Guía del profesor: Graficar funciones cuadráticas (parábolas)
Aprende a graficar funciones cuadráticas, identificar características clave como el vértice y el eje de simetría, y entender cómo los coeficientes afectan la forma de las parábolas.
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Ficha imprimible
Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.
Cuestionario de clase
10 preguntas sobre Gráficas No Lineales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.
Para profesores
- Identificar los coeficientes , y en una funcion cuadratica
- Determinar si una parabola abre hacia arriba o hacia abajo segun el signo de
- Calcular el eje de simetria y el vertice de una parabola
- Encontrar la interseccion con el eje y y las raices de una funcion cuadratica
- Usar el discriminante para determinar el numero de raices
- Graficar funciones cuadraticas trazando las caracteristicas clave
- • Comprension de planos de coordenadas y trazado de puntos
- • Resolver ecuaciones cuadraticas por factorizacion
- • Evaluar expresiones con exponentes
- • Comprension de la simetria
- 1. ¿Por que crees que las antenas parabolicas tienen forma de parabolas?
- 2. Si lanzas una pelota, ¿que factores cambiarian la forma de su trayectoria parabolica?
- 3. ¿Como puedes saber solo mirando una ecuacion si su grafica abrira hacia arriba o hacia abajo?
- 4. ¿Que situacion del mundo real tendria una parabola sin raices?
El vertice siempre esta en el origen
El coeficiente es la coordenada y del vertice
Un mas grande hace la parabola mas ancha
Para estudiantes con dificultades:
- • Comienza con parabolas en la forma (sin termino ) para que el vertice este en el eje y
- • Usa tecnologia de graficado para visualizar antes de calcular
- • Proporciona una lista de verificacion paso a paso para encontrar caracteristicas clave
Para estudiantes de nivel:
- • Practica encontrar todas las caracteristicas clave desde la forma estandar
- • Conecta con la resolucion de ecuaciones cuadraticas
- • Aplica a problemas de palabras que involucren movimiento de proyectiles
Para estudiantes avanzados:
- • Explora la forma del vertice y convierte entre formas
- • Analiza como el discriminante se relaciona con la grafica
- • Investiga familias de parabolas que comparten ciertas caracteristicas
- HSF-IF.C.7a (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.A)
Graficar funciones cuadraticas y mostrar intersecciones, maximos y minimos
- HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Interpretar caracteristicas clave de graficas y tablas en terminos de cantidades
- HSA-REI.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.B.4)
Resolver ecuaciones cuadraticas por inspeccion, factorizacion, completar el cuadrado y la formula cuadratica
- visualExplorador cuadratico interactivo
Ajusta los deslizadores para ver como a, b y c afectan la parabola
- activityJuego de emparejamiento de parabolas
Empareja ecuaciones con sus graficas
- worksheetPractica de caracteristicas clave
Encuentra vertice, eje de simetria e intersecciones para varias cuadraticas
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Contenido de la lección
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Definición
| Característica | Descripción | Fórmula |
|---|---|---|
| Vértice | El punto más alto o más bajo | |
| Eje de simetría | Línea vertical que pasa por el vértice | |
| Dirección | Abre hacia arriba si , hacia abajo si | Signo de |
| Intersección con el eje y | Donde la gráfica cruza el eje y | |
| Raíces (ceros) | Donde la gráfica cruza el eje x | Resolver |
Ejemplos resueltos
Grafica e identifica todas las caracteristicas clave.
Identificar los coeficientes
, , → La parabola abre hacia arriba (ya que )
Encontrar el eje de simetria
→ Eje de simetria:
Encontrar el vertice
→ Vertice:
Encontrar la interseccion con el eje y
→ Interseccion con eje y:
Encontrar las raices
→ Raices: y
Trazar los puntos y dibujar la parabola
Trazar el vertice , interseccion con eje y , raices y → Curva en forma de U abriendo hacia arriba
Respuesta: La parabola tiene vertice , eje de simetria , abre hacia arriba, cruza el eje x en y , y cruza el eje y en .
Errores comunes
Olvidar el signo negativo al calcular el eje de simetria
Por qué está mal: La formula tiene un signo negativo que es facil de olvidar, especialmente cuando ya es negativo.
Correcto: Siempre escribe la formula con el signo negativo primero: . Si y , entonces .
Confundir el vertice con la interseccion con el eje y
Por qué está mal: La interseccion con el eje y es a menudo mas facil de encontrar, pero no es el vertice a menos que el eje de simetria sea .
Correcto: El vertice esta en . Calcula primero la coordenada x, luego sustituye para encontrar la coordenada y.
Pensar que todas las parabolas abren hacia arriba
Por qué está mal: Muchos estudiantes olvidan que el signo de determina la direccion.
Correcto: Siempre verifica el signo de primero: abre hacia arriba (minimo), abre hacia abajo (maximo).
Asumir que toda parabola cruza el eje x
Por qué está mal: No todas las funciones cuadraticas tienen raices reales. El discriminante determina esto.
Correcto: Verifica : si , dos raices; si , una; si , ninguna.
Por qué es importante
- Física: La trayectoria de una pelota lanzada sigue una parábola debido a la gravedad
- Ingeniería: Las antenas parabólicas y los faros de los autos usan formas parabólicas para enfocar señales y luz
- Negocios: Los modelos de ingresos y ganancias a menudo involucran funciones cuadráticas
- Arquitectura: Los arcos y puentes usan curvas parabólicas para resistencia estructural
- Deportes: La trayectoria de un tiro de baloncesto, una pelota de golf o una patada de fútbol es parabólica
Aplicaciones del mundo real
Movimiento de proyectiles
Cuando lanzas una pelota, su altura a lo largo del tiempo sigue una trayectoria parabolica debido a la gravedad.
Ejemplo:
Una pelota lanzada hacia arriba tiene altura metros despues de segundos. El vertice da la altura maxima, y la raiz positiva da cuando aterriza.
Un balon de futbol es pateado con altura modelada por metros.
¿Cual es la altura maxima alcanzada por el balon?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Encuentra cuando el balon alcanza la altura maxima usando :
Ingresos de negocios
Las empresas usan funciones cuadraticas para modelar como los cambios de precio afectan los ingresos.
Ejemplo:
Si los ingresos de una empresa son donde es el precio en dolares, el vertice muestra el precio que maximiza los ingresos.
Los ingresos diarios de una cafeteria se modelan por dolares, donde es el precio por taza.
¿Que precio maximiza los ingresos diarios?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Usa la formula del vertice para encontrar el precio optimo:
Puntos clave
- 1Una funcion cuadratica tiene la forma donde
- 2La grafica es una parabola: en forma de U si , U invertida si
- 3El eje de simetria es la linea vertical
- 4El vertice esta en - ya sea un minimo o maximo
- 5La interseccion con el eje y es
- 6El discriminante determina el numero de raices
Preguntas frecuentes
¿Cual es la diferencia entre una funcion cuadratica y una ecuacion cuadratica?
¿Por que se llama parabola?
¿Puede una parabola no tener raices?
Glosario
- Funcion cuadratica
- Una funcion polinomial de grado 2 en la forma donde
- Parabola
- La curva en forma de U que es la grafica de una funcion cuadratica
- Vertice
- El punto mas alto o mas bajo de una parabola, ubicado en
- Eje de simetria
- La linea vertical que divide la parabola en dos mitades espejo
- Discriminante
- El valor que determina el numero de raices
- Raices (ceros)
- Los valores de x donde , tambien llamadas intersecciones con el eje x
Tarjeta de fórmulas
Forma estandar
La forma general de una funcion cuadratica
Eje de simetria
Linea vertical que pasa por el vertice
Vertice
El punto mas alto o mas bajo
Discriminante
Determina el numero de raices
Formula cuadratica
Encuentra las raices