Congruencia LAL

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
En $\triangle ABC$ , ¿qué ángulo está comprendido entre los lados $AB$ y $BC$ ?
1. a)Ninguno
2. b) $\angle A$
3. c) $\angle C$
4. d) $\angle B$
Respuesta: $\angle B$
$AB$ y $BC$ se unen en $B$ , así que el ángulo comprendido es $\angle B$ .
2.
¿Qué información demuestra $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LAL?
1. a) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $CA = FD$
2. b) $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
3. c) $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $AB = DE$
4. d) $AB = DE$ , $BC = EF$ , $\angle A = \angle D$
Respuesta: $AB = DE$ , $\angle B = \angle E$ , $BC = EF$
$AB$ y $BC$ se unen en $B$ , y $DE$ y $EF$ en $E$ , así que $\angle B = \angle E$ es el ángulo comprendido. La segunda opción es LLA, la tercera ALA y la cuarta LLL.
3.
$\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ tienen $AB = DE = 5$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ y $BC = EF = 12$ cm. En $\triangle ABC$ , $AC = 13$ cm. ¿Cuánto mide $DF$ , en cm?
Respuesta: 13
Los ángulos rectos están entre los lados iguales, así que $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LAL. $DF$ corresponde a $AC$ , así que $DF = 13$ cm.
4.
Los segmentos $AE$ y $BD$ se cortan en $C$ . $\angle ACB = 48°$ . ¿Cuánto mide $\angle DCE$ , en grados?
Respuesta: 48
$\angle ACB$ y $\angle DCE$ son opuestos por el vértice, así que son iguales: $\angle DCE = 48°$ . Es el ángulo oculto que usan las demostraciones LAL con segmentos que se cruzan.
5.
Dos triángulos tienen dos pares de lados iguales y un par de ángulos iguales, pero el ángulo no está entre los lados iguales. ¿Qué puedes concluir?
1. a)Congruentes por ALA
2. b)Nada seguro: es LLA
3. c)Congruentes por LAL
4. d)Congruentes por LLL
Respuesta: Nada seguro: es LLA
Es LLA, que no es un criterio de congruencia: los mismos datos pueden dar dos triángulos distintos. No hay nada seguro.
6.
En $\triangle PQR$ y $\triangle XYZ$ : $PQ = XY$ , $\angle Q = \angle Y$ y $\angle R = \angle Z$ . ¿Qué criterio demuestra $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ ?
1. a)LLL
2. b)ALA
3. c)AAL
4. d)LAL
Respuesta: AAL
El lado entre $\angle Q$ y $\angle R$ sería $QR$ , pero el lado conocido es $PQ$ . Dos ángulos y un lado no comprendido: AAL.
7.
En $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ : $AB = DE$ , $AC = DF$ y $\angle A = \angle D$ . ¿Qué afirmación es correcta?
1. a) $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LAL
2. b) $\triangle ABC \cong \triangle EDF$ por LAL
3. c) $\triangle ABC \cong \triangle DFE$ por LAL
4. d)Falta información: es LLA
Respuesta: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LAL
$AB$ y $AC$ se unen en $A$ , así que $\angle A$ está comprendido: es LAL, no LLA. Con $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ (por $AB = DE$ ) y $C \leftrightarrow F$ se obtiene $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ .
8.
En el cuadrilátero $ABCD$ , $AB = CB$ y $\angle ABD = \angle CBD$ . Si $\angle BAD = 95°$ , ¿cuánto mide $\angle BCD$ , en grados?
Respuesta: 95
$AB = CB$ , $\angle ABD = \angle CBD$ y el lado común $BD$ dan $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ por LAL. $\angle BCD$ corresponde a $\angle BAD$ , así que mide $95°$ .
9.
Los segmentos $AE$ y $BD$ se cortan en $C$ , punto medio de ambos. $AB = 3x + 1$ y $ED = 2x + 6$ (en cm). Halla $x$ .
Respuesta: 5
$AC = CE$ , $BC = CD$ y los ángulos opuestos por el vértice en $C$ dan $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ por LAL, así que $AB = ED$ : $3x + 1 = 2x + 6$ , luego $x = 5$ (los dos lados miden entonces 16 cm).
10.
¿Cuántos triángulos $ABC$ distintos tienen $\angle A = 30°$ , $AB = 12$ y $BC = 8$ ?
Respuesta: 2
La altura es $12 \div 2 = 6$ . Como $6 < 8 < 12$ , el lado $BC$ llega a la recta $AC$ en dos puntos: 2 triángulos. Por eso LLA no es un criterio.
11.
$\triangle ABC$ : $AB = BC = 7$ cm y $\angle B = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = EF = 7$ cm y $\angle E = 40°$ . Halla $\angle D$ .
Respuesta: 70
1. ¿En qué vértice está el ángulo entre los lados AB y BC? B
2. ¿Qué criterio demuestra que los triángulos son congruentes? LAL
3. Como AB = BC, los ángulos en A y en C son iguales. ¿Cuánto mide ∠A, en grados? 70
4. ∠D corresponde a ∠A. ¿Cuánto mide ∠D, en grados? 70
12.
Los segmentos $AE$ y $BD$ se cortan en $C$ , con $AC = CE = 6$ cm y $BC = CD = 4$ cm. Si $AB = 8$ cm, ¿cuánto mide $DE$ ?
Respuesta: 8
1. ¿Son iguales ∠ACB y ∠ECD? sí
2. ¿Qué criterio demuestra △ACB ≅ △ECD? LAL
3. ¿Cuánto mide DE, en cm? 8
13.
En el cuadrilátero $ABCD$ : $AB = AD$ , $\angle BAC = \angle DAC = 32°$ y $\angle ABC = 118°$ . Halla $\angle BCD$ .
Respuesta: 60
1. ¿Qué lado comparten △ABC y △ADC? AC
2. ¿Cuánto mide ∠ACB, en grados? 30
3. △ABC ≅ △ADC por LAL. ¿Cuánto mide ∠ACD, en grados? 30
4. ¿Cuánto mide ∠BCD, en grados? 60
14.
$\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ tienen $AB = DE = 6$ cm, $\angle B = \angle E = 90°$ y $BC = EF = 8$ cm. Halla el perímetro de $\triangle DEF$ .
Respuesta: 24
1. ¿Qué criterio demuestra △ABC ≅ △DEF? LAL
2. ¿Cuánto mide AC, en cm? 10
3. ¿Cuánto mide DF, en cm? 10
4. ¿Cuál es el perímetro de △DEF, en cm? 24
15.
$\triangle PQR$ y $\triangle STU$ tienen $PQ = ST = 10$ y $\angle Q = \angle T = 55°$ . Además $QR = 2y + 3$ y $TU = 15$ . ¿Para qué valor de $y$ son congruentes los triángulos por LAL?
Respuesta: 6
1. ¿Qué lado de △PQR debe ser igual a TU? QR
2. ¿Cuánto debe valer QR? 15
3. Resuelve 2y + 3 = 15. ¿Cuánto vale y? 6
16.
Dos triángulos distintos tienen $\angle A = 30°$ , $AB = 8$ y $BC = 5$ . ¿Cuánto más largo es $AC$ en el triángulo mayor que en el menor?
Respuesta: 6
1. ¿Cuál es la altura de B sobre la recta AC? 4
2. ¿Cuántos triángulos distintos son posibles? 2
3. ¿A qué distancia del pie de la altura está cada punto C posible? 3
4. ¿Cuánto más largo es el AC mayor que el menor? 6
17.
Las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero $ABCD$ se cortan en $M$ , punto medio de ambas. $AM = 4{,}5$ cm, $AB = 8$ cm y $BC = 5$ cm. Halla el perímetro de $ABCD$ .
Respuesta: 26
1. ¿Cuánto mide CM, en cm? 4.5
2. ¿Qué criterio demuestra △AMB ≅ △CMD? LAL
3. ¿Cuánto mide CD, en cm? 8
4. Del mismo modo △BMC ≅ △DMA. ¿Cuánto mide AD, en cm? 5
5. ¿Cuál es el perímetro de ABCD, en cm? 26
18.
Abajo se describen cuatro pares de triángulos. Para cada par, decide si los triángulos son seguro congruentes y luego cuenta cuántos pares lo son.
Respuesta: 2
1. Par 1: dos lados y el ángulo entre ellos son iguales. ¿Seguro congruentes? sí
2. Par 2: dos lados y un ángulo que no está entre ellos son iguales. ¿Seguro congruentes? no
3. Par 3: los tres ángulos son iguales. ¿Seguro congruentes? no
4. Par 4: dos ángulos y un lado que no está entre ellos son iguales. ¿Seguro congruentes? sí
5. ¿Cuántos de los cuatro pares son seguro congruentes? 2