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Guía del profesor: Congruencia LAL

Demuestra que dos triángulos son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido, encuentra partes iguales ocultas y descubre por qué LLA no basta.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Congruencia & Semejanza. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Enunciar el criterio LAL e identificar el ángulo comprendido entre dos lados
  • Explicar con un contraejemplo por qué LLA no demuestra la congruencia
  • Encontrar partes congruentes ocultas en figuras: ángulos opuestos por el vértice, lados comunes, puntos medios y bisectrices
  • Usar las partes correspondientes después de LAL para hallar lados y ángulos desconocidos
  • Elegir el criterio adecuado (LLL, LAL, ALA, AAL) a partir de la información dada
Requisitos previos
  • • Introducción a la congruencia: qué son las figuras congruentes y el símbolo de congruencia
  • • Triángulos congruentes: partes correspondientes y enunciados de congruencia
  • • Congruencia ALA y AAL: partes comprendidas y no comprendidas
  • • Suma de los ángulos de un triángulo y ángulos opuestos por el vértice
Iniciadores de discusión
  • 1. Si conoces dos lados de un triángulo, ¿qué más necesitas saber para dibujar un único triángulo?
  • 2. ¿Por qué importa si el ángulo está entre los dos lados o no?
  • 3. ¿Encuentras ángulos opuestos por el vértice o lados comunes a tu alrededor, por ejemplo en unas tijeras o en el marco de una ventana?
  • 4. ¿Cómo podrías medir el ancho de un río sin cruzarlo?
Conceptos erróneos comunes

Dos lados cualesquiera y un ángulo cualquiera demuestran la congruencia

Remediación: Construye el caso LLA con compás: dibuja un ángulo de 30°30°, marca AB=10AB = 10 y traza desde BB una circunferencia de radio 66. Los alumnos ven que corta dos veces el otro lado del ángulo y obtienen dos triángulos.

LAL y LLA son lo mismo, escrito en otro orden

Remediación: Insiste en que las letras describen posiciones, no una simple lista. En LAL la A está entre las dos L; en LLA no. Pide a los alumnos que coloreen los dos lados y comprueben si el ángulo está donde se unen.

Solo cuentan las partes que aparecen con números

Remediación: Muestra figuras con segmentos que se cruzan y lados comunes. Pide a los alumnos que marquen cada par igual antes de nombrar un criterio, incluidos los que nadie escribió.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Da una lista de comprobación: encuentra los dos lados, encuentra su punto común, ¿está el ángulo en ese punto?
  • • Resalta cada par de partes correspondientes con un color distinto
  • • Empieza con triángulos en la misma orientación antes de pasar a triángulos girados o reflejados

Para estudiantes de nivel:

  • • Mezcla casos LLL, LAL, ALA, AAL y LLA y pide a los alumnos que los clasifiquen
  • • Escribe demostraciones cortas que usen ángulos opuestos por el vértice o un lado común
  • • Usa las partes correspondientes después de LAL para hallar lados y ángulos que faltan

Para estudiantes avanzados:

  • • Investiga cuándo LLA da cero, uno o dos triángulos comparando el lado opuesto con la altura
  • • Demuestra con LAL y la bisectriz que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales
  • • Muestra con LAL que un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en su punto medio tiene los lados opuestos iguales
Alineación con estándares
  • HSG-CO.B.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.7)

    Usar la definición de congruencia mediante movimientos rígidos para mostrar que dos triángulos son congruentes si y solo si sus pares de lados y ángulos correspondientes son congruentes

  • HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)

    Explicar cómo los criterios de congruencia de triángulos (ALA, LAL y LLL) se deducen de la definición de congruencia mediante movimientos rígidos

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Usar los criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas y demostrar relaciones en figuras geométricas

Recursos de la lección
  • visualPar de triángulos LAL

    Dos triángulos con los lados iguales y el ángulo comprendido marcados; el segundo está girado y reflejado

  • activityPajitas y bisagra

    Los alumnos pegan dos pajitas con un ángulo fijo y comparan el tercer lado; después prueban LLA con una pajita que gira

  • worksheetCaza de partes ocultas

    Figuras con ángulos opuestos por el vértice y lados comunes; los alumnos marcan cada par igual y nombran el criterio

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El criterio LAL (lado-ángulo-lado) dice: si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes con dos lados de otro triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, entonces los dos triángulos son congruentes.
AB‾≅DE‾,∠B≅∠E,BC‾≅EF‾⟹△ABC≅△DEF\overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \angle B \cong \angle E, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF} \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DEF
El ángulo tiene que ser el ángulo comprendido: el ángulo que forman los dos lados dados. Su vértice es el punto que comparten los dos lados. Para los lados ABAB y BCBC ese punto es BB, así que el ángulo comprendido es ∠B\angle B.
Por qué funciona: imagina dos varillas unidas por una bisagra. Cuando las longitudes de las varillas y la abertura de la bisagra están fijas, la distancia entre los extremos libres también queda fija. El tercer lado solo puede tener una longitud, así que solo hay un triángulo posible.
Cuidado: dos lados y un ángulo que no está entre ellos (LLA) no demuestran la congruencia. El lado opuesto al ángulo a veces puede girar hasta dos posiciones distintas y formar dos triángulos diferentes.

Ejemplos resueltos

En △ABC\triangle ABC: AB=6AB = 6 cm, ∠B=50°\angle B = 50°, BC=8BC = 8 cm. En △DEF\triangle DEF: DE=6DE = 6 cm, ∠E=50°\angle E = 50°, EF=8EF = 8 cm. ¿Son congruentes los triángulos? Si AC≈6,2AC \approx 6{,}2 cm, ¿cuánto mide DFDF?
1

Anota las partes que coinciden

AB=DE=6AB = DE = 6 cm, BC=EF=8BC = EF = 8 cm, ∠B=∠E=50°\angle B = \angle E = 50° → Dos pares de lados y un par de ángulos
2

Comprueba que el ángulo está comprendido

Los lados ABAB y BCBC se unen en BB; los lados DEDE y EFEF se unen en EE → ∠B\angle B y ∠E\angle E son los ángulos comprendidos
3

Aplica LAL

Coinciden dos lados y el ángulo comprendido → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
4

Usa las partes correspondientes

ACAC corresponde a DFDF (primera y tercera letras) → DF=AC≈6,2DF = AC \approx 6{,}2 cm

Errores comunes

Usar LAL cuando el ángulo no está entre los dos lados

Por qué está mal: Dos lados y un ángulo no comprendido (LLA) pueden describir dos triángulos distintos, como muestra el ejemplo de 30°30°, 1010 y 66.

Correcto: Busca el punto que comparten los dos lados. Solo el ángulo en ese vértice sirve para LAL.

Emparejar los vértices en el orden equivocado

Por qué está mal: Escribir △ABC≅△FED\triangle ABC \cong \triangle FED cuando BB corresponde a EE y AA a DD empareja partes equivocadas y lleva a conclusiones falsas.

Correcto: Escribe los vértices en el orden de la correspondencia. Si A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F, escribe △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF.

Pensar que falta información porque una parte no aparece en el enunciado

Por qué está mal: Los ángulos opuestos por el vértice y los lados comunes son iguales aunque nadie lo diga. Los alumnos no los ven y abandonan una demostración que sí funciona.

Correcto: Antes de decidir, busca segmentos que se cruzan (ángulos opuestos por el vértice) y un lado que pertenece a los dos triángulos (lado común).

Usar las partes correspondientes antes de demostrar la congruencia

Por qué está mal: Las partes correspondientes son iguales solo porque los triángulos son congruentes. Sin esa prueba, estás suponiendo lo que quieres demostrar.

Correcto: Primero demuestra △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF (por ejemplo por LAL) y después deduce las demás partes iguales.

Por qué es importante

LAL es una de las herramientas más usadas en las demostraciones de geometría, porque la información que necesita muchas veces viene gratis:
  • Ángulos opuestos por el vértice: cuando dos segmentos se cruzan, los ángulos opuestos son iguales, así que ya tienes el ángulo
  • Lados comunes: cuando dos triángulos comparten un lado, ese lado es congruente consigo mismo
  • Puntos medios y bisectrices: un punto medio da dos segmentos iguales, una bisectriz da dos ángulos iguales
Cuando LAL demuestra que dos triángulos son congruentes, todas las demás partes correspondientes también son iguales. Así miden los topógrafos el ancho de un estanque que no pueden cruzar, y así saben los carpinteros que dos caballetes abiertos con el mismo ángulo son idénticos.

Aplicaciones del mundo real

Caballetes plegables

Los caballetes de carpintero, las escaleras de tijera y los caballetes de pintor son dos patas unidas por una bisagra. La longitud de las patas y el ángulo de abertura deciden toda la forma.

Ejemplo:

Dos caballetes de pintor tienen patas de 150 cm abiertas 25°25° en la bisagra. Por LAL, los triángulos que forman son congruentes, así que sus pies quedan a la misma distancia.

1Inténtalo tú mismo

Un carpintero construye dos caballetes. Cada uno tiene dos patas de 90 cm, y los dos están fijados para que el ángulo en la bisagra sea de 30°30°.

¿Qué criterio de congruencia garantiza que los dos caballetes son idénticos?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige el criterio:

Medir el ancho de un estanque

Los topógrafos usan LAL para hallar una distancia que no pueden recorrer, construyendo una copia congruente del triángulo en tierra firme.

Ejemplo:

Para medir ABAB a través de un estanque, se elige un punto CC en tierra. Se prolonga ACAC más allá de CC hasta DD con CD=ACCD = AC, y BCBC más allá de CC hasta EE con CE=BCCE = BC. Los ángulos en CC son opuestos por el vértice, así que △ACB≅△DCE\triangle ACB \cong \triangle DCE por LAL y DE=ABDE = AB.

2Inténtalo tú mismo

Una topógrafa mide AC=30AC = 30 m y BC=24BC = 24 m desde el punto CC. Marca DD y EE como se ha descrito y luego mide DE=42DE = 42 m.

¿Cuál es el ancho del estanque, de AA a BB, en metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la longitud de ABAB en metros:

Las agujas del reloj

Las dos agujas de un reloj son dos lados de longitud fija, y la hora fija el ángulo entre ellas.

Ejemplo:

A las 2:00 y a las 10:00 el ángulo entre las agujas es de 60°60° las dos veces, así que por LAL las puntas están a la misma distancia en ambos momentos.

3Inténtalo tú mismo

Un reloj tiene una aguja horaria de 3 cm y un minutero de 4 cm. A las 3:00 las agujas forman un ángulo recto y sus puntas están a 5 cm de distancia.

¿A qué distancia, en cm, están las puntas a las 9:00?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la distancia en cm:

Puntos clave

  • 1LAL: si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son congruentes con los de otro, los triángulos son congruentes
  • 2El ángulo comprendido está en el vértice que comparten los dos lados: para ABAB y BCBC es ∠B\angle B
  • 3LLA no es un criterio: dos lados y un ángulo no comprendido pueden dar dos triángulos distintos
  • 4Busca partes iguales ocultas: ángulos opuestos por el vértice donde se cruzan segmentos, un lado común, puntos medios y bisectrices
  • 5Después de demostrar la congruencia, usa las partes correspondientes para hallar los demás lados y ángulos
  • 6Criterios que funcionan: LLL, LAL, ALA, AAL. Patrones que no funcionan: LLA y AAA

Preguntas frecuentes

¿Por qué LLA no es un criterio de congruencia?

Porque el lado opuesto al ángulo dado puede girar como un compás y cortar el tercer lado en dos puntos. Con ∠A=30°\angle A = 30°, AB=10AB = 10 y BC=6BC = 6 obtienes dos triángulos, uno con AC≈5,34AC \approx 5{,}34 y otro con AC≈11,98AC \approx 11{,}98.

¿Funciona LLA alguna vez?

Sí, en un caso especial: cuando el ángulo dado está opuesto al mayor de los dos lados dados, solo hay un triángulo posible. El ejemplo más conocido es un ángulo recto opuesto a la hipotenusa (el criterio hipotenusa-cateto). En general, no uses LLA.

¿LAL es un postulado o un teorema?

Muchos libros aceptan LAL como postulado (una regla básica sin demostración) y lo usan para demostrar ALA y LLL. Euclides lo demostró en su proposición 4 colocando un triángulo sobre el otro. En cualquier caso, puedes usarlo en tus demostraciones.

¿Cómo elijo entre LLL, LAL, ALA y AAL?

Cuenta lo que conoces. Tres lados: LLL. Dos lados: comprueba si el ángulo conocido está entre ellos (LAL) o no (LLA, sin conclusión). Dos ángulos: comprueba si el lado conocido está entre ellos (ALA) o no (AAL).

Glosario

Congruencia LAL
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido de uno son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido del otro
Ángulo comprendido
El ángulo que forman dos lados dados; su vértice es el extremo que comparten
LLA
Dos lados y un ángulo no comprendido; no es un criterio de congruencia, porque puede describir dos triángulos distintos
Ángulos opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos que forman dos rectas que se cortan; siempre son iguales
Lado común
Un lado que pertenece a dos triángulos a la vez; es congruente consigo mismo (propiedad reflexiva)
Partes correspondientes de triángulos congruentes
Una vez demostrado que dos triángulos son congruentes, todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales

Tarjeta de fórmulas

Criterio LAL

AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ \angle B = \angle E,\ BC = EF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

El ángulo debe estar entre los dos lados

Criterios que funcionan

LLL, LAL, ALA, AAL\text{LLL},\ \text{LAL},\ \text{ALA},\ \text{AAL}

Cada uno determina un único triángulo

Patrones que no funcionan

LLA, AAA\text{LLA},\ \text{AAA}

LLA puede dar dos triángulos; AAA fija la forma pero no el tamaño

Partes correspondientes

△ABC≅△DEF⇒AC=DF, ∠A=∠D, ∠C=∠F\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow AC = DF,\ \angle A = \angle D,\ \angle C = \angle F

Úsalas solo después de demostrar la congruencia

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