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Guía del profesor: Congruencia LLL

Aprende a demostrar que dos triángulos son congruentes con el criterio LLL (Lado-Lado-Lado), a emparejar lados correspondientes y a comprobar LLL en el plano cartesiano.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Congruencia & Semejanza. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Enunciar el criterio de congruencia LLL y explicar por qué no necesita ángulos
  • Emparejar lados correspondientes y escribir un enunciado de congruencia con los vértices en el orden correcto
  • Usar la fórmula de la distancia para comprobar LLL en triángulos del plano cartesiano
  • Escribir una demostración en dos columnas con LLL, incluido un lado común y la propiedad reflexiva
  • Usar las partes correspondientes después de LLL y explicar por qué LLL falla en los cuadriláteros
Requisitos previos
  • • Introducción a la congruencia: qué son las figuras congruentes y el símbolo ≅\cong
  • • Triángulos congruentes: partes correspondientes y los cinco criterios de congruencia
  • • Congruencia ALA y AAL: cómo se usa un criterio en una demostración
  • • El teorema de Pitágoras o la fórmula de la distancia en el plano cartesiano
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué los puentes y las grúas usan triángulos en lugar de cuadrados?
  • 2. Si dos triángulos tienen el mismo perímetro, ¿son siempre congruentes? Busca un ejemplo.
  • 3. ¿Cómo puedes estar seguro de qué vértice de un triángulo corresponde a cada vértice del otro?
  • 4. ¿Por qué crees que LLL no necesita ángulos, mientras que ALA y AAL necesitan dos?
Conceptos erróneos comunes

En el enunciado de congruencia los vértices pueden ir en cualquier orden

Remediación: Muestra △PQR\triangle PQR y △XYZ\triangle XYZ con PP correspondiente a YY. Pide que lean los lados correspondientes del enunciado incorrecto △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ y que los comprueben: PQ=8PQ = 8 pero XY=9XY = 9, así que el enunciado es falso.

Lados iguales siempre significan formas iguales, en cualquier polígono

Remediación: Pide que construyan un cuadrado con cuatro pajitas y lo empujen. Se convierte en un rombo con los mismos lados. Después añaden una pajita como diagonal y la figura ya no se mueve.

Un lado común no cuenta porque pertenece a los dos triángulos

Remediación: Colorea de forma distinta los dos triángulos de un deltoide y repasa la diagonal con los dos colores. Es un lado de cada triángulo, así que da el par AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Dar primero las longitudes en el orden que corresponde y después mezclar el orden
  • • Usar marcas de colores para emparejar los lados antes de escribir el enunciado
  • • Empezar con triángulos en papel cuadriculado cuyos lados sean horizontales o verticales

Para estudiantes de nivel:

  • • Comprobar LLL con la fórmula de la distancia en lados inclinados
  • • Escribir demostraciones en dos columnas con un lado común
  • • Hallar incógnitas en triángulos congruentes con álgebra

Para estudiantes avanzados:

  • • Explicar con una construcción con compás por qué tres lados dan un único triángulo
  • • Demostrar con LLL y las partes correspondientes que la diagonal de un rombo es bisectriz de sus ángulos
  • • Averiguar cuántas diagonales hacen rígido un marco pentagonal
Alineación con estándares
  • HSG-CO.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.B.8)

    Explicar cómo los criterios de congruencia de triángulos (ALA, LAL y LLL) se deducen de la definición de congruencia mediante movimientos rígidos

  • HSG-SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)

    Usar los criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas y demostrar relaciones en figuras geométricas

  • 8.G.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.8.G.B.8)

    Aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos de un sistema de coordenadas

Recursos de la lección
  • visualPareja de triángulos LLL

    Dos triángulos congruentes, uno girado y reflejado, con los tres lados marcados

  • activityPajitas y alfileres

    Los estudiantes construyen un triángulo y un cuadrilátero con pajitas y prueban cuál puede cambiar de forma

  • worksheetDemostraciones LLL con coordenadas

    Calcular los lados con la fórmula de la distancia y decidir si hay congruencia

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El criterio de congruencia LLL (Lado-Lado-Lado) dice: si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Si AB‾≅DE‾,BC‾≅EF‾,CA‾≅FD‾\text{Si } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}
Entonces △ABC≅△DEF\text{Entonces } \triangle ABC \cong \triangle DEF
No necesitas medir ningún ángulo. Tres longitudes de lados determinan un triángulo por completo: esto se llama rigidez del triángulo. Una vez elegidos los tres lados, los ángulos quedan fijados, así que todo triángulo con esos lados es el mismo triángulo, solo trasladado, girado o reflejado.
Emparejar los lados: el orden de las letras en △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF indica qué partes se corresponden: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Empareja el lado más corto con el más corto, el mediano con el mediano y el más largo con el más largo, y después escribe los vértices en el orden que corresponde.
En el plano cartesiano calculas cada lado con la fórmula de la distancia:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Ejemplos resueltos

En △ABC\triangle ABC: AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=6CA = 6 cm. En △DEF\triangle DEF: DE=5DE = 5 cm, EF=7EF = 7 cm, FD=6FD = 6 cm. ¿Son congruentes los triángulos?
1

Compara el primer par de lados

AB=DE=5AB = DE = 5 cm → AB‾≅DE‾\overline{AB} \cong \overline{DE}
2

Compara el segundo par

BC=EF=7BC = EF = 7 cm → BC‾≅EF‾\overline{BC} \cong \overline{EF}
3

Compara el tercer par

CA=FD=6CA = FD = 6 cm → CA‾≅FD‾\overline{CA} \cong \overline{FD}
4

Aplica LLL

Los tres pares de lados son congruentes → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF por LLL

Errores comunes

Escribir los vértices en el orden equivocado, como △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ cuando PP corresponde a YY

Por qué está mal: Un enunciado de congruencia promete que las primeras letras se corresponden, igual que las segundas y las terceras. El orden alfabético no es el orden de correspondencia.

Correcto: Empareja primero los lados por su longitud y luego busca en qué vértices se juntan los lados correspondientes. Escribe los vértices en ese orden: △PQR≅△YZX\triangle PQR \cong \triangle YZX.

Pensar que LLL también sirve para cuadriláteros

Por qué está mal: Un cuadrado de lado 4 y un rombo estrecho de lado 4 tienen cuatro pares de lados iguales, pero no son congruentes. Cuatro lados no fijan los ángulos.

Correcto: Las longitudes de los lados solo fijan la forma de un triángulo. En los cuadriláteros también necesitas ángulos o una diagonal.

Olvidar el lado común en una demostración

Por qué está mal: Cuando dos triángulos comparten un lado, muchos estudiantes encuentran solo dos pares de lados iguales y se detienen, o usan ese lado sin dar una razón.

Correcto: Escribe el lado común como una afirmación propia, AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}, con la razón propiedad reflexiva. Cuenta como el tercer par.

Deducir la congruencia de perímetros iguales

Por qué está mal: Los triángulos de lados 3, 4, 5 y 4, 4, 4 tienen ambos perímetro 12, pero sus formas son distintas.

Correcto: LLL necesita tres pares separados de lados iguales, no solo la misma suma.

Por qué es importante

LLL es el criterio que puedes comprobar solo con una regla, y explica por qué los triángulos están por todas partes en la construcción:
  • Puentes y tejados: un triángulo hecho con tres vigas fijas no puede cambiar de forma, por eso las cerchas se construyen con triángulos. Un marco cuadrado con esquinas articuladas se aplasta hasta ser un rombo, un triángulo nunca
  • Fabricación: para comprobar que una pieza triangular coincide con la plantilla, los operarios miden solo los tres lados
  • Mapas y topografía: con coordenadas puedes demostrar que dos parcelas triangulares son iguales solo calculando distancias
  • Demostraciones: LLL suele ser el primer paso de una demostración, y después la propiedad las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes te da los ángulos iguales sin esfuerzo
En las lecciones sobre triángulos congruentes y sobre ALA y AAL conociste los otros criterios. LLL es el único que no necesita ningún ángulo.

Aplicaciones del mundo real

Cerchas de tejado

Los carpinteros construyen tejados con triángulos idénticos, porque un triángulo con lados fijos no se puede deformar.

Ejemplo:

Cada cercha de una caseta de jardín está hecha con vigas de 3 m, 4 m y 5 m. Por LLL todas las cerchas son congruentes, así que el tejado es igual en toda su longitud.

1Inténtalo tú mismo

Un carpintero construye 12 cerchas idénticas. Cada cercha es un triángulo con vigas de 3 m, 4 m y 5 m.

¿Cuántos metros de viga necesita en total?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Longitud total de viga en metros:

Campos en una cuadrícula de mapa

Los planificadores comparan parcelas con coordenadas y la fórmula de la distancia sin tener que visitarlas.

Ejemplo:

El campo 1 tiene vértices (0,0)(0, 0), (6,0)(6, 0) y (0,8)(0, 8), el campo 2 tiene vértices (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) y (18,2)(18, 2). Ambos tienen lados de 6, 8 y 10 unidades, así que son congruentes por LLL.

2Inténtalo tú mismo

En un mapa, una unidad de la cuadrícula equivale a 10 m. El campo 2 tiene vértices (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) y (18,2)(18, 2).

¿Cuánto mide en metros el borde inclinado del campo 2, de (10,8)(10, 8) a (18,2)(18, 2)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Longitud en metros:

Control de calidad de baldosas

Una fábrica de baldosas comprueba las baldosas triangulares con una plantilla midiendo los tres lados.

Ejemplo:

La plantilla tiene lados de 12 cm, 15 cm y 20 cm. Una baldosa de 20 cm, 12 cm y 15 cm pasa el control: el orden de medida no importa, solo cuentan los tres pares.

3Inténtalo tú mismo

La plantilla tiene lados de 12 cm, 15 cm y 20 cm. Una baldosa de prueba tiene lados de 15 cm, 20 cm y xx cm.

¿Cuánto debe valer xx para que la baldosa sea congruente con la plantilla?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Valor de x:

Puntos clave

  • 1LLL: si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro, los triángulos son congruentes
  • 2No hacen falta ángulos: tres longitudes de lados determinan un triángulo por completo (rigidez del triángulo)
  • 3Empareja el más corto con el más corto, el mediano con el mediano y el más largo con el más largo, y luego escribe los vértices en el orden que corresponde
  • 4En el plano cartesiano, calcula cada lado con la fórmula de la distancia d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • 5Un lado común a dos triángulos es congruente consigo mismo (propiedad reflexiva) y cuenta como un par
  • 6Después de LLL, las partes correspondientes dan los ángulos iguales; LLL no sirve para cuadriláteros

Preguntas frecuentes

¿Por qué funciona LLL sin ningún ángulo?

Intenta construir un triángulo con tres palitos de longitud fija. Una vez unidos los extremos, solo hay una forma posible, no puedes abrir ni cerrar los ángulos. Todo triángulo con esos tres lados es el mismo triángulo, como mucho girado o reflejado. Por eso bastan tres lados.

¿Por qué LLL no sirve para cuadriláteros?

Cuatro palitos unidos por las esquinas todavía se pueden mover: un cuadrado de lado 4 se puede empujar hasta formar un rombo de lado 4. Los lados siguen iguales, los ángulos cambian. Una diagonal divide la figura en dos triángulos y la hace rígida.

¿Importa el orden de los lados?

No para decidir si hay congruencia: los lados 5, 6, 8 y 8, 5, 6 dan triángulos congruentes. Sí importa en el enunciado de congruencia: las letras de los vértices deben escribirse en el orden que corresponde.

¿Qué diferencia hay entre la congruencia LLL y la semejanza LLL?

La congruencia LLL necesita tres pares de lados iguales, así que los triángulos tienen el mismo tamaño. La semejanza LLL solo necesita que las tres razones entre lados correspondientes sean iguales, así que un triángulo puede ser una copia ampliada del otro.

Glosario

Criterio LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres pares de lados correspondientes son congruentes
Lados correspondientes
Lados que se emparejan en una congruencia; ocupan las mismas posiciones en el enunciado de congruencia
Rigidez del triángulo
Un triángulo con longitudes de lados fijas no puede cambiar su forma ni sus ángulos
Propiedad reflexiva
Todo segmento es congruente consigo mismo; se usa para un lado común a dos triángulos
Partes correspondientes de triángulos congruentes
Cuando dos triángulos son congruentes, todos sus lados y ángulos correspondientes son iguales
Fórmula de la distancia
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, la longitud del segmento entre dos puntos

Tarjeta de fórmulas

Criterio LLL

AB=DE, BC=EF, CA=FD⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Tres pares de lados congruentes demuestran que los triángulos son congruentes

Fórmula de la distancia

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Longitud de un lado a partir de las coordenadas de sus extremos

Propiedad reflexiva

AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}

Un lado común es congruente consigo mismo

Partes correspondientes

△ABC≅△DEF⇒∠A≅∠D\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow \angle A \cong \angle D

Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes

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