Guía del profesor: Proposiciones booleanas compuestas

Aprende a formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples con Y, O y NO, a pasar de palabras a símbolos y a hallar su valor de verdad.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Lógica booleana. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Traducir proposiciones compuestas entre el lenguaje cotidiano y los símbolos $\land$ , $\lor$ y $\neg$
Reconocer palabras clave como y, pero, o, no y ni ... ni
Determinar el valor de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de sus partes
Negar una proposición compuesta con palabras y comprobar la negación caso por caso
Recorrer los 8 casos de una proposición compuesta formada por tres proposiciones simples

Requisitos previos

• Proposiciones verdaderas y falsas (lección Enunciados verdaderos y falsos)
• Las operaciones por separado (lecciones La operación Y (AND), La operación O y La operación NO)
• Construir una tabla de verdad con $2^n$ filas (lección Tablas de verdad)

Iniciadores de discusión

1. Cuando alguien dice "Puedes tomar pastel o helado", ¿puedes tomar las dos cosas? ¿En qué se diferencia el O de la lógica?
2. ¿Por qué *pero* cuenta como Y en lógica, aunque suene a contraste?
3. ¿Qué diferencia hay entre "No es cierto que me gusten el té y el café" y "No me gusta ni el té ni el café"?
4. ¿Encuentras una norma del colegio que sea una proposición compuesta? ¿En qué casos se incumple?

Conceptos erróneos comunes

O significa que exactamente una parte es verdadera

Remediación: Muestra el caso $1 \lor 1$ en la tabla interactiva. Compara los menús del día a día (sopa o ensalada) con la lógica y nombra la versión exclusiva, XOR.

La negación de " $P$ y $Q$ " es "no $P$ y no $Q$ "

Remediación: Pide que revisen los cuatro casos: "no $P$ y no $Q$ " es verdadera solo en un caso, mientras que la negación debe serlo en tres. Anticipa las leyes de De Morgan de la lección Álgebra de Boole.

Un NO al principio de la frase solo niega la primera parte

Remediación: Compara $\neg P \land Q$ y $\neg(P \land Q)$ para $P = 0$ y $Q = 0$ , y comenta a qué se aplica *no es cierto que*.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con un solo operador cada vez y solo dos proposiciones simples
• Dar una lista de palabras: y, pero = $\land$ ; o = $\lor$ ; no = $\neg$
• Usar proposiciones sobre números cuyo valor de verdad sea fácil de comprobar, como $5 > 2$

Para estudiantes de nivel:

• Traducir frases mezcladas con NO dentro y fuera de paréntesis
• Evaluar proposiciones compuestas para valores dados y explicar cada paso
• Negar con palabras proposiciones con Y y con O y comprobarlas con los 4 casos

Para estudiantes avanzados:

• Recorrer los 8 casos de reglas de tres partes de la vida real
• Escribir una proposición compuesta que sea verdadera en exactamente 2 de los 8 casos
• Expresar una pero no las dos (XOR) usando solo Y, O y NO

Alineación con estándares

CCSS.MATH.PRACTICE.MP6 (MP6)
Prestar atención a la precisión
CCSS.MATH.PRACTICE.MP2 (MP2)
Razonar de forma abstracta y cuantitativa
CCSS.MATH.PRACTICE.MP3 (MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros

Recursos de la lección

visualTabla de verdad interactiva
Los alumnos cambian entre Y, O y NO para dos proposiciones y predicen cada resultado antes de mostrarlo
activityClasificar frases
Tarjetas con frases cotidianas se clasifican en Y, O y NO y luego se escriben en símbolos
worksheetReglas de tres partes
Reglas reales (entrada a un club, descuentos, niveles de un juego) con los 8 casos para completar

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una proposición simple es una frase que es verdadera o falsa, por ejemplo "Está lloviendo." Una proposición compuesta une dos o más proposiciones simples con los operadores lógicos Y (

\land

), O (

\lor

) y NO (

\neg

). Su valor de verdad depende solo de los valores de verdad de sus partes.

Escribimos 1 para verdadero y 0 para falso. Las tablas interactivas de esta lección también usan 1 y 0.

De palabras a símbolos. Sea

P

: "Está lloviendo" y

Q

: "Hace frío".

En palabras	Símbolos	Verdadera cuando
Está lloviendo y hace frío.	$P \land Q$	las dos partes son verdaderas
Está lloviendo o hace frío.	$P \lor Q$	al menos una parte es verdadera
No está lloviendo.	$\neg P$	$P$ es falsa
Está lloviendo pero no hace frío.	$P \land \neg Q$	$P$ es verdadera y $Q$ es falsa
Ni está lloviendo ni hace frío.	$\neg P \land \neg Q$	las dos partes son falsas

Palabras clave: *y*, *pero*, *tanto ... como* significan Y. *o* significa O, que también es verdadero cuando las dos partes son verdaderas. *no*, *no es cierto que* significan NO.

Hallar el valor de verdad en 3 pasos:

1.Da a cada proposición simple su valor: 1 o 0.
2.Calcula las partes entre paréntesis y cada NO.
3.Combina los resultados con Y u O.

Los cuatro casos de dos proposiciones (empezando por 0, como en la tabla interactiva; la lección Tablas de verdad empieza por T, y los dos órdenes muestran los mismos casos):

$P$	$Q$	$P \land Q$	$P \lor Q$	$\neg P$
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

Tres partes, ocho casos. Con una tercera proposición

R

hay

2^3 = 8

casos, y los paréntesis muestran qué partes van juntas. Para

(P \lor Q) \land \neg R

$P$	$Q$	$R$	$P \lor Q$	$\neg R$	$(P \lor Q) \land \neg R$
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Esta proposición compuesta es verdadera en 3 de los 8 casos: cuando al menos una de

P

Q

es verdadera y

R

es falsa. Cómo leer una proposición sin paréntesis (la precedencia de operadores) es el tema de la lección Expresiones booleanas.

Ejemplos resueltos

Sea $P$ : "La tienda está abierta" y $Q$ : "Tengo dinero". Escribe cada frase en símbolos: (a) La tienda está abierta y tengo dinero. (b) La tienda no está abierta o tengo dinero. (c) La tienda está abierta pero no tengo dinero. (d) La tienda no está abierta y no tengo dinero.

Frase (a)

La palabra *y* une dos partes que se afirman ambas como verdaderas → $P \land Q$

Frase (b)

*no* pertenece solo a la primera parte, *o* une las dos partes → $\neg P \lor Q$

Frase (c)

*pero* significa Y, y *no tengo dinero* es la negación de $Q$ → $P \land \neg Q$

Frase (d)

Las dos partes están negadas y unidas con *y* → $\neg P \land \neg Q$

Respuesta: (a) $P \land Q$ , (b) $\neg P \lor Q$ , (c) $P \land \neg Q$ , (d) $\neg P \land \neg Q$ . La frase (d) también se puede decir con ni ... ni: ni la tienda está abierta ni tengo dinero.

Errores comunes

Pensar que " $P$ o $Q$ " es falsa cuando las dos partes son verdaderas

Por qué está mal: En el día a día *o* suele significar una cosa o la otra, pero no las dos. En lógica O es inclusivo: $1 \lor 1 = 1$ .

Correcto: $P \lor Q$ solo es falsa cuando las dos partes son falsas. Para una pero no las dos existe otro operador: el O exclusivo (XOR).

Negar "Me gustan el té y el café" como "No me gusta ni el té ni el café"

Por qué está mal: *Ni ... ni* solo es verdadero cuando las dos partes son falsas (1 caso). La negación de una proposición con Y debe ser verdadera siempre que al menos una parte sea falsa (3 casos).

Correcto: Di "No es cierto que me gusten tanto el té como el café": al menos uno de los dos no me gusta. La regla general (leyes de De Morgan) llega en la lección Álgebra de Boole.

Leer $\neg P \land Q$ como si fuera $\neg(P \land Q)$

Por qué está mal: Sin paréntesis, NO se aplica solo a la proposición que va justo después. Para $P = 0$ y $Q = 0$ : $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$ , pero $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$ .

Correcto: Comprueba a qué afecta el NO. Escribe paréntesis cuando el NO deba aplicarse a toda la proposición compuesta.

No reconocer *pero* como Y

Por qué está mal: "El examen fue difícil pero aprobé" suena a contraste, pero se afirma que las dos partes son verdaderas.

Correcto: Traduce *pero*, *aunque* y *tanto ... como* como Y: $H \land S$ (examen difícil Y aprobado).

Por qué es importante

Casi todas las reglas que encuentras son proposiciones compuestas:

Tiendas en línea y buscadores: un filtro como "zapatos Y talla 38 Y NO rojo" combina tres condiciones
Programación: condiciones como (sesión iniciada Y NO bloqueado) O administrador deciden qué hace una aplicación a continuación
Normas y carteles: "Los menores de 12 años entran gratis si vienen con un adulto" se cumple o no según dos hechos
Argumentos y debates: saber exactamente cuándo O y NO son verdaderos te ayuda a detectar frases que suenan parecidas pero dicen cosas distintas
Circuitos digitales: cada chip está hecho de Y, O y NO, los mismos operadores que usas aquí

Ya conoces Y, O y NO por separado. En esta lección los combinas en proposiciones más largas y hallas su valor de verdad con seguridad.

Aplicaciones del mundo real

Filtros de tiendas en línea

Las tiendas y los buscadores combinan condiciones con Y, O y NO para decidir qué artículos ves.

Ejemplo:

El filtro (negro O azul) Y NO usado muestra solo artículos nuevos, en cualquiera de los dos colores.

1Inténtalo tú mismo

Un filtro muestra una chaqueta si $(B \lor S) \land C$ , donde $B$ : la chaqueta es azul, $S$ : está rebajada, $C$ : cuesta menos de 50 dólares. Una chaqueta es azul, está rebajada y cuesta 65 dólares.

¿Muestra el filtro esta chaqueta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Con 1 y 0, Y funciona como una multiplicación. Escribe el último paso como un producto:

Reglas de juego en el código

Los videojuegos y las aplicaciones comprueban condiciones compuestas muchas veces por segundo para decidir qué pasa después.

Ejemplo:

Una puerta se abre si (llave Y NO alarma). Con la llave y sin alarma: $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$ , así que la puerta se abre.

2Inténtalo tú mismo

Una jugadora sube de nivel si $S \land (\neg T \lor K)$ , donde $S$ : la puntuación es al menos 100, $T$ : se acabó el tiempo, $K$ : tiene una llave extra.

¿En cuántos de los 8 casos sube de nivel?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la cantidad como los casos con $S$ verdadera menos los casos que fallan:

Normas y carteles

Las normas de los carteles, las entradas y los contratos son proposiciones compuestas, y a menudo importa saber exactamente cuándo NO se cumple una norma.

Ejemplo:

"Aparcamiento gratis los domingos o después de las 20 h" se cumple un domingo a mediodía, un lunes a las 21 h y también un domingo a las 21 h.

3Inténtalo tú mismo

Un cartel de un museo dice: los niños entran gratis si tienen menos de 12 años y vienen con un adulto. Sea $U$ : el niño tiene menos de 12 años, $A$ : el niño viene con un adulto.

¿En cuántos de los 4 casos NO se cumple la norma de entrada gratis?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe la cantidad como todos los casos menos los casos en que se cumple la norma:

Puntos clave

1Una proposición compuesta une proposiciones simples con Y ( $\land$ ), O ( $\lor$ ) y NO ( $\neg$ )
2*y* y *pero* se traducen como Y, *o* como O, *no* y *no es cierto que* como NO
3Y solo es verdadero cuando las dos partes son verdaderas; O solo es falso cuando las dos partes son falsas
4Para hallar el valor de verdad, da 1 o 0 a cada parte, calcula los paréntesis y cada NO, y luego combina
5Los paréntesis deciden a qué se aplica el NO: $\neg(P \land Q)$ no es lo mismo que $\neg P \land Q$
6Con 3 proposiciones simples hay $2^3 = 8$ casos, y la negación de una proposición con Y es verdadera siempre que al menos una parte sea falsa

Preguntas frecuentes

¿Significa "o ... o" lo mismo que O?

No siempre. El operador O es siempre inclusivo: también es verdadero cuando las dos partes son verdaderas. En el día a día, *o ... o* suele sugerir una pero no las dos. Cuando una frase quiere decir claramente una pero no las dos, escríbela como O exclusivo (XOR):

(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)

. Si no, léela como O.

¿Necesito siempre paréntesis?

Con dos partes y un solo operador, no. En cuanto aparecen Y y O juntos, o un NO debe aplicarse a más de una proposición, los paréntesis aclaran el significado. Las reglas para leer una proposición sin paréntesis (NO antes que Y antes que O) llegan en la lección Expresiones booleanas.

¿Puedo usar una calculadora para los valores de verdad?

En parte. Con 1 y 0, Y funciona como una multiplicación (

1 \times 0 = 0

1 \times 1 = 1

) y NO

P

es igual a

1 - P

. La calculadora de esta lección no conoce las palabras Y, O y NO, así que úsala para estos productos y para contar casos como

2^3

¿Por qué una pregunta no puede formar parte de una proposición compuesta?

Una proposición debe ser verdadera o falsa. Una pregunta como "¿Está lloviendo?" o una orden como "¡Cierra la puerta!" no tiene valor de verdad, así que no puede ser una de las partes.

Glosario

Proposición simple: Una sola frase que es verdadera o falsa, por ejemplo " $7$ es primo"
Proposición compuesta: Una proposición formada por proposiciones simples con Y, O y NO, por ejemplo $P \land \neg Q$
Valor de verdad: Si una proposición es verdadera (1) o falsa (0)
Conjunción (Y): $P \land Q$ , verdadera solo cuando las dos partes son verdaderas
Disyunción (O): $P \lor Q$ , verdadera cuando al menos una parte es verdadera
Negación (NO): $\neg P$ , verdadera exactamente cuando $P$ es falsa

Tarjeta de fórmulas

Y (conjunción)

P \land Q

Verdadera (1) solo cuando $P$ y $Q$ son las dos verdaderas

O (disyunción)

P \lor Q

Falsa (0) solo cuando $P$ y $Q$ son las dos falsas

NO (negación)

\neg P

Invierte el valor: $\neg 1 = 0$ y $\neg 0 = 1$

Número de casos

2^n

$n$ proposiciones simples dan $2^n$ casos: 4 para dos, 8 para tres

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Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Filtros de tiendas en línea

Reglas de juego en el código

Normas y carteles

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Y (conjunción)

O (disyunción)

NO (negación)

Número de casos

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