Proposiciones booleanas compuestas

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Sea $P$ : "El perro tiene hambre" y $Q$ : "El perro está cansado". ¿Qué símbolos significan "El perro tiene hambre y está cansado"?
1. a) $P \land \neg Q$
2. b) $\neg P \land Q$
3. c) $P \lor Q$
4. d) $P \land Q$
Respuesta: $P \land Q$
Las dos partes se afirman como verdaderas y se unen con *y*, así que la proposición es $P \land Q$ .
2.
$P$ es verdadera y $Q$ es falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de $P \lor Q$ ? Escribe 1 para verdadero y 0 para falso.
Respuesta: 1
$P \lor Q = 1 \lor 0 = 1$ : para O basta una parte verdadera.
3.
Sea $P$ : "Está nevando" y $Q$ : "El colegio está cerrado". ¿Qué frase corresponde a $\neg P \land Q$ ?
1. a)No está nevando y el colegio está cerrado.
2. b)Está nevando y el colegio no está cerrado.
3. c)No es cierto que esté nevando y el colegio esté cerrado.
4. d)No está nevando o el colegio está cerrado.
Respuesta: No está nevando y el colegio está cerrado.
$\neg P$ es "no está nevando", y $\land$ lo une con $Q$ mediante *y*. La última opción sería $\neg(P \land Q)$ .
4.
Sea $P$ : " $4 + 4 = 8$ " y $Q$ : " $9$ es un número par". ¿Cuál es el valor de verdad de $P \land Q$ ? Escribe 1 para verdadero y 0 para falso.
Respuesta: 0
$P = 1$ y $Q = 0$ porque $9$ es impar. $1 \land 0 = 0$ : Y necesita dos partes verdaderas.
5.
Sea $P$ : " $5 > 2$ " y $Q$ : " $6$ es un número impar". Halla el valor de verdad de $P \land \neg Q$ (1 = verdadero, 0 = falso).
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es el valor de $P$ ? 1
2. ¿Cuál es el valor de $Q$ ? 0
3. ¿Cuál es el valor de $\neg Q$ ? 1
4. ¿Cuál es el valor de $P \land \neg Q$ ? 1
6.
Sea $P$ : "Mia tiene un gato" y $Q$ : "Mia tiene un perro". Mia no tiene ninguna mascota. Halla el valor de verdad de "Mia no tiene ni gato ni perro" (1 = verdadero, 0 = falso).
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es el valor de $P$ ? 0
2. Ni ... ni se escribe $\neg P \land \neg Q$ . ¿Cuál es el valor de $\neg P$ ? 1
3. ¿Cuál es el valor de $\neg Q$ ? 1
4. ¿Cuál es el valor de $\neg P \land \neg Q$ ? 1
7.
¿Qué frase es la negación de "Leo toca la guitarra y Leo canta"?
1. a)Leo no toca la guitarra y Leo canta.
2. b)No es cierto que Leo toque la guitarra y cante a la vez.
3. c)Leo ni toca la guitarra ni canta.
4. d)Leo toca la guitarra pero no canta.
Respuesta: No es cierto que Leo toque la guitarra y cante a la vez.
Con $G$ : Leo toca la guitarra y $S$ : Leo canta, la negación es $\neg(G \land S)$ : es verdadera en 3 de los 4 casos, siempre que falte al menos una de las dos cosas. "Ni ... ni" es verdadera solo en 1 caso, así que no es la negación.
8.
$P$ es falsa y $Q$ es verdadera. ¿Cuál es el valor de verdad de $\neg(P \lor Q)$ ? Escribe 1 para verdadero y 0 para falso.
Respuesta: 0
$P \lor Q = 0 \lor 1 = 1$ , y $\neg 1 = 0$ : la proposición es falsa.
9.
¿En cuántos de los 4 casos de $P$ y $Q$ es verdadera $P \lor \neg Q$ ?
Respuesta: 3
Casos ( $P$ , $Q$ ): 00 da $0 \lor 1 = 1$ , 01 da $0 \lor 0 = 0$ , 10 da $1$ , 11 da $1$ . Verdadera en 3 casos.
10.
Ana va a la fiesta y Ben va a la fiesta. ¿Es verdadera en lógica la proposición "Ana va o Ben va"?
1. a)No se puede decidir
2. b)Sí, porque O es verdadero cuando al menos una parte es verdadera
3. c)No, porque O significa exactamente uno de los dos
4. d)No, porque van los dos
Respuesta: Sí, porque O es verdadero cuando al menos una parte es verdadera
En lógica O es inclusivo: $1 \lor 1 = 1$ . La proposición solo sería falsa si no fueran ni Ana ni Ben.
11.
Halla el valor de verdad de $(P \land Q) \lor \neg R$ para $P = 1$ , $Q = 0$ y $R = 1$ .
Respuesta: 0
1. ¿Cuál es el valor de $P \land Q$ ? 0
2. ¿Cuál es el valor de $\neg R$ ? 0
3. ¿Cuál es el valor de $(P \land Q) \lor \neg R$ ? 0
12.
Sea $P$ : " $12$ es divisible entre $3$ " y $Q$ : " $12$ es divisible entre $5$ ". Halla el valor de verdad de " $12$ es divisible entre $3$ o entre $5$ , pero no entre los dos", que se escribe $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$ (1 = verdadero, 0 = falso).
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es el valor de $P \lor Q$ ? 1
2. ¿Cuál es el valor de $P \land Q$ ? 0
3. ¿Cuál es el valor de $\neg(P \land Q)$ ? 1
4. ¿Cuál es el valor de toda la proposición? 1
13.
¿En cuántos de los 4 casos de $P$ y $Q$ es verdadera $\neg P \land Q$ ?
Respuesta: 1
1. ¿Cuántos casos hay para $P$ y $Q$ ? 4
2. ¿En cuántos casos es verdadera $\neg P$ ? 2
3. De esos casos, ¿en cuántos es también verdadera $Q$ ? 1
14.
Sea $P$ : "Hace frío", $Q$ : "Hace viento", $R$ : "Hace sol". ¿Qué símbolos significan "Hace sol, y no hace ni frío ni viento"?
1. a) $\neg R \land (P \lor Q)$
2. b) $R \lor \neg(P \land Q)$
3. c) $R \land \neg(P \lor Q)$
4. d) $R \land \neg P \lor Q$
Respuesta: $R \land \neg(P \lor Q)$
Ni frío ni viento significa: no es cierto que haga frío o viento, es decir $\neg(P \lor Q)$ , que solo es verdadera cuando $P = 0$ y $Q = 0$ . Unida a hace sol con *y*: $R \land \neg(P \lor Q)$ .
15.
¿En cuántos de los 8 casos de $P$ , $Q$ y $R$ es verdadera $(P \land Q) \lor R$ ?
Respuesta: 5
Cuando $R = 1$ la proposición siempre es verdadera: 4 casos. Cuando $R = 0$ necesita $P = 1$ y $Q = 1$ : 1 caso más. En total $4 + 1 = 5$ .
16.
Sea $P$ : " $2^3 = 8$ ", $Q$ : " $15$ es un número primo", $R$ : " $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ". Halla el valor de verdad de $\neg(P \land R) \lor Q$ (1 = verdadero, 0 = falso).
Respuesta: 0
1. ¿Cuál es el valor de $P \land R$ ? 1
2. ¿Cuál es el valor de $\neg(P \land R)$ ? 0
3. ¿Cuál es el valor de $Q$ ? 0
4. ¿Cuál es el valor de $\neg(P \land R) \lor Q$ ? 0
17.
¿En cuántos de los 8 casos de $P$ , $Q$ y $R$ es verdadera $(P \lor \neg Q) \land R$ ?
Respuesta: 3
1. ¿Cuántos casos hay para 3 proposiciones? 8
2. ¿En cuántos de ellos es verdadera $R$ ? 4
3. De las 4 combinaciones de $P$ y $Q$ , ¿en cuántas es verdadera $P \lor \neg Q$ ? 3
4. ¿En cuántos casos es verdadera $(P \lor \neg Q) \land R$ ? 3
18.
Sea $L$ : "El autobús llega tarde" y $W$ : "Está lloviendo". Niega $L \lor W$ y halla en cuántos de los 4 casos es verdadera la negación.
Respuesta: 1
1. ¿En cuántos casos es verdadera $L \lor W$ ? 3
2. En el caso en que $L \lor W$ es falsa, ¿cuál es el valor de $L$ ? (1 = verdadero, 0 = falso) 0
3. ¿Y cuál es el valor de $W$ en ese caso? 0
4. ¿En cuántos casos es verdadera $\neg(L \lor W)$ ? 1