Congruencia LLL

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué información basta para demostrar con LLL que dos triángulos son congruentes?
1. a)Dos pares de lados iguales
2. b)Tres pares de ángulos iguales
3. c)Tres pares de lados iguales
4. d)Perímetros iguales
Respuesta: Tres pares de lados iguales
LLL necesita tres pares de lados congruentes. Perímetros iguales o dos pares de lados no bastan, y tres ángulos iguales solo demuestran semejanza.
2.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL. $AB = 7$ , $BC = 9$ y $CA = 4$ . ¿Cuánto mide $EF$ ?
Respuesta: 9
Las letras en las mismas posiciones se corresponden: $B \leftrightarrow E$ y $C \leftrightarrow F$ . Por tanto, $EF = BC = 9$ .
3.
Un triángulo tiene lados de 5 cm, 6 cm y 8 cm. Otro tiene lados de 6 cm, 8 cm y 5 cm. ¿Son congruentes?
1. a)Solo si los dos son rectángulos
2. b)No, los lados están en otro orden
3. c)No, también hace falta un ángulo
4. d)Sí, por LLL
Respuesta: Sí, por LLL
Los dos triángulos tienen lados 5, 6 y 8, solo que en otro orden. Tres pares de lados iguales, así que son congruentes por LLL.
4.
Halla la longitud del lado de $A(1, 2)$ a $B(4, 6)$ .
Respuesta: 5
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
5.
En $\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $BC = 10$ , $CA = 8$ . En $\triangle PQR$ : $PQ = 8$ , $QR = 10$ , $RP = 6$ . Comprueba si los triángulos son congruentes por LLL.
Respuesta: 3
1. ¿Cuánto mide el lado más corto de $\triangle ABC$ ? 6
2. ¿Cuánto mide el lado más corto de $\triangle PQR$ ? 6
3. ¿Cuánto mide el lado más largo en los dos triángulos? 10
4. ¿Cuántos pares de lados iguales hay? 3
6.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL. $DE = 12$ , $EF = 15$ y $FD = 9$ . ¿Cuál es el perímetro de $\triangle ABC$ ?
Respuesta: 36
$AB = 12$ , $BC = 15$ , $CA = 9$ , así que el perímetro es $12 + 15 + 9 = 36$ .
7.
En $\triangle KLM$ : $KL = 6$ , $LM = 10$ , $MK = 7$ . En $\triangle STU$ : $ST = 10$ , $TU = 7$ , $US = 6$ . ¿Qué enunciado de congruencia es correcto?
1. a) $\triangle KLM \cong \triangle STU$
2. b) $\triangle KLM \cong \triangle SUT$
3. c) $\triangle KLM \cong \triangle UST$
4. d) $\triangle KLM \cong \triangle TUS$
Respuesta: $\triangle KLM \cong \triangle UST$
Pares: $KL = US = 6$ , $MK = TU = 7$ , $LM = ST = 10$ . $K$ (lados 6 y 7) corresponde a $U$ , $L$ (lados 6 y 10) a $S$ , $M$ (lados 7 y 10) a $T$ . Por tanto, $\triangle KLM \cong \triangle UST$ .
8.
Un lado de un triángulo va de $C(-2, 3)$ a $D(4, -5)$ . ¿Cuánto mide?
Respuesta: 10
$CD = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
9.
$\triangle ABC$ tiene $A(0, 0)$ , $B(3, 0)$ , $C(0, 4)$ . $\triangle DEF$ tiene $D(5, 1)$ , $E(5, 4)$ , $F(1, 1)$ . Comprueba LLL con la fórmula de la distancia.
Respuesta: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$
1. ¿Cuánto mide $BC$ , de $(3, 0)$ a $(0, 4)$ ? 5
2. ¿Cuánto mide $DE$ , de $(5, 1)$ a $(5, 4)$ ? 3
3. ¿Cuánto mide $DF$ , de $(5, 1)$ a $(1, 1)$ ? 4
4. ¿Cuánto mide $EF$ , de $(5, 4)$ a $(1, 1)$ ? 5
10.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL. $AB = 3x - 4$ , $DE = x + 6$ , $BC = 2y + 1$ y $EF = 15$ . Halla $x$ , $AB$ e $y$ .
Respuesta: $x = 5$ , $AB = 11$ , $y = 7$
1. Resuelve $3x - 4 = x + 6$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 5
2. ¿Cuánto mide $AB$ ? 11
3. Resuelve $2y + 1 = 15$ . ¿Cuánto vale $y$ ? 7
11.
Un cuadrado y un rombo tienen los dos cuatro lados de longitud 4, pero no son congruentes. ¿Por qué esto no contradice LLL?
1. a)Los cuadriláteros no son rígidos: lados iguales no fijan los ángulos
2. b)Sus lados no son realmente iguales
3. c)LLL solo sirve para triángulos rectángulos
4. d)Un rombo tiene cinco lados
Respuesta: Los cuadriláteros no son rígidos: lados iguales no fijan los ángulos
LLL es un criterio solo para triángulos. Un cuadrilátero no es rígido: con los mismos cuatro lados sus ángulos todavía pueden cambiar, así que un cuadrado puede empujarse hasta ser un rombo.
12.
En el paralelogramo $ABCD$ , $AB = CD = 7$ , $BC = DA = 8$ y la diagonal $AC = 13$ . $\angle ABC = 120°$ . Demuestra que $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ y halla $\angle CDA$ .
Respuesta: $\angle CDA = 120°$
1. ¿Cuánto mide el lado que comparten los dos triángulos? 13
2. ¿Cuántos pares de lados iguales tienen $\triangle ABC$ y $\triangle CDA$ ? 3
3. ¿Cuántos grados mide $\angle CDA$ ? 120
13.
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por LLL, con $D(1, 2)$ y $E(7, 10)$ . ¿Cuánto mide $AB$ ?
Respuesta: 10
$DE = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ . Como $AB$ y $DE$ son lados correspondientes, $AB = 10$ .
14.
$\triangle ABC$ tiene $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ , $C(2, 5)$ y $\triangle PQR$ tiene $P(6, -1)$ , $Q(5, -4)$ , $R(2, -2)$ . Compara los cuadrados de las longitudes de los lados para decidir si $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ .
Respuesta: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$
1. ¿Cuánto vale $AB^2$ ? 10
2. ¿Cuánto vale $BC^2$ ? 13
3. ¿Cuánto vale $CA^2$ ? 17
4. ¿Cuánto vale $PQ^2$ ? 10
5. ¿Cuánto vale $QR^2$ ? 13
6. ¿Cuánto vale $RP^2$ ? 17
15.
¿Qué triángulo es congruente con el triángulo de vértices $(0, 0)$ , $(4, 0)$ y $(0, 3)$ ?
1. a) $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(0, 3)$
2. b) $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(0, 8)$
3. c) $(1, 1)$ , $(5, 1)$ , $(1, 5)$
4. d) $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
Respuesta: $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$
El triángulo dado tiene lados 4, 3 y $\sqrt{16 + 9} = 5$ . El triángulo $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(5, 2)$ tiene lados 4, 3 y $\sqrt{9 + 16} = 5$ , así que es congruente por LLL. Los otros tienen lados 6, 8, 10 (demasiado grande), 4, 4, $\sqrt{32}$ y 5, 3, $\sqrt{34}$ .
16.
$\triangle PQR \cong \triangle STU$ por LLL. $PQ = 2x + 3$ , $ST = 4x - 7$ , $QR = x + y$ , $TU = 12$ y $RP = SU = 10$ . Halla el perímetro de $\triangle PQR$ .
Respuesta: 35
1. Resuelve $2x + 3 = 4x - 7$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 5
2. ¿Cuánto mide $PQ$ ? 13
3. Usa $QR = TU$ : $5 + y = 12$ . ¿Cuánto vale $y$ ? 7
4. ¿Cuánto vale el perímetro $PQ + QR + RP$ ? 35
17.
En el deltoide $ABCD$ , $AB = AD$ y $CB = CD$ . $\angle BAD = 76°$ y $\angle ABC = 110°$ . Usa LLL en $\triangle ABC$ y $\triangle ADC$ para hallar $\angle BAC$ y $\angle ADC$ .
Respuesta: $\angle BAC = 38°$ , $\angle ADC = 110°$
1. ¿Cuántos pares de lados congruentes tienen $\triangle ABC$ y $\triangle ADC$ , contando el lado común? 3
2. $\angle BAC + \angle DAC$ es el ángulo completo $\angle BAD$ . ¿Cuántos grados son? 76
3. Los dos ángulos son iguales (partes correspondientes). ¿Cuántos grados mide $\angle BAC$ ? 38
4. ¿Cuántos grados mide $\angle ADC$ ? 110
18.
Un marco cuadrado de 5 cm de lado tiene bisagras en las esquinas. Se empuja hasta formar un rombo con un ángulo de $60°$ . Explica con números por qué LLL no sirve para cuadriláteros y cómo lo arregla un refuerzo.
Respuesta: $20$ cm, $5$ cm, $2$
1. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado en cm? 20
2. ¿Cuál es el perímetro del rombo en cm? 20
3. ¿Cuánto mide la diagonal corta del rombo en cm? 5
4. ¿En cuántos triángulos divide el marco un refuerzo a lo largo de una diagonal? 2