágonos regulares.
Respuesta: 3
1. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un pentágono, $(5 - 2) \times 180$ ? 540
2. ¿Cuántos grados mide un ángulo de un pentágono regular? 108
3. ¿Cuánto suman los ángulos de 3 pentágonos en un vértice? 324
4. ¿Cuánto suman los ángulos de 4 pentágonos en un vértice? 432
5. La suma debe ser menor que 360°. ¿Cuál es el mayor número de pentágonos? 3
11.
¿Qué pareja de sólidos platónicos son duales (se intercambian vértices y caras)?
1. a)Octaedro e icosaedro
2. b)Tetraedro y cubo
3. c)Cubo y octaedro
4. d)Dodecaedro y cubo
Respuesta: Cubo y octaedro
El cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras; el octaedro tiene 6 vértices, 12 aristas y 8 caras. Vértices y caras se intercambian y las aristas no cambian, así que son duales.
12.
El área total de un octaedro es $2\sqrt{3}\,a^2$ . Para la arista $a = 5$ cm el área es $k\sqrt{3}$ cm². ¿Cuánto vale $k$ ?
Respuesta: 50
$2\sqrt{3} \times 25 = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6$ cm², así que $k = 50$ . Comprobación: 8 triángulos de $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25$ cada uno.
13.
Halla el área total de un tetraedro de arista $a = 6$ cm. Redondea a una cifra decimal.
Respuesta: 62.4
1. ¿Cuánto vale $a^2$ ? 36
2. Una cara tiene área $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = k\sqrt{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ? 9
3. Las 4 caras juntas tienen área $m\sqrt{3}$ . ¿Cuánto vale $m$ ? 36
4. Escribe $36\sqrt{3}$ como número decimal, redondeado a una cifra decimal. 62.4
14.
Un icosaedro tiene 20 caras triangulares, y en cada vértice se juntan 5 caras. Halla el número de aristas y el número de vértices.
Respuesta: 30, 12
1. ¿Cuántos lados de triángulo hay en total? 60
2. Cada arista la comparten 2 caras. ¿Cuántas aristas hay? 30
3. También hay 60 esquinas de triángulo, y cada vértice reúne 5. ¿Cuántos vértices hay? 12
4. Comprobación: vértices - aristas + caras = ? 2
15.
Pega dos tetraedros regulares por una cara. El nuevo cuerpo tiene como caras 6 triángulos equiláteros iguales. ¿Es un sólido platónico?
1. a)Sí, porque todas las caras son triángulos equiláteros iguales
2. b)No, porque los triángulos no pueden formar un cuerpo cerrado
3. c)Sí, es el octaedro
4. d)No, porque en algunos vértices se juntan 3 caras y en otros 4
Respuesta: No, porque en algunos vértices se juntan 3 caras y en otros 4
Esta bipirámide triangular tiene 5 vértices: en cada una de las dos puntas se juntan 3 caras y en cada uno de los tres vértices centrales, 4. Falla la segunda condición, así que no es platónico (el octaedro tiene 8 caras, no 6).
16.
Pon un punto en el centro de cada cara de un icosaedro y une los puntos de caras vecinas para formar su dual. ¿Cuántos vértices tiene el dual?
Respuesta: 20
El icosaedro tiene 20 caras, así que el dual tiene $20$ vértices. Además tiene 12 caras (una por cada vértice del icosaedro) y 30 aristas: es el dodecaedro.
17.
El dodecaedro tiene 20 vértices, 30 aristas y 12 caras. Halla el número de caras, vértices y aristas de su dual y comprueba la fórmula de Euler.
Respuesta: 20, 12, 30
1. Cada vértice del dodecaedro se convierte en una cara del dual. ¿Cuántas caras tiene el dual? 20
2. Cada cara del dodecaedro se convierte en un vértice del dual. ¿Cuántos vértices? 12
3. ¿Cuántas aristas tiene el dual? 30
4. Comprobación para el dual: vértices - aristas + caras = ? 2
18.
El defecto angular en un vértice es $360°$ menos la suma de ángulos en él. Halla el defecto angular total del cubo y del icosaedro.
Respuesta: 720
1. En un vértice del cubo se juntan 3 cuadrados. ¿Cuál es el defecto, $360 - 3 \times 90$ ? 90
2. El cubo tiene 8 vértices. ¿Cuál es el defecto total? 720
3. En un vértice del icosaedro se juntan 5 triángulos. ¿Cuál es el defecto, $360 - 5 \times 60$ ? 60
4. El icosaedro tiene 12 vértices. ¿Cuál es el defecto total? 720